归纳推理在数学概念教学中的实施思考

姜跃琪

[摘 要] 在数学课堂中重视对学生归纳推理思维的培养，可以培养学生的创造力，丰富学生的想象力. 数学概念教学是数学教学的重头戏，一般都采用演绎推理的方式实施教学，束缚了学生的主观能动性和创造力，不利于培养创新型人才. 运用归纳推理思维来教学数学概念，可以助力学生智慧的生长，能力的提升，并直抵数学的本质，提高学生的数学素养.

[关键词] 数学概念；归纳推理；形成智慧；提升经验；创新精神

作为数学教学重要内容之一的数学概念，在我们的日常教学中，常常习惯于采用演绎推理——由结论出发回找原因的方法进行教学. 这就意味着学生在学习前要预先知道与本课所要学习的概念相关的试题和结论. 这样的教学方式，史宁中教授认为是“教学的颠倒”，忽视了对学生“通过条件预测结果的能力”“依据结论探究成因的能力”的培养. 法国数学家拉普拉斯说：“即使在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比. ”

事实也的确如此，对学生来讲，他们对每节课新授的内容是完全陌生的，即使做了相关预习，也不一定能透彻地理解其形式定义，演绎只会更加束缚他们的创新思维，逐渐变得循规蹈矩. 而归纳推理则要灵活得多，它可以是直觉，可以是假设，可以是猜测，甚至可以是某种朦胧的意识，其推断依据也不必是严谨的法则，只要合乎情理即可. 这就给了学生极大的探究空间，更利于学生发现真理，感悟真理，灵活运用真理.

基于以上认识，笔者在数学概念教学中尝试实施归纳推理，给学生广阔的数学实践、探究空间. 现谨以苏教版八年级下册第8章“认识概率”中的“频率与概率”一课为例，谈谈笔者的一些做法和思考.

从学生最近发展区出发，确定

相适应的前理解素材

生活中关乎概率的事件很多，比如常见的彩票中奖、庄稼收成、天气变化等，但这些需要极多专业知识辅助的例子，不适宜当前学生分析、归纳出“概率”和“频率”的定义. 因此，备课时，笔者从学生认知的最近发展区出发，设计了学生非常熟悉的教学素材：抛硬币自由落下后正面和反面次数的概率，让学生在小组合作操作中形成记录. 然后，出示18世纪以来统计学家们在抛硬币试验中得出的几组数据（表1）.

因为有了自己的亲身操作实践，还有统计学家的实验记录，普通的小事立刻变得充满数学味. 学生的兴趣立刻得到极大地调动，他们各抒己见，畅所欲言，最后形成共识：抛硬币落下后正面朝上的频率总在二分之一附近波动，而且近似等于二分之一. 这样，他们对随机性事件发生可能性的大小、频率以及“概率”的概念都有了真实的体验.

教材中给出了随机事件概率的定义和记写规定，如把某一事件记作“A”，将这个事件的概率用“P（A）”表示，必然事件就是百分之百会发生，于是记作“P（A）=1”，随机事件发生的概率则在0～1之间，用“0< P（A）<1”来表述……这种约定俗成的说法，如果我们直接出示以告知学生也未尝不可，且丝毫不影响学生今后的作业和测试. 但从数学的意义和价值上来说，笔者觉得还是有必要让学生经历一次形成的过程，这样可以更好地体会数学的严谨和简约. 比如先让他们思考合适的表达方式，无论文字还是字母、数字，再将他们的结果与教材上的表述相对照，能够与教材表述思路一致的，必然喜出望外，成功感油然而生；有所差距的，则会对照，暗自修改，最后达到真正内化、吸收的目的.

让学生多列举特殊例子，充分

感受归纳推理的过程

既然是归纳，我们就要尽可能地让学生列举多种现象，懂得避免由个别现象代表普遍现象的以偏概全的错误. 教学中，笔者让学生通过掷图钉的例子，进一步体会可能性的大小变化，并出示数据引导分析（表2是小明和同学做“掷图钉实验”获得的数据）.

德国天文学家开普勒非常珍视类比归纳，他把类比称为“最可信赖的老师”，能“揭示自然的所有奥秘”. 其实，在数学中，类比归纳的地位也很高，也应得到充分的重视，因为只有在大量事例的分析归纳中才能真正让“特殊到一般”，加快学生对概念的准确理解，提高学生解决问题的能力，积累实用的数学经验. 上述第二个案例中，因为图钉身大头小的特性，它的抛掷结果与硬币大有不同，在这一不同中，学生对“概率”的认识又进了一步. 笔者再让他们继续列举，如：（1）全班同学中同年同月出生的人；（2）全班同学中同年同月同日出生的人；（3）在外旅游遇到家乡人；（4）旋转硬币后随意压倒正面朝上；（5）回家打开电视恰好在放广告；（6）自由转动指针，指针停止后指向……通过诸多现象的列举和分析，学生能充分感受并经历归纳的基本过程，发现问题、探究问题、解决问题的能力也能得到很好的锻炼.

给学生探究归纳的空间，实实

在在地提升数学经验

有了诸多生活现象的列举，学生拥有了丰富的感知素材，这也为他们的进一步探究和归纳提供了可能和空间. 课堂上，笔者继续安排学生进行探究活动：根据对某品牌护眼台灯的质量检验数据进行分析（表3）.

（1）请计算抽到该品牌台灯“合格品”的频率，填写在表格中；

（2）根据表格数据绘制该品牌台灯“合格品”的频率折线统计图；

（3）分析：当抽到的该品牌的台灯的数目很大时，你发现“抽到合格品”的频率在哪个常数附近摆动？

这样，学生通过计算，又得到了与刚才两例不同的信息. 笔者将上面统计学家们抛掷硬币、小明和同学抛掷图钉以及这里某品牌台灯抽样质检的三个不同概率结果让学生们进行对比，并让他们分组讨论随机事件发生的频率变化及原因. 他们很快交流汇总得出：只要硬币质地均匀，那么“正面朝上”的概率为0.5，与反面朝上的概率均等；图钉因为构造的特殊性，“钉尖着地”与“钉尖不着地”的概率出现了不均等；当台灯抽样质检的数量足够多时，合格品的概率就会接近某一个常数. 继而，他们又推断出频率、频率稳定性、概率大小可能性变化特点等一系列相关认知，在充分感悟了归纳推理的方法和效能的同时，锻炼了分析问题、解决问题、概括提炼的能力.

在“频率与概率”中，出现的数学术语和概念比较密集，教材也基本采用演绎的方式——先给出一个定义（这是人们经历无数论证得到的公认的成果），然后直接呈现给学生，接着让学生揣摩、理解、记忆. 这样的结果是“剥夺了学生创造定义的机会”，而且更糟的是，“处于这个阶段的学生尚不能自主理解这比较枯燥的形式定义，更无法理解这形式定义的目的和意义. ”新课标要求学生能通过观察、实验、归纳、类比获得数学猜想，并进一步寻求证据，给出证明或举出反例. 在中学数学概念教学中，重视对学生归纳推理能力的培养，有利于学生加深认知，增强创新意识和能力，提高数学素养，形成数学智慧，值得我们继续研究与实践.