由一道高考题谈解析几何问题“代数化”的策略

苏怀堂（北京市第二中学亦庄学校）

由一道高考题谈解析几何问题“代数化”的策略

苏怀堂
（北京市第二中学亦庄学校）

解析几何作为高中数学知识的重要组成部分，也是重要的高考高频考点之一。解析几何的核心思想是坐标法，即用代数方法研究几何图形的性质。因此，解决解析几何问题的首要任务是将问题代数化，即用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素。本文将通过一道高考题的解析，探讨解析几何问题的“代数化”的策略。

（Ⅰ）当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；

（Ⅱ）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由。

一、问题分析

本题要研究图形的几何性质是“是否为菱形”，因此要解决好如下几个问题：第一，菱形的判定定理有哪些；第二，本题应选择什么定理；第三，如何代数化“所选定理”。

菱形的判定定理有：①四边相等；②对角线互相垂直平分；③邻边相等的平行四边形。

判定定理的选择：①、③均需将距离代数化，而②只需代数化垂直平分，易知，选择第二个计算更简便，因此首先考虑“对角线互相垂直平分”。

代数化“对角线互相垂直平分”：如果代数化AC、OB互相平分，则需要O，A，B，C四点坐标分别表示AC、OB的中点，而代数化AC⊥OB，则需要直线AC、OB的斜率或向量的坐标。由此可知，直线AC方程、点B及直线OB方程三者知其一，就可将其他所有量代数化，因此就有了如下的方法一、二、三。

二、解法赏析

方法一：

∵点B不是W的顶点

∴直线AC斜率存在且不为0

设AC的方程为y=kx+m（k≠0，m≠0）

设A（x1，y1），C（x2，y2），

所以四边形OABC不是菱形

所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形。

方法二：设B（x0，y0），x0≠0且y0≠0，则OB的中点坐标为

其判别式Δ＞0恒成立

设A（x1，y1），C（x2，y2），则

所以四边形ABCD不可能为菱形

方法三：假设四边形OABC是菱形，则AC⊥OB

因为点B不是W的顶点，所以直线OB的斜率存在且不为0

设直线OB的方程为y=kx（k≠0）

又∵AC⊥OB

∵直线AC与椭圆W有两个不同的交点

∴Δ=64k2m2-16（k2+4）（k2m2-k2）=16k2（k2-k2m2+4）＞0，

设点A、C坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则

化简得1=4，这与1≠4矛盾

所以四边形OABC不是菱形

方法四：

则A，C两点为圆x2+y2=r2与椭圆的交点

所以A，C两点的横坐标相等或互为相反数。

因为点B在W上

若A，C两点的横坐标相等，点B应为椭圆的左顶点或右顶点。不合题意。

若A，C两点的横坐标互为相反数，点B应为椭圆的上顶点或下顶点。不合题意。

所以四边形OABC不可能为菱形。

三、总结归纳

坐标化的一般方式有两种：第一，直接设点坐标，然后坐标化相关问题；第二，设直线方程，通过联立方程表示坐标，然后再进行坐标化。一般的，若直线与椭圆相交，且需要两点坐标，则更多地选择设直线方程；若直线与椭圆相交，而只需要其中一点，则更多地选择设该点坐标。另外，从方法四可知，几何性质研究得越充分，计算就会越简单！

李铁安，宋乃庆.高中解析几何教学策略：数学史的视角［J］.数学教育学报，2007（2）.

·编辑张珍珍