教学技巧从压轴试题谈抛物线教学设计

葛殷殷

[摘 要] 中考数学的压轴试题离不开抛物线，往往对于抛物线相关性质的研究成为教学难点和关键，教师应选取合适的问题，在师生双向交流基础上，将问题中的抛物线模型总结和开发出来，加强学生对压轴抛物线问题的理解和掌握.

[关键词] 抛物线；初中；数学；压轴；设计

在初三复习教学环节，抛物线问题成为教学的难点和重点. 近年来，中考压轴试题往往以抛物线为载体进行设计，通过抛物线中问题的编制，考查学生对核心知识、方法的掌握程度. 压轴试题如何研究呢？笔者认为这需要教师一定的积累，结合罗增儒教授提出的解题教学引论来说，复习教学的研究需要关注三个层次：其一是研究近年的相关原题，毕竟原题考查的是最核心的问题，也考查的是知识整合较全面的问题，教学这样的问题对学生思维的启发比较重要；其二是加强教师改编问题的复习，考虑到原题往往多次做过，学生对问题已失去新意，教师需要将压轴问题的更多视角在改编问题中加以呈现，以抛物线为例，笔者在下文中改编了知识点考查频繁却不失新意的一些问题供教学之用；其三是提高学生对压轴问题数学模型的抽象再认知，在进行一类问题的教学设计和设想时，教师应注重多角度知识的渗透、思维的启发以及对学生情感、态度、价值观的培养.

建立模型

问题 点D（0，1）为一定点，P是抛物线y=x2上任意一点，试说明点P到直线y=-1的距离与该点P到定点D的距离的大小关系.

近几年，利用抛物线的定义命制的中考题备受青睐，而且大多以压轴题的形式出现，由于学生的建模能力不强，这类问题成为学生的“障碍”，笔者拟以本题为背景建立数学模型，结合初中的基本几何图形及直角坐标系中的函数图像等，把这类压轴题巧妙转化.

课堂探究

先在抛物线上任取几个特殊点，计算出这些点到直线y=-1的距离及PD的长度，从中发现规律并进行说理.

说明 本题从特殊出发，让学生寻找其发展规律，归纳出一般的结论并进行验证，然后加以变式与推广，旨在理解和掌握抛物线的定义这一核心知识，同时，有意识地挖掘和提炼其中蕴涵的数形结合、方程、函数、转化等数学思想方法，使学生经历观察、试验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神.

解决问题

问题1 在直角坐标系中，已知点A（0，1），P为抛物线y=x2上一动点，探究：

（1）（2015年眉山市中考改编）已知点C（3，5），当点P位于何处时，△PAC的周长有最小值？并求出△PAC的周长的最小值.

（2）（2015年黄冈市中考改编）过点A的直线y=kx+b与抛物线交于M，N两点，对于过点A的任意直线MN，是否存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相切？如果有，请求出直线m的解析式；如果没有，请说明理由.

解析 （1）如图2，由模型可知点A（0，1）、直线y=-1为抛物线中的定点与定直线，易得AC=5，过点P作直线y=-1的垂线，垂足为点H，则有PA=PH，所以△PAC的周长=PC+PH+5. 因为当C，P，H三点共线时，PC+PH最小，此时点P的坐标为3，，△PAC的周长（最小）为11.

（2）易知点A（0，1） 、直线y=-1为抛物线中的定点与定直线，如图3，过点M，N分别作直线y=-1的垂线，垂足分别为M′，N′，可得NN′=NA， MM′=MA，那么MN=MM′+NN′，作梯形MM′N′N的中位线PQ，由中位线性质知PQ=（MM′+NN′）=MN，即圆心到直线y=-1的距离等于圆的半径. 所以存在直线y=-1满足条件.

说明 学生在解决第（1）问的时候，对其中数据的处理、函数图像的几何特征已经比较熟悉了，这时教者趁热打铁，顺势利导，将两道压轴题的背景合二为一，设置于同一抛物线中，避免学生再次读题、审题、理顺关系，为课堂教学赢得了时间，既达到了命题者的考查意图，又使学生感受到了数学的魅力，体验到了数学的乐趣，克服了畏难心理，使学生增进对数学的理解和学好数学的信心.

问题2 （2015年天津市中考改编）如图4，过点F0，作一直线交抛物线y=x2于P，Q两点，若线段PF与QF的长分别是p，q，试判断+=2是否成立，并说明理由.

解析 由模型推广1可知，点F0，、直线y=-为抛物线中的定点与定直线，如图5，过点P，Q分别作直线y=-的垂线，垂足分别为M，N，则PM=PF，QN=QF. 设点P的坐标为m，m2，则点M的坐标为m，-，又F0，，则可求得直线PF的解析式为y=x+，将其与抛物线方程联立可求得点Q的坐标为-，，于是N-，-. 则p=PF=PM=m2+，q=QF=QN=+. 所以+=2. 所以+=2成立.

说明 本课以抛物线为背景，将多个中考问题进行了有效改编，问题之间存在着相互联系，通过改编类似问题，能让学生了解问题解决过程中重要的知识结构，只有研究更为深刻的知识才能将压轴题背后的本质讲解得更为清楚. 笔者认为，不断加深对中考压轴类似问题的探索以及改编问题的尝试，才能将抛物线中更多被考查的知识点融入学生的脑海中.

总之，教学必须依赖问题，特别是近几年的热点问题，教师要对热点问题进行研究，并组织合理的课堂教学设计，如本课将抛物线中的三角形周长、定值等问题整合到教学中，尽管以压轴问题形式进行体现，但学生在环环相扣中也能较好地接受并解决，从而提高教学的有效性.