对水火箭发射速度和射程的理论研究

廖立杨　杨晓冬

(1广东梅县东山中学，广东 梅州　514015；2嘉应学院物理与光信息科技学院，广东 梅州　514015)



对水火箭发射速度和射程的理论研究

廖立杨1杨晓冬2

(1广东梅县东山中学，广东 梅州514015；2嘉应学院物理与光信息科技学院，广东 梅州514015)

本文利用功能原理及理想气体绝热方程，推导获得水火箭发射初始速度、喷水时间以及射程的表达式.利用上述表达式对水火箭发射的初始速度、喷水时间及射程进行了理论计算，并对水火箭内盛装水的体积和发射角度的最佳值进行了理论计算与研究.

水火箭;功能原理;理想气体绝热方程;初始速度

水火箭是备受广大中学生喜爱的科技制作.近年来，水火箭比赛在许多中学广受欢迎，开展得如火如荼[1-5].目前有关水火箭的文献报道主要采用实验方法，对水火箭射程及结构改进进行了研究，而对于水火箭发射过程缺乏较为详细的定量理论分析，缺乏对水火箭发射初速度及射程进行理论计算的方法及相关理论.本文对水火箭的发射初速度、射程及喷水时间的进行较为详细的理论分析与研究，以获得水火箭的发射初速度、射程及喷水时间理论表达式.

1　水火箭发射理论分析

图1　水火箭结构示意图

水火箭结构如图1所示，在可乐瓶内灌入一定量的水并封闭一定质量的空气.发射时，利用打气筒不断充入空气，当压力超过橡皮塞能与瓶口间的最大摩擦力时，瓶口与橡皮塞脱离，压缩空气把水从火箭尾部的瓶口向后高速喷出，水火箭依靠喷射水的反冲力，在短时间内获得较高的发射速度，之后靠惯性在空中滑翔飞行.为减小水火箭在飞行过程中的空气阻力，在水火箭前端通常固定尖状导流罩，同时在水火箭前端固定沙袋配重来提高水火箭重心，以保证水火箭平稳飞行.

2.1水火箭发射初速度理论研究

为研究水火箭发射初速度，我们利用功能原理建立水火箭发射过程的运动方程.为简便计，我们还将忽略一些次要因素.首先，由于瓶体的截面积比瓶口面积大较多，瓶内水相对瓶体的速度远小于水的喷出速度，同时也远小于瓶体运动速度，所以忽略瓶内水的速度，认为瓶内水与瓶体具有相同的运动速度；同时弹体较重、速度不太快，空气阻力也忽略.

图2　水火箭发射工程示意图

图2(a)为瓶内水喷射过程中，t时刻水火箭示意图，设该时刻水火箭总体质量为m，瓶体质量为m0，水火箭的发射速度为u，瓶内液面高度为h，瓶内气体压强为p，瓶外大气压强为pm.在瓶内气体及外界大气压力作用下，设dt时间微元内，体积为dV，质量为dm的水喷出瓶口，其相对地面的喷射速度为v，同时在反冲力的作用下，水火箭发射速率增加du，如图2(b)所示.假设瓶内水为理想流体，根据功能原理，dt时间内，水火箭机械能增量可表示为

(1)

(2)

设喷水过程中，水相对于瓶体的喷射速度为vr，则式(2)可表示为

(3)

在上述喷水发射过程中，瓶内气体对水的压力为内力，水火箭所受重力为外力.若水火箭使用体积为1.25L的可乐瓶，其瓶体直径为9cm，设瓶内气体压强为3倍标准大气压(实验表明，水火箭瓶内可承受最大气压值可达10个标准气压)，此时瓶内的压力约为2400N，而水火箭所受重力约为10N，因此在水火箭喷射过程中，系统所受重力可忽略，整个喷水发射过程动量守恒，则可得：

(4)

将式(4)展开可得：

(5)

将式(5)代入式(4)并展开可得：

(6)

式(6)中，水火箭喷射水的与瓶气内体体积变化量dV间满足：

(7)

将式(5)、(7)代入式(6)可得：

(8)

利用分离变量法，根据式(8)，可将水火箭在喷水过程中所获得的发射速度表示为

(9)

