基于二阶带通滤波器的加速度计结构化动态建模

杨子凯，王建林，于 涛，赵利强

（北京化工大学 信息科学与技术学院，北京　100029）

基于二阶带通滤波器的加速度计结构化动态建模

杨子凯，王建林，于 涛，赵利强

（北京化工大学 信息科学与技术学院，北京100029）

针对加速度计二阶动态模型难以准确描述较高频域范围内加速度计动态特性的问题，文中提出了一种基于二阶带通滤波器的加速度计结构化动态建模方法。该方法以加速度计二阶动态模型为基础，将二阶带通滤波器作为基本单元对加速度计动态模型的结构进行修正，实现加速度计动态模型的结构化升阶，建立加速度计高阶动态模型。实验结果表明，该方法所建立的加速度计高阶动态模型相对于二阶动态模型具有更高精度，能更好地描述加速度计的动态特性。

加速度计；结构化动态建模；二阶带通滤波器；频率响应特性

加速度计动态模型是描述加速度计动态特性的主要方法之一，是分析研究加速度计动态误差补偿、动态解耦的基础［1］。现有的加速度计动态建模方法中，将加速度计等效为单自由度弹簧－质量－阻尼器系统，用二阶动态模型来描述加速度计的特性，并通过最小二乘法等参数模型辨识方法估计二阶动态模型的参数。胡红波等［2］结合绝对法冲击动态校准加速度计的实验数据，利用线性最小二乘算法在频域内实现了加速度计二阶动态模型参数的估计；Alfred Link等［3］利用状态空间描述加速度计输入输出及噪声之间的关系，提出了一种加速度计输入信号的处理方法，结合加速度计的冲击响应，通过极小化系统预测误差序列实现了加速度计二阶动态模型参数的估计；Alfred Link等［4-5］利用加速度计正弦校准测量的数据和线性最小二乘算法以及加速度计冲击校准测量的数据和频域加权最小二乘算法辨识得到了加速度计二阶动态模型的参数。这些方法所建立的加速度计二阶动态模型具有较高精度，在较低频域范围内能较好的描述加速度计的动态特性，然而在较高频域范围内二阶动态模型难以对加速度计动态特性进行准确描述。二阶带通滤波器可以允许指定频域范围内的信号通过，同时阻止低于或高于该频域范围的信号干扰或噪声，加速度计的频率响应特性可以看作是二阶系统频响特性与一个或多个二阶带通滤波器频响特性的叠加。

文中以加速度计二阶动态模型为基础，提出了一种基于二阶带通滤波器的加速度计结构化动态建模方法，利用二阶带通滤波器实现加速度计动态模型结构化升阶，建立加速度计高阶动态模型，更加准确地描述加速度计的动态特性。

1　加速度计动态模型

1.1加速度计二阶动态模型

在测量运动体的加速度时，加速度计紧密固定在被测运动体上，与被测运动体加速度相同，此时，加速度计可等效为单自由度弹簧－质量－阻尼器系统［3］，如图1所示。

加速度计单自由度弹簧－质量－阻尼器系统的输入输出微分方程为

图1　单自由度弹簧－质量－阻尼器系统Fig．1　The one degree of freedom spring-mass-damper system

1.2加速度计动态模型结构化升阶

二阶带通滤波器的传递函数可表示为

式中，ω0为带通滤波器的中心角频率；带通滤波器的带宽B0=ωh-ωl；ωh，ωl分别为上下限截止角频率，Av是带通滤波器在中心角频率ω0处的增益。

1）加速度计高阶动态模型构建方式

图2给出了加速度计高阶动态模型的构建方式。

图2　加速度计高阶动态模型的构建过程Fig．2　The building process of higher-order dynamic model of accelerometer

图2所示加速度计高阶动态模型构建过程是一个串联结构，经过i-1个串联环节后所得模型Gi（s）可表示为：

式中，G0（k-1）（s）为第 k-1个串联环节中二阶带通滤波器的传递函数 G0（s）；G1（s）为加速度计二阶传递函数模型，对式（1）所示加速度计二阶微分方程模型作拉普拉斯变换，可得

