三阶和五阶非线性自散焦介质中的亮孤子

彭贤丁，张少武，黄峻堃

(湖北师范大学 物理与电子科学学院，湖北 黄石　435002)



三阶和五阶非线性自散焦介质中的亮孤子

彭贤丁，张少武，黄峻堃

(湖北师范大学 物理与电子科学学院，湖北 黄石435002)

考察了含3～5阶非线性的一维和二维非线性薛定谔方程，获得了非线性强度是横向坐标的指数函数的条件下方程的基态孤子解，并用分布傅里叶法对其稳定性进行了数值分析。结果表明，三阶、五阶非线性强度是横向坐标的指数函数时，在一定的参数范围内可以形成稳定的亮孤子，随着传播常数的增大，基态孤子能稳定传输的距离越远。

非线性薛定谔方程；3～5阶非线性；稳定性分析

0　引言

孤子因为其在传输过程中仍能保持其形态的特殊性质而受到人们的广泛关注。在孤子的研究中，支持自持局域模(亮孤子)所采用的一般模型是聚焦非线性，或者散焦非线性联合周期性线性势，后者支持的是间隙亮孤子[1]。近来也报道了支持亮孤子的一些其他模型，如非线性强度以及符号随传播距离或横向变量变化的非线性晶格[2]，更进一步的研究显示，空间调制的散焦非线性强度增加得足够快就可以支持亮孤子[3]。

衍射作用使光束在无色散介质中传输时沿垂直方向展宽，而非线性介质会导致光束横向收缩，所以在一定条件下衍射与非线性相互作用可形成空间光孤子[4]。Borovkova O V 等人考虑了三阶非线性情况，获得了基态孤子的精确解。在Borovkova O V 等人的研究基础上，我们考察了在三阶和五阶非线性同时存在的情况下对孤子解的结构以及稳定性的影响。

1　理论模型

我们考察含3～5阶非线性的非线性薛定谔方程

(1)

u(r,ξ)=A(r)exp(ibξ-αr2)

(2)

式中，振幅A(r) 为r的实函数或常数，α和b为常数。在极坐标下，维度为D=1,2 时，具有对称性的Laplace算符可写为2=(∂/∂r)(D-1)/r+∂2/∂r2。将试探解(2)代入方程(1)，经简单的代数运算有

(3)

作为一个特殊情况考虑，这里设三阶、五阶非线性强度与半径的关系分别为

(4)

(5)

式中，μ0、μ1和ρ0均为正的常数。若设A=常数，方程(3)可进一步简化为

r2(μ1A3-2α2A)+A(b+Dα+μ0A2+ρ0A4)=0

(6)

在方程(6)中，令r的幂次系数等于0，则振幅和传播常数分别为

于是，满足条件(4)和(5)时方程(1)的基态孤子解为

(7)

从(7)式可以看出，在三阶和五阶非线性取(4)和(5)式的形式情况下，维度D只对传播常数有影响，而不改变孤子的振幅；传播常数与三阶和五阶非线性有关，而振幅只与三阶非线性和α有关。

2　稳定性分析

2.1孤子的解析图

做如下的变量代换

(8)

则方程(1)归一化变为

(9)

2.2基态孤子的稳定性分析

孤子稳定性分析是孤子物理学研究的一个重要方面。我们应用分步傅里叶算法[10]模拟方程(1)在初始条件为ψ(r,0)=exp(-αr2)时受微扰扰动的传输情况，如图2所示。微扰取白噪声，使用正态分布的高斯随机数产生器产生，其中乘积白噪声和加法白噪声的强度分别为Γm=10-4和Γa=10-2.

我们以D=2 的二维情况为例，采用单一改变不同参数值的方法，考察不同参数对孤子传输的稳定性的影响。图2(a)和(b)中，ρ0=1，μ1=μ0=1 ，而α值不同，前者为0.05，后者为0.15.比较两图发现，α值较小时孤子的传输是非常稳定的，随α值的增大，孤子的传输越来越不稳定。当α=0.15时，孤子只能稳定传输约ξ=300的距离。图2(c)中ρ0=10000 ，其余参数与(a)相同。当ρ0=10000 时，孤子只能稳定传输约ξ=200的距离。可见，随ρ0值的增大，孤子传输的稳定性越来越差。图2(d)中仅改变μ0值，μ0=100，孤子传输约ξ=250距离后就变得不太稳定。显然，μ0值的增大会导致孤子传输的稳定性变差。图2(e)的μ1=0.015，比(a)的μ1小，孤子只能稳定传输约ξ=200的距离。与图(b)、(c)和(d)的情况不同，μ1值越大，孤子的传输越稳定。

图1　不同参数下的含三-五阶非线性的基态孤子: μ0=0.1,μ1=0.2, ρ0=1

(a)D=1,α=0.4, (b)～(d)D=2,α分别为0.1、0.2和0.4.

