贝叶斯公式的妙用

周坤　黄恒　赵华　滕兴虎

摘 要：本文利用贝叶斯公式对三门问题和潜艇区域搜索这两类经典问题进行了巧妙求解，以便于帮助读者理解贝叶斯公式在实际中的应用。

关键词：贝叶斯公式；全概率公式；三门问题；潜艇区域搜索

贝叶斯公式是概率论中极为重要的公式，它以其灵活的特性与简洁的表达方式，受到了广泛重视。正确运用贝叶斯公式，有助于把握随机事件之间的相互影响，为我们解决复杂问题提供方便。然而，多数教材对贝叶斯公式的探讨并不深入，公式的应用形式也过于单调。读者在学习过程中，通常只是简单地套用公式，对于贝叶斯公式的本质并没有彻底理解。本文将结合三门问题和潜艇区域搜索问题，巧妙利用贝叶斯公式深入探究其本质，帮助读者更好地掌握与应用贝叶斯公式。

一、三门问题

三门问题亦被叫做“蒙提霍尔悖论”，问题如下：

电视台的一个抽奖节目。台上有三扇门，一扇后边有汽车，其余两扇后边是山羊。主持人让参与者任意选择其中一扇门。然后，他将打开其余两扇门中的一扇，参与者看到是山羊。这时，他让参与者重选（主持人知道哪扇门后面有车）。也就是说，参与者可以在剩下的门中重新再选一扇。那么，参与者该不该选？

自从该问题1991年1月在美国《检阅》杂志刊登发表后就引起了广泛热议，许多人给出了他们自己的解法，如基于条件期望的方法、穷列举法等。下面我们采用贝叶斯公式对该问题的答案进行一个新的解释。

设三扇门分别为A门、B门、C门，假设抽奖人打开A门，三扇门后面是车的概率都为1/3。主持人知道哪扇门后面有车，设主持人打开C门的概率为P（openC），基于电视台利益的考虑，主持人打开的一定是羊门。

如果车在A门后面，则主持人有B、C两种选择，打开C门概率为：P（openC|A）=；如果车在B门后面，则主持人没有选择，只能打开C门，打开C门的概率为：P（openC|B）=1；如果车在C门后面，则主持人没有选择，绝对不能打开C门，打开C门的概率为：P（openC|C）=0。

因为A，B，C三个事件是样本空间车所在位置的一个划分，根据全概率公式P（openC）=P（openC|A）P（A）+P（openC|B）P（B）+P（openC|C）P（C），解得P（openC）=。

根据贝叶斯公式，在主持人打开C门的条件下，A、B两门后面是车的概率分别为：

因此，在主持人知道内幕的情况下，抽奖者应该换门。若主持人不知道哪扇门后面有车，则同样可运用贝叶斯公式进行求解。但在绝大多数情况下，主持人对车的位置是了解的，所以本文不再对主持人不知情的情况进行详细求解。

三门问题是一个极易产生“认知错觉”的问题，对该问题进行探讨和解决，将有助于提高我们的逻辑思辨能力。本文从归纳推理的角度，利用贝叶斯公式对其进行了再分析，从而获得了三门问题的合理答案。

二、潜艇区域搜索问题

该问题改编自美国某潜艇失踪的实例：一艘潜艇因意外事故在甲、乙、丙3个区域之一失踪，相关部门判断其概率分别为1/2，1/3，1/6。搜救人员对这些区域进行搜索，若有潜艇，则每个区域发现潜艇的概率分别为1/2，2/3，1/4。现在对甲区域搜索后未找到潜艇，求潜艇在甲、乙、丙3个区域失踪的概率分别是多少。

解：设事件A、B、C分别为搜索甲、乙、丙区域未找到潜艇，事件D1、D2、D3分别为潜艇失踪在甲、乙、丙3个区域，根据题意，得：

P（D1）=，P（D2）=，P（D3）=，则：

P（A| D1）=，P（A| D2）=1，P（A| D3）=1，由贝叶斯公式可得：

这是经过一次预估后所得的结果，如果一个区域被搜索后，没有发现潜艇的踪迹，按照贝叶斯公式，这个区域潜艇存在的概率就会降低，即：

其中p是潜艇位于该区域的概率，q是潜艇在这个区域的条件下，它被搜索到的概率。如果此次搜寻未搜索到失踪潜艇，则说明甲区域潜艇存在的概率会降低；若在第二次搜寻时，仍采取原预估概率，则搜索成功的概率会降低，所以我们以所求概率代替原预估概率，得到的新预估概率如下表所示：

若将区域扩展至n个，则每次寻找时会挑选所有区域内潜艇存在概率值最高的一个区域进行搜索。如果在该区域内没有发现潜艇，可把利用贝叶斯公式求得的结果作为新预估概率，以新概率替换原有概率，然后搜索新概率中概率值最大的区域。周而复始，直到找到潜艇为止，其操作流程图如下图所示。

以上我们利用贝叶斯公式，将潜艇搜索这一较为复杂的问题进行了巧妙的求解。通过对数据的反复更新，准确地把握了各个事件间的相互影响关系，抓住了问题的关键。

三、结语

贝叶斯公式的意义在于，根据事件的结果可以探寻引起该事件发生的原因，即“执果求因”。本文利用贝叶斯公式，对三门问题和潜艇区域搜索问题从新的视角进行了再探究，详细阐述了贝叶斯公式在求解现实世界中复杂事件概率的妙用。此外，贝叶斯公式在投资、保险、工程、生产等诸多领域也都有着重要作用，能够为生产实践提供有价值的决策支持。灵活掌握贝叶斯公式，定会给我们的决策带来很大方便。

参考文献：

[1]盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计（第4版）[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]宋立新.概率论与数理统计[M].北京：人民教育出版社，2008.

[3]王洪春.贝叶斯公式与贝叶斯统计[J].重庆：重庆科技学院学报，2010.