基于IFS法的分形图形生成及优化设计

朱海祥



基于IFS法的分形图形生成及优化设计

朱海祥[1]

（苏州市职业大学 教育与人文学院，江苏 苏州 215104）

分形图形具有自相似性、自仿射性和无标度性等特性，以系列压缩仿射变换为基础，辅以不同的初始函数、变量、颜色、渐变条、Xaos和三角变换等．利用IFS方法可以模拟生成许多数学分形和自然分形，在丝绸印染、艺术创作、广告设计等领域有着广泛的应用．

IFS；分形图形；仿射变换

分形几何研究的对象是一类不规则的、具有自相似性的几何形体．自然界中自相似性现象是普遍存在的，分形几何作为描述自然界的几何语言，具有传统欧氏几何无法比拟的优势，更加趋近于客观事物的真实属性和复杂性态，发现复杂无序对象中的规律性，同时又与人工绘图有较大的差异．能够更加逼真地任意描述图形的精细结构，在艺术、广告、壁纸、服装和信息等方面有着广泛的应用．

分形是研究自然界复杂现象的一种全新思想方法．很多在欧氏空间中无法描述的现象，用分形理论可以得到很好的解释[1]．分形在通常的几何变换下具有标度不变性，即图形局部放大或缩小时满足自相似性，该特性决定了分形无法用传统的一维、二维、三维整数维度来刻画．通过分形结构分析，对复杂不规则形态提供了一种数学框，从而得以定量描述．而分形结构分析中最具重要性的特征参数是分形维数（简称分维）[2]．如著名的Koch曲线，用一维的长度来描述是无穷大，用二维的面积来描述是0，分数维度是1.26，介于一维和二维之间；Menger海绵用二维的面积来描述是无穷大，用三维的面积来描述是0，而实际分数维度是2.73，介于二维和三维之间．这种自相似性都可以用图形或函数的迭代、递归过程来描述，如仿射变换和复函数迭代生成法，本文主要研究基于仿射变换的分形IFS生成方法．

1分形图形中的仿射变换

仿射变换是一种二维坐标到二维坐标之间的线性变换，除了满足对于任意，，，有，条件外，变换前后须满足，其中：，，，，，为实系数；，为未知数．复杂的仿射变换可以通过旋转、倾斜、平移和缩放等基本子变换复合而成，图形经过仿射变换后，仍保持二维图形的“平直线”和“平行性”．常见的数学经典分形和自然分形都具有自仿射性，对于简单分形而言，通过收缩的仿射变换，即压缩映射，可以反复生成该图形的缩小版复制品；对于复杂的自然图形而言，一般需要若干个仿射变换共同作用于初始图形才能生成缩小版复制品．每个子图都是整体图形的一个仿射变换，因此，一个迭代函数系统实际上是一组仿射变换的集合[3]．

迭代函数系统（iterated function system，IFS）生成法认为，几何对象的整体和局部在仿射变换的意义下具有自相似结构．因此，可以通过定义对象的整体并选定若干仿射变换，将整体形态变换到局部，通过反复迭代过程直至得到满意的图形[4]．

2基本分形图形的IFS生成

基本的分形图形有Cantor集、Box分形、Koch曲线、Peano曲线、谢尔宾斯基三角垫和Menger海绵等．

以常见的分形图——谢尔宾斯基三角垫为例，通过仿射变换分析其IFS的生成过程及原理，并以此为基础，引入计算机分形图形的IFS生成规则．

2.1分形图形中的仿射变换

2.2分形图形的计算机生成原理

Apophysis分形软件绘制各种分形图形的步骤为：（1）随机选择一个位置后，随机选择一个变换作用在该位置上，生成一个新的位置；（2）再随机选择一个变换作用在新的位置上，重复若干次后，得到第1个点；（3）随机选择一个变换作用在第1个点上，反复进行，可生成一个点序列，最后再回到（1）重复这个过程，即可根据所选择的仿射变换生成对应的分形图形．要注意的是初始仿射变换的个数必须大于或等于2，同时可利用非线性函数等内置算法作用于已生成的图形，以期得到更绚丽的分形图形．

2.3分形图形的IFS码

相对于谢尔宾斯基三角垫来说，可以利用Apophysis来生成更复杂的分形图形，当然也需要选择更多更复杂的仿射变换．为了直观清楚地认识这些压缩性的仿射变换，可根据各个变换的系数和概率值，生成该分形图形的IFS码．以Box分形为例，图2a中Box分形由13个压缩仿射变换生成，相应压缩变换见图2b．

a　5×5型Box分形 b　变换示意图

通过分析Box分形中包含的13个仿射变换，可以生成该分形的IFS码（见表2）．其它分形也可以通过类似的方法生成对应的IFS码．

表2　55型Box分形的IFS码

表2　55型Box分形的IFS码

变换系数概率变换系数概率 abcdefabcdef 10.2000.2000.07780.2000.20.80.40.077 20.2000.20.400.07790.2000.20.20.60.077 30.2000.20.800.077100.2000.20.60.60.077 40.2000.20.20.20.077110.2000.200.80.077 50.2000.20.60.20.077120.2000.20.40.80.077 60.2000.200.40.077130.2000.20.80.80.077 70.2000.20.40.40.077