图2　含三-五阶非线性的二维基态孤子解的稳定性分析图

(a)α=0.05，μ1=μ0=1，ρ0=1 ；(b)α=0.15，μ1=μ0=1，ρ0=1 ；(c)α=0.05，μ1=μ0=1，ρ0=10000；

(d)α=0.05，μ1=1,μ0=100，ρ0=1 ；(e)α=0.05，μ1=0.015,μ0=1，ρ0=1

我们对D=1 的一维情况也作了以上类似的分析，得到的结论与二维情况是相同的。

3　结论

我们考察了含3～5阶非线性具有对称性的散焦介质中的一维和二维非线性薛定谔方程，获得了非线性强度是横向坐标的指数函数条件下方程的基态孤子解，并用分布傅里叶法分析了基态孤子解的稳定性。结果表明，三阶、五阶非线性强度是横向坐标的指数函数时，在一定的参数范围内可以形成稳定的亮孤子，传播常数越大，基态孤子能稳定传输的距离越远。换言之，三阶、五阶非线性强度是横向坐标的指数函数时，孤子传输的稳定性随传播常数的增大而增强。

[1]Kivshar Y S,Agrawal G P. Optical Solitons. From Fibers to Photonic Crystals [M]. San Diego: Academic Press, 2003:472～478.

[2]Kartashov Y V, Malomed B A,Torner L. Solitons in nonlinear lattices [J]. Rev Mod Phys, 2011, 83: 247～247.

[3]Borovkova O V, Kartashov Y V, Torner L, et al.Bright solitons from defocusing nonlinearities [J]. Physical Review E, 2011, 84:035602(R).

[4]刘燕, 张素英. 横向非周期调制的五次非线性薛定谔方程的精确孤子解 [J]. 量子光学学报. 2015, 21(2):153～159.

[5]Wang Ming-liang, Zhou Yu-bin, Li Zhi-bin. Application of ahomogeneous balance method to exact solutions of nonlinear equation sin mathematical physics [J]. Physics Letters A. 1996, 216:67～75.

[6]范恩贵, 张鸿庆. 非线性孤子方程的齐次平衡法 [J]. 物理学报, 1998, 47(3): 353～342.

[7]刘式适, 傅遵涛, 刘式达,等. 求某些非线性偏微分方程特解的一个简洁方法 [J]. 应用数学和力学, 2001, 22(3): 281～286.

[8]谢元喜, 唐驾时. 求一类非线性偏微分方程解析解的一种简洁方法 [J].物理学报, 2004, 53(9): 2828～2830.

[9]Bondeson A, Lisak M, Anderson D. Soliton perturbations: a variational principle for the soliton parameters[J]. Phys Scr, 1979, 20:479～485.

[10]Zhang Shaowu, Yi Lin. Exact solutions of a generalized nonlinear Schrodinger equation [J]. Phys Rev E. 2008, 78: 026602.

Bright solitons in the symmetrical self-defocus medium with cubic-quintic nonlinearities

PENG Xian-ding，ZHANG Shao-wu，HUANG Jun-kun

(College of Physical and Electronic Science, Hubei Normal University, Huangshi435002,China)

The one/two-dimension nonlinear Schrodinger equation with cubic-quintic nonlinearities from the symmetrical self-defocus medium is studied and its bright soliton solutions are obtained in the case that the cubic-quintic nonlinear strengths are the exponential function of the transverse coordinate(s). It was numerically found that the stability of solitons depends on propagation constant. Soliton propagation distance increases with propagation constant.

nonlinear Schrödinger equation; cubic-quintic nonlinearity; stability analysis

2016—03—27

彭贤丁(1990— )，男，贵州遵义人，硕士研究生，主要从事非线性光学研究。

O437

A

1009-2714(2016)02- 0067- 04

10.3969/j.issn.1009-2714.2016.02.015