2）加速度计动态模型迭代结构化升阶

经过次结构化升阶后所得加速度计动态模型Gi（s）为：

式（5）中动态模型的结构和参数都已知，加速度计动态模型中只有二阶带通滤波器的3个参数未知，因此为了得到完整的加速度计动态模型Gi（s），需要估计二阶带通滤波器的参数。模型Gi-1（s）有如下关系：

式中，Ui-1（s）表示模型Ui-1（s）预测输出的拉普拉斯变换；A（s）表示加速度计输入加速度信号的拉普拉斯变换。

由式（5）和式（6）可得加速度计动态模型Gi（s）中二阶带通滤波器G0（s）有如下关系表达式

式中，U（s）为加速度计输出电压信号的拉普拉斯变换。

利用模型的输出误差数据及预测输出数据辨识模型Gi（s）中二阶带通滤波器G0（s）的参数，就可建立完整的加速度计动态模型Gi（s）。

2　加速度计动态模型参数辨识

加速度计高阶动态模型的参数辨识，首先需要辨识加速度计二阶动态模型的参数；然后根据式（7）所示的关系式，利用参数模型辨识方法辨识加速度计高阶动态模型［6］中二阶带通滤波器的参数。

2.1加速度计二阶动态模型参数辨识

式（1）所示加速传感器二阶微分方程对应的状态空间方程为

采用零阶保持器对式（8）进行离散化，可得加速度计的离散状态方程为

引入前向移位因子q，有qa（k）=a（k+1），可得：

式中，θ=［δ，ωn，ρ］T为待辨识的3个参数。

由式（10）可得如下差分方程：

根据式（11）所示的线性回归模型结构，可得系统最优一步预测输出为［8-9］：

系统预测误差可表示为：

加速度计二阶动态模型的参数θ可通过极小化如下误差准则函数进行估计［6］：

2.2二阶带通滤波器参数辨识

根据式（7）所示加速度计动态模型Gi（s）中二阶带通滤波器G0（s）关于Ui-1（s）和U（s）的关系表达式，令Ei-1（s）=U（s）-Ui-1（s），可得：

式中，N为采样数据点总个数，ZN为系统输入输出数据集。

式（14）所示误差准则函数的极小化求解，可利用最小二乘算法实现，参数θ的估计值可表示为

对式（16）作反拉普拉斯变换可得二阶带通滤波器的微分方程为：

根据上述加速度计二阶动态模型参数辨识方法，亦可用最小二乘法实现加速度计高阶动态模型中二阶带通滤波器参数的辨识。

3　实验与分析

3.1加速度计二阶动态模型辨识结果

文中实验获取加速度计绝对法冲击动态校准实验数据的校准装置是采用中国计量科学研究院的冲击激励系统。由输入加速度峰值am=4 950．00 gn（gn=9．81 m/s2）的实验数据进行辨识计算，可得到加速度计二阶动态模型的三个参数分别为δ=0．446 9，ωn=2．317 5×105rad/s，ρ=κη=1．145 8×106。图3给出了辨识所得加速度计二阶动态模型的频率响应曲线与输入加速度信号峰值am=6036．16gn的实验数据经过经验传递函数估计（Empirical Transfer Function Estimate，ETFE）方法［3］计算得到的加速度计频率响应曲线的对比结果［10］。

图3　加速度计频率特性曲线对比图Fig．3　Comparison chart of frequency characteristic curve of accelerometer

由图3辨识所得加速度计二阶动态模型的频率响应曲线与实验数据经过ETFE方法计算得到的加速度计频率响应曲线的对比结果可以看出，两种不同方法得到的频率响应曲线在较低频域范围内具有良好的一致性，而在较高频域范围内存在较大差异。

3.2加速度计高阶动态模型辨识结果

1）一次结构化升阶

利用加速度峰值am=4950．00gn的实验数据，根据加速度计二阶动态模型的 3个参数，通过式（11）所示差分方程计算得到加速度计二阶动态模型的预测输出，同时利用加速度计实测输出数据求得加速度计二阶动态模型对应的输出误差数据。结合获得的数据，利用最小二乘法辨识得到二阶带通滤波器的3个参数分别为ω0处的增益Av=0．080 7，带宽B0=3．508 2×106rad/s，中心角频率ω0=6．264 9×105rad/s。由此可得经过一次结构化升阶后所得高阶动态模型G2（s）的传递函数为

