浅谈分类讨论思想在中学数学中的应用

何昌云（甘肃省临夏回族自治州和政中学）

浅谈分类讨论思想在中学数学中的应用

何昌云
（甘肃省临夏回族自治州和政中学）

分类讨论思想是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想在简化研究对象、发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位.

分类讨论思想；中学数学；应用

所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”.下面分析一下分类讨论思想在中学数学中的应用.

一、分类讨论思想在集合中的应用

解∵A=｛x-2≤x≤a｝，

∴B=｛y y=2x+3，x∈A｝

=｛y-1≤y≤2a+3｝.

与-2≤a≤0矛盾.

解得-1≤a≤3，

故2＜a≤3.

二、分类讨论思想在函数中的应用

例2.已知函数f（x）=2x2-2ax+3在区间［-1，1］上有最小值，记作g（a），求g（a）的函数表达式.

在x=-1时，g（a）=2a+5；

（2）当-1＜a＜1时，即-2＜a＜2时，2

在x=1时，g（a）=5-2a；

三、分类讨论思想在不等式中的应用

例3.解关于x的不等式x2-（a+a2）x+a3＞0.

四、分类讨论思想在排列组合中的应用

例4.在正方体的顶点中，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是多少？

解：依题意，共线的三点组可以分为三类：

所以总共有28+3+18=49（个）。

五、分类讨论思想在数列中的应用

例5.已知数列1，2x，3x2，4x2，……，求它的前n项和.

分析：本题未指明数列为等比数列，所以分类讨论时还要考虑x=0这一情况.

解：设Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1，

（1）当x=0时，Sn=1；

（3）当x≠0且x≠1时，

由Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1，

得xSn=x+2x2+3x3+…+（n-1）xn-1+nxn，

两式相减：

综上所述：

通过探讨分类讨论思想在中学数学中集合、函数、不等式，排列组合等中的应用，我们应用正确的分类讨论思想，对不同情况进行分类研究，使问题化整为零，各个击破，再积零为整，从而使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答.所以，在教学中教师应该渗透分类讨论的思想，让学生充分感受并掌握这种思想.

［1］郭可银.谈分类讨论思想方法在解题中的应用：高中版［M］.高等教育出版社，2005-04.

［2］刘文武.中学数学中重要的数学思想：分类讨论思想［M］.科学出版社，2003-11.

·编辑 薄跃华