上式中，积分变量为发射过程中，喷出水的质量.积分上限中，m0为瓶内水喷射完后瓶体的质量，M为水火箭初始时刻质量，其值应为喷射水的总质量与m0之和.由于发射时间较短，且瓶体隔热性较好，瓶内气体在膨胀过程中无法与外界完成热交换，因此可认为在喷水过程中，瓶内气体做绝热膨胀.下面我们将利用理想气体状态方程，对式(9)做变量变换，以便利用数值法对式(9)进行求解.设瓶体的容积为V0，在喷水过程的初始时刻，瓶内气体压强为p0，瓶内水的体积为k0V0，0

(10)

式中，0≤k

(11)

设喷水过程中，任意时刻压强为p，由式(10)、式(11)及理想气体绝热方程可得：

(12)

上式中，γ为空气的比热容比，其值为7/5.对式(12)变形可得：

(13)

式(13)中，压强p为k的函数.在喷水过程中，任意时刻瓶内水的质量可表示为

(14)

在喷水过程的初始时刻，瓶内水的质量为

(15)

由式(14)及式(15)可得喷水过程中，任意时刻水火箭的质量为

(16)

由于dt时间内喷射水的质量与dt时间内水火箭质量变化量相同，所以dt时间内喷射水的质量可表示为

(17)

将式(13)、(15)、(16)、(17)代入式(9)可得：

(18)

由式(18)可以看出，水火箭发射初始速度u主要取决于水火箭初始时刻腔内气体压强p0、初始时刻水火箭内水体积与可乐瓶体积的比值k0以及水火箭喷水完毕后水火箭的质量m0.其中瓶内初始气体压强p0主要由瓶塞与瓶体间摩擦力大小决定，实验表明，其值可达1000kPa；理论上说，水火箭喷水完毕后水火箭的质量m0其值越小，喷水过程中所获得的加速度就越大，最后获得的发射速度也越大，但在实际发射过程中，为了保证火箭在空中不翻滚，须在其前端舱内加沙作为配重，所以其值也不可能太小; k0是发射者能够灵活控制的重要参数.为了研究k0对于水火箭发射初速度的影响，设m0=0.3kg，V0=0.125L，外界气压pm=100kPa，利用式(18)，我们分别计算初始压强p0为550kPa、700kPa、800kPa、1000kPa时，水火箭发射初速度u随k0变化曲线，计算结果如图3所示.从图3可以直观看出，在压强p0固定的条件下，当k0为某一最佳值时，水火箭发射初速度u最大.表1为根据式(18)计算所得，在不同初始压强p0下，水火箭发射速度u最大所对应k0最佳值，同时也计算了u的最大值.从图3及表1可直观看出，随着初始压强p0的增大，k0最佳值逐渐增大，且k0最佳值的变化范围并不大，当p0在550～1000kPa范围内，k0最佳值在0.46～0.5之间.

图3　水火箭发射初速度u随k0变化曲线

p0/kPa5506007008009001000k00.460.470.480.490.490.50u/(m·s-1)22.523.926.629.131.433.5

2.2水火箭喷水时间理论研究

喷水过程所需要时间表达式可由下列步骤推导：设瓶口的面积为S，则dt时间内，喷射水的体积为

(19)

根据式(11)，dt时间内瓶内气体体积变化量dV可表示为：

(20)

由(21)、(22)两式可得：

(21)

由(6)、(7)两式可得：

(22)

根据(13)、(21)、(22) 3式可得：

(23)

由式(25)可得，喷水过程所需时间为

(24)

利用式(24)，我们采用数值计算的方法，分别计算了水火箭初始压强为550kPa、600kPa、700kPa、800kPa、900kPa及1000kPa时，发射过程的喷水时间，计算过程中，设瓶口瓶嘴的直径1.5cm，对应的面积为0.99cm2,瓶的容积为1.25L，瓶体直径约为9cm，瓶体直径为瓶口直径的6倍，其横截面面积为瓶口面积的36倍，所以瓶内水相对瓶体速度应为瓶口喷水速度的1/36.k0为表1所给出的上述压强下的最佳值，计算结果如表2所示.从计算结果可看出，随着初始压强增大，喷水时间逐渐降低.