改进后所得加速度计动态模型与二阶动态模型的频率响应曲线对比结果如图4所示。

图4　加速度计动态模型的频率响应曲线Fig．4　The frequency domain response curve of dynamic model of accelerometer

由图4可以看出，相比于二阶动态模型，一次改进后所得加速度计动态模型的幅频响应有较明显的改进，能更好描述加速度计的动态特性。

2）加速度计高阶动态模型分析

表1给出了经过0～4次结构化升阶后所得加速度计动态模型幅频响应与ETFE计算值的误差平方和。

由表1中所示不同阶次动态模型对应的幅频响应误差平方和可以看出，经过一次修正后，所得模型对应的幅频响应误差平方和相比于二阶动态模型有较明显的减小；然而继续对模型作2～4次修正后，所得动态模型对应的幅频响应误差平方和相比于作一次修正后所得模型没有显著的减小，因此，只需要对加速度计二阶动态模型作一次结构化升阶，过高阶次的模型对于加速度计动态特性的描述没有实际有效的意义。

表1　加速度计动态模型对应的误差平方和Tab.1　The sum of error square of amplitude frequency values of accelerometer dynamic models

4　结　论

本文所提出的基于二阶带通滤波器的加速度计结构化动态建模方法，以二阶动态模型为基础，利用二阶带通滤波器实现加速度计动态模型结构化升阶，建立加速度计高阶动态模型，能更好描述加速度计的动态特性。

［1］俞阿龙．基于遗传神经网络的加速度传感器动态建模方法［J］．仪器仪表学报，2006，27（3）:315-318．

［2］胡红波，孙桥．基于绝对法冲击校准的加速度计参数辨识研究［J］．测试技术学报，2013，27（1）:19-24．

［3］Link A，Von Martens H J．Accelerometer identification using shock excitation［J］．Measurement，2003，35（2）:191-199．

［4］Link A，Täubner A，Wabinski W，et al．Calibration of accelerometers:determination of amplitude and phase response upon shock excitation［J］．Measurement Science and Technology，2006，17（7）:1888-1894．

［5］A．Link，A．Täubner，W Wabinski，et al．Modelling accelerometers for transient signals using calibration measurements upon sinusoidal excitation［J］．Measurement，2006，40 （9）:928-935．

［6］徐逢秋，徐安萤，袁丁．一种程控滤波器的设计［J］．电子设计工程，2010（7）:198-199．

［7］肖德琴，冯健昭，周权，等．基于高斯颁布可传感器网络信誉模型［J］．通信学报，2008（3）:47-53．

［8］Ljung L．System Identification［M］．2nd ed．New Jersey Englewood Cliffs:Prentice-Hall，1998．

［9］Ljung L．Prediction error estimation methods［J］．Circuits，Systems and Signal Processing，2002，21（1）:11-21．

［10］田之俊，王敏．基于FPGA的高阶音频均衡滤波器设计［J］．电子科技，2011（2）:4-6．

Structural dynamic modeling of accelerometer based on second-order band-pass filter

YANG Zi-kai，WANG Jian-lin，YU Tao，ZHAO Li-qiang
（College of Information Science and Technology，Beijing University of Chemical Technology，Beijing 100029，China）

For the second-order dynamic model of accelerometer cannot accurately describe the dynamic characteristics of accelerometer on the higher frequency-domain，a structural dynamic modeling method of accelerometer based on second-order band-pass filter is proposed．The method takes the second-order pass filter as basic unit to achieve the dynamic model of accelerometer structural ascending order based on the second-order dynamic model of accelerometer，in order to build the high-order structural dynamic model of accelerometer．Comparing with the second-order dynamic model，experimental results show that the high-order dynamic model of accelerometer has higher accuracy，and can better describe the dynamic characteristics of accelerometer．

accelerometer；structural dynamic modeling；second-order band-pass filter；frequency response characteristics

TN713+．5

A

1674－6236（2016）02-0072-04

2015-05-09稿件编号：201505078

国家重大科学仪器设备开发专项项目(2012YQ090208)

杨子凯（1988—），男，四川广元人，硕士研究生。研究方向：加速度计动态建模。