同样也可改变仿射变换的个数和系数，生成各种变形的Box分形，创造出更漂亮的图形．

2.4常见自然分形图形的生成方法

除了经典的数学分形外，利用Apophysis软件还可以生成树叶、花草和山脉等自然分形．要生成这些图形，关键是发现与之对应的几个压缩仿射变换，即目标图形可分解为若干部分，而每部分通过一个仿射映射（即沿各个方向的放大率不同）与整体重合[5]．应用IFS系统的吸引子模拟自然景物，生成的图像形态特征是由压缩映射族和伴随概率集共同决定的[6]．以图3a中生成的蕨叶为例，分析其生成过程中所需要的各种仿射变换，整个蕨叶可以看成由左下角的小叶子、右下角的小叶子、中间的叶茎和其它的叶片4部分组成．由于蕨叶都是具有自相似、自仿射的图形，因此4部分可分别通过对蕨叶进行压缩仿射变换而得到．在Apophysis中用变换三角形表示仿射变换（见图3b），图3b中上面的变换是将整体稍微缩小后顺时针偏移小的角度（记为变换1）；左下角的变换是将整体缩小并逆时针旋转左右（记为变换2）；右下角的变换是将整体缩小后垂直翻转并逆时针旋转左右（记为变换3）；下面的变换是将整体方向上缩短，方向上收缩为一点（记为变换4）．这样经过反复的随机迭代后，即可生成图3a中对应的蕨叶．在实际创作过程中，一般要对初步生成的分形图形进行位置、大小和旋转上的微调，以期生成更漂亮而逼真的图形．最终分形蕨叶对应的４个仿射变换的IFS码见表3，这里要特别注意的是最后一列概率值，与表２中各个变换等概率值不同，由于4个仿射变换的三角形面积不一样，上面的变换最大，需要出现的次数更多，下面的变换最小，需要出现的次数较少，因此需进一步调整Weight值，改变选择各个变换概率的大小，这样才能生成比较完整的分形，否则会出现太过稀疏的分形蕨叶．对于一般的图形，通过合理地选择仿射变换系数，也能取得较好的模拟效果，但仿射变换系数的选择仍然是一个值得探讨的问题[7]．

表3 分形蕨叶的IFS码

3自然分形图形的优化设计

利用IFS可以模拟生成许多自然分形，其中最关键的是确定仿射变换的系数或IFS码．为了设计出更具艺术效果的分形图形，除了利用Apophysis仿射变换功能外，还可以选择非线性函数、对数密度显示与结构着色等Apophysis中内置的算法．在通晓这些功能的数学理论背景后，可以进行更广泛的艺术创作，这样设计出的分形图形更具实用价值．

以分形花为例（见图4），分析其形成过程中的各项功能选择和设置．图4中的分形花共包含4个变换三角形，每个变换三角形由不同的初始函数、仿射变换和颜色渐变等共同作用，结果分别对应于分形花的不同部分．变换三角形对应于花瓣；变换三角形对应于花丛；变换三角形对应于花蕾；变换三角形也对应于花丛．初始函数包括pre_blue，julian，separation，bubble等，其中bubble函数为

同时通过三角变换的反复作用，形成该分形花的IFS码（见表4）．

表4　分形花的IFS码

IFS方法程序编写简单，但IFS码的取得比较复杂．该方法不仅可用于分形植物的绘图，而且还可以用于图像压缩领域[8]．

4结语

分形图形具有自相似性和自仿射性等性质，以压缩仿射变换组为基础，辅以不同的初始函数及其变量、颜色渐变条和三角变换等．利用IFS方法可以模拟生成许多数学分形和自然分形，这时生成的分形图形往往比较单调，需要数学和艺术上的进一步改进和优化，才能形成绚丽的分形图形，并能在丝绸印染、广告设计和艺术创作上得到广泛的应用．

[1] 孙洪泉．分形几何及其分形插值研究[J]．河北工业大学学报，2002（1）：56-60

[2] 王东升，汤鸿霄，栾兆坤．分形理论及其研究方法[J]．环境科学学报，2001（S1）：10-16

[3] 潘陆益．IFS分形图拟仿射变换模型及其实现[J]．计算机系统应用，2008（1）：83-86

[4] 朱华，姬翠翠．分形理论及其应用[M]．北京：科学出版社，2011：101

[5] 文志英，井竹君．分形几何和分维数简介[J]．数学的实践与认识，1995（4）：20-29

[6] 章立亮．迭代函数系统IFS随机分形的生成方法[J]．计算机工程与设计，2008（15）：3947-3950

[7] 翟俊海，刘振鹏．基于IFS的图形模拟方法[J]．河北大学学报：自然科学版，2004（1）：87-90

[8] 赵慧兰．基于分形几何学的植物图像计算机模拟[J]．浙江师范大学学报：自然科学版，2007（3）：299-302

Based on IFS method of fractal pattern generation and optimization design

ZHU Hai-xiang

（School of Education and HumanitiesSuzhou Vocational University，Suzhou 215104，China）

Fractal graphics has self-similarity，self-affine and scale-free feature．Based on a series of compressed affine transformation，and complementary with different initial functions，variables，change colors，edit the gradient and Xaos，triangle，etc，by the IFS method，simulate many mathematical fractal and fractal nature．In the silk printing，art making and advertising design，and other fields，it has been widely used．

IFS；fractal graphics；affine transformation

O189.3

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.04.007

2016-01-07

江苏省丝绸织绣产品功能检测试验基地建设项目——分形图形的IFS生成法及其在丝绸纹样上的应用；苏州市职业大学青年基金项目（2014SZDQ02）——基于J集和M集的分形图形生成及其在丝绸纹样上的应用

朱海祥（1981-），男，江苏海安人，讲师，硕士，从事数学教育和数学应用研究．E-mail：895887941@qq.com

1007-9831（2016）04-0028-04