喷水过程中,瓶口水的平均喷射速度可以表示为

(25)

式中，d1为瓶口直径，瓶内水的平均流动速度可以表示为

(26)

表2　不同压强对应水火箭的喷水时间、相对瓶体喷水

表3　水火箭在不同初始压强下的射程

2.3水火箭射程计算

设水火箭以与地面为θ的发射角向远处发射，忽略空气阻力，其运动可分为：喷水发射与斜抛运动.其中第一阶段喷水发射过程可分解为在喷射水反冲力作用下，沿与地面夹角为θ方向的变加速直线运动与自由落体运动的合成，当喷水过程结束时，水火箭沿水平方向与竖直方向的速度可表示为

(27)

(28)

式中ux为喷射结束时水平，uy为喷射结束时竖直方向的速度，u为喷射结束时的速度，其值可由式(18)计算获得.水火箭喷射过程上升高度可表示为：

(29)

(30)

喷射过程完成后，斜抛运动的运动方程为

(31)

式中t为水火箭完成整个斜抛运动所需时间，由式(31)可得

(32)

水火箭发射的总射程可表示为

(33)

将式(27)、(28)、(30)、(31)代入式(33)并展开得：

(34)

上式中，不同压强下的发射初速度u可由式(18)求得，喷水所用时间t0可由式(24)求得.利用式(34)，我们计算瓶的体积V0=1.25L，喷口直径为1.5cm，瓶体直径为9cm，k0=0.5，m0=0.3kg，发射角度为45°时，水火箭在不同初始压强下的射程.计算结果如表3所示.

由表3可见，随着初始压强增大，射程逐渐增大；平均而言，压强较大时，射程随压强增大而增大的速率更快.利用式(34)，我们又计算了初始压强p0=550kPa时，水火箭在不同发射角度下的射程.计算结果如表4所示.

表4　水火箭在不同发射角度下的射程

从表4可以直观看出，由于考虑了喷水过程水火箭的射程，水火箭发射的最佳角度约为47°，并非普通平抛运动对应的45°.

3　结语

通过对水火箭发射过程的理论研究，获得水火箭发射初速度、喷水时间及射程计算公式，并利用上述公式对水火箭的发射初速度、喷水时间及射程进行了理论计算.上述理论研究结论对于水火箭的设计及结构优化具有一定的指导意义.

[1]方红霞.关于水火箭水平射程的实验探究[J].物理实验，2011(12):17-19.

[2]杨慧迪，牛亮. 从实验与理论的双重角度浅析影响水火箭飞行距离的因素[J].物理教师，2014(12):48-50.

[3]汪海. 二级加压水火箭的制作方法[J].物理实验，2012(6):23-26.

[4]梁法库，梁帅.可以任意角度发射的水火箭[J].物理实验，2010(10):31-32.

[5]刘鲁华，邹东升，陈克俊.导弹工程专业“水火箭”案例设计与思考[J].高等教育研究学报，2014(3):1672-1674.

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THEORETICALINVESTIGATIONOFTHELAUNCHINITIALVELOCITYANDTHELAUNCHDISTANCEFORTHEWATERROCKET

LiaoLiyang1YangXiaodong2

(1GradeThree,TungshunMiddleSchool,Meizhou,Guangdong514015；2SchoolofPhysicsandOpticalInformationTechnology,JiayingCollege,Meizhou,Guangdong514015)

Accordingtotheprincipleofworkandenergyandidealgasadiabaticequation,theexpressionsoftheinitialvelocity,thetimeofjettingwater,andthelaunchdistanceofwaterrocketarededuced.Basedontheexpressions,theinitialvelocity,thetimeofjettingwater,andthelaunchdistanceofwaterrocketarecalculatedtheoretically.Optimumvolumeofwaterinthewaterrocketandthebestlaunchanglearealsoinvestigated.

waterrocket;principleofworkandenergy;idealgasadiabaticequation;initialvelocity

2015-10-01；

2015-10-24

廖立杨，男，广东梅县东山中学高三年级学生，2014年获第三十一届全国中学生物理竞赛三等奖，2015年获第三十二届全国中学生物理竞赛一等奖.

引文格式: 廖立杨,杨晓冬. 对水火箭发射速度和射程的理论研究[J]. 物理与工程，2016，26(3)：82-86.