浅谈平面几何证明中的辅助线

郑海彬

引言

辅助线的添法灵活多变，其作用主要在于沟通“条件”和“结论”。具体问题具体分析，本人通过在实际问题中操练、总结，认为添加辅助线的方法主要有如下几种：（1）从图形考虑（2）从要证明的结论考虑；（3）从添辅助线的作用考虑。

一、三角形

三角形作辅导线一般遵循如下三个原则：

第一，在三角形中，已知一条中线，常把延长一倍构成全等三角形或平行四边形，或把一边延长一倍造中位线，或取另一边的中点作成中位线。

第二，在三角形中，若已知两条或三条中线时，则常联结两个中点作成中位线或延长某一中线到它的三分之一处，使之与重心、两个顶点构成平行四边形。

第三，在等腰三角形中。常引底边上的高或顶角的平分线；在直角三角形中，则常引斜边上的中线或高。

如下例，为常用的辅助线做法：

1.延长中线构造全等三角形

例1 如图，已知△ABC中，AD是△ABC的中线，AB=8，AC=6，求证：1

分析：延长AD至A′，使A′D=AD，联结BA′.根据“SAS”易证△A′BD≌△ACD，得A′B=AC。这样将AC转移到△A′BA中，根据三角形三边关系定理可解。

2.引平行线构造全等三角形

例2 如图，已知△ABC中，AB=AC，D在AB上，E是AC延长线上一点，且BD=CE，DE与BC交于点F.求证：DF=EF。

分析：此题辅助线作法较多，如：①作DG∥AE交BC于G；②作EH∥BA交BC的延长线于H；再通过证三角形全等得DF=EF。

3.作连线构造等腰三角形

例3 如图，已知Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC，AD=AC，DE⊥AB，垂足为D，交BC于E。

求证：BD=DE=CE。

分析：联结DC，证△ECD是等腰三角形。

4.利用翻折，构造全等三角形

例4 如图，已知△ABC中，∠B=2∠C，AD平分∠BAC交BC于D.求证：AC=AB+BD。

分析：将△ADB沿AD翻折，使B点落在AC上点B′处，再证BD=B′D=B′C，易得△ADB≌△ADB′，△B′DC是等腰三角形，于是结论可证。

5.作三角形的中位线

例5 如图，已知四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线交EF的延长线于点M、N。求证：∠BME=∠CNE。

分析：联结AC并取中点O，再联结OE、OF.则OE∥AB，OF∥CD，故∠OEF=∠BME，∠OFE=∠CNE。

又OE=AB，OF=CD，且OE=OF，故∠OEF=∠OFE，可得证。

二、梯形

在梯形中，作辅导线一般遵循如下三个原则：

第一，常过顶点作高或与腰平行的线段；

第二，若已知各边中点，则作中位线；

第三，在解决有关梯形知识的问题中，往往通过作辅助线构造三角形、平行四边形，利用三角形、平行四边形知识来解决。

1.将一般梯形问题转化为特殊三角形或平行四边形来解决

例6 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠C=75°，∠D=30°，求证：AD=DC-AB。

分析：利用结论中线段之差，不妨将AB转化，故可以从以下入手：

（1）过点A作AE∥BC，利用两底角度来解决。

（2）延长DA，CB交于点M，利用两底角度来解决。

2.将等腰梯形转化为特殊三角形或平行四边形来解决

例7 如图，四边形ABCD中，∠B=∠C？熏AB与CD不平行，且AB=CD。

求证：四边形ABCD是等腰梯形。

分析：为使AB和CD转化到同一三角形中，需过A或D作另一腰的平行线；也可延长BA、CD交于M，由等腰三角形证平行解决问题。

例8 如图，在等腰梯形ABCD中DB=DC，AC⊥BD于M。

求证：CM=（AB+DC）。

分析：为使AB、CD转化到同一三角形中利用直角三角形斜边中线来解决，故过B作BE∥AC、BF⊥DE，利用Rt△BCM≌Rt△CFB，问题可得到解决。

三、圆

在圆中，作辅导线一般遵循如下原则：

第一，常作直径所对的圆周角，垂直于弦的半径（或直径）；

第二，若两圆相切，则常作它的公切线和连心线；

第三，若两圆相交，则常作它们的公共弦。

此外，还可根据共圆条件作一些辅助圆。

1.常作直径所对的圆周角，垂直于弦的半径（或直径）

例9 已知，AD是⊙O的直径，AB、AC为弦，且AD平分∠BAC。求证：AB=AC。

分析：过点O分别作OF⊥AC，OE⊥AB，又∵AD平分∠BAC，故OE=OF，可得AB=AC。

2.若两圆相切，则常作它的公切线和连心线

例10 如图，⊙O1和⊙O2外切于点P，过点P作直线AB交⊙O1于A，交⊙O2于B，过B作直线交AO的延长线于C，且BC⊥AC。

求证：CB为⊙O2的切线。

分析：B是BC与⊙O2的交点，也是结论中的切点。要证BC是⊙O2的切线，只要证O2B⊥BC即可。联结O2B，而⊙O1与⊙O2也相切于点P，把O1、O2连起来，从而通过证O2B∥O1A来得到结论。

3.若两圆相交，则常作它们的公共弦

例11 ⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O2的切线CF交⊙O1于C，直线CB交⊙O2于D。直线DA交⊙O1于E，联结CE。

求证：△CAE是等腰三角形。

分析：要证△CAE是等腰三角形，可通过证两角相等，即∠E=∠CAE。联结AB，发现四边形AECB是⊙O1的内接四边形。而∠ABD是一个非常关键的角，它既是内接四边形的一个外角，也是弦切角∠FAD所夹的弧对的圆周角，即∠ABD=∠E，∠ABD=∠FAD。找到了这些关系，也就解决了问题。

四、结论

1.从要证明的结论考虑

（1）要证线段的和、差、倍、分或比较大小时，常用延长或截取方法进行等量代换。

（2）要证线段、角相等时，常找全等形进行等量代换。

（3）要证四条线段成比例时，常作平行线找相似形。

（4）要证面积相等时，常平移变换找等积形。

2.从添辅助线的作用考虑

（1）作平行线有利于造成线段、角相等，有利于造成相似形、平行四边形、全等形、等积形。

（2）作垂线有利于造成平行线、直角三角形。

（3）作圆有关线段和角，有利于用圆的有关性质和有关定理。

总之，添加辅助线方法之多，没有人能通熟，但万变不离其宗，明白其规律原理，再加上一般的方法，即可举一反三，推而广之。