自内射代数上的d-Koszul代数

吕家凤,　王　雪

(浙江师范大学 数理与信息工程学院,浙江 金华　321004)



自内射代数上的d-Koszul代数

吕家凤,王雪

(浙江师范大学 数理与信息工程学院,浙江 金华321004)

主要引入了自内射d-Koszul代数的概念,研究了它的一些基本性质.运用反证法和数学归纳法等方法得到了2个主要结果:一是证明自内射d-Koszul代数是d-齐次代数;二是证明自内射d-Koszul复形恰好是其平凡模的一个极小分次投射分解.因此,得到了自内射d-Koszul代数与经典的d-Koszul代数具有很多类似性质的结论.

自内射d-Koszul代数;d-齐次代数;复形;投射分解

0　引　言

Koszul代数最初由Priddy于1970年正式提出,经过40多年的研究,Koszul代数出现了各种形式的推广:纯分解的、非纯分解的等.特别地,最近,对于分次代数A,当A0不是半单时,文献[1-5]给出了更为广泛的Koszul理论.本文采用文献[2]的思想方法,把文献[6]中的d-Koszul代数推广到零次分支非半单的分次代数的情形,引入了所谓的自内射d-Koszul代数,即分次代数A=A0⊕A1⊕A2⊕…的零次分支A0是自内射的k-代数.通过反证法和数学归纳法等相关方法,证明了自内射d-Koszul代数是d-齐次代数;通过研究自内射d-Koszul代数的复形,证明了该复形恰好是其平凡模A0的一个极小分次投射分解.这些结果是自内射d-Koszul代数的基本性质,为进一步研究这类代数的结构和更深层次的性质奠定了基础.

1　预备知识

首先回顾一些本文将要用到的定义及相关预备知识.

使得每个分次投射模Pi都是由δ(i)次生成,则称M为自内射d-Koszul模.其中,

特别地,若A0作为分次A-模是自内射d-Koszul模,则称A是自内射d-Koszul代数.

引理1设M是生成次数为s的分次A-模.如果Ms是投射的A0-模,那么

其中，ΩM是M的第1个合冲.

证明当i>1时,M的线性投射分解为

若将函子Hom(-,A0)作用到M的线性投射分解中,可以得到如下的复形:

则

又因为ΩM的投射分解为

且依然将函子Hom(-,A0)作用到ΩM的投射分解中,得到复形

当i=1时,将函子Hom(-,A0)作用到短正合序列0→ΩM→P→M→0中,得到下面的正合序列：

因为P为M的分次投射盖,M的生成次数为s,所以P的生成次数也为s.又因Ms是投射的A0-模,Ps≅Ms,所以

证明若A是自内射d-Koszul代数,则A0是自内射d-KoszulA-模,从而Ωi(A0)δ(i)是投射的A0-模.此外,存在A0的极小分次投射分解

其中,Pi由δ(i)次生成.将函子HomA(-,A0[n])作用到A0的极小分次投射分解中,可以得到复形

当n=δ(i)时,HomA(Pi,A0[n])≠0;当n≠δ(i)时,HomA(Pi,A0[n])=0.若考虑复形

则

反之,要证分次代数A是自内射d-Koszul代数,即证A0是自内射d-KoszulA-模.又因为A0是自内射d-KoszulA-模与Ωi(A0)的生成次数为δ(i)是等价的,所以只需证Ωi(A0)的生成次数为δ(i).

现在来回顾由A1生成的张量代数T(A),它是(A0,A0)-双模,即

2　主要结论及证明

定理1如果A是自内射d-Koszul代数,那么A是d-齐次代数.

证明首先考虑下面的正合序列:

由于m(p(x))=0,所以p(x)∈W.下面证明p(x)∉JW.

由于A0是自内射d-KoszulA-模,所以J[-δ(1)]=Ω(A0)[-δ(1)],即J[-1]=Ω(A0)[-1].可知A1≅J[-1]0是投射的A0-模,故下面的序列也是正合的:

因为p(x-y)=0,所以x-y∈Rn-1⊗A1,进而可得x∈Rn-1⊗A1+y,即x∈Rn-1⊗A1+A1⊗Rn-1,得到矛盾.因此,p(x)∉JW.

综上可知,p(x)∈W/JW≅Wδ(2)的生成次数为δ(2).但是,由于p作为一个分次同态,x∈Rn,n>2,对任意的n是矛盾的,所以A是d-齐次代数.定理1证毕.

现在介绍A的自内射d-Koszul复形.

设A≅T(A)/(R)是d-齐次代数,其中,R是某些d次齐次元所生成的理想,定义

定理2若A≅T(A)/(R)是一个d-齐次代数,则A是自内射d-Koszul代数当且仅当自内射d-Koszul复形是A0的投射分解.

证明若A是自内射d-Koszul代数,则A0是自内射d-KoszulA-模,从而,A的自内射d-Koszul复形K*有以下性质:

下证复形是正合的.

由序列

是右正合的可知,结论对n=1是成立的.当n>1时,

又因A0是d-KoszulA-模,且由引理2可知,只有当m=δ(n+1)时,

反之显然.定理2证毕.

[1]LiLiping.AgeneralizedKoszultheoryanditsrelationtotheclassicaltheory[J].JAlgebra,2014,420:217-241.

[2]LiLiping.AgeneralizedKoszultheoryanditsapplication[J].TransAmerMathSoc,2014,366(2):931-977.

[3]MadsenD.Ext-algebrasandderivedequivalences[J].ColloquiumMathematicsWarsaw,2006,104(1):113-140.

[4]MadsenD.OnacommongeneralizationofKoszuldualityandtiltingequivalence[J].AdvMath,2011,227(6):2327-2348.

[5]WoodcockD.Cohen-MacaulaycomplexesandKoszulrings[J].JLondonMathSoc,1998,57(2):398-410.

[6]GreenEL,MarcosEN,Martinez-VillaR,etal.d-Koszulalgebras[J].JPureApplAlgebra,2004,193(1):141-162.

(责任编辑陶立方)

d-Koszul algebra over self-injective algebra

LÜ Jiafeng,WANG Xue

(CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,Jinhua321004,China)

The notion of self-injective algebra was introduced and some related properties of such algebras were studied. By using the reduction to absurdity and mathematical induction, it was proved that (1) self-injectived-Koszul algebras wered-homogeneous graded algebras; and (2) the self-injectived-Koszul complex was a minimal graded projective resolution of the trivialA-moduleA0. Therefore, it was concluded that self-injective algebras had many similar properties as classicd-Koszul algebras.

self-injectived-Koszul algebra;d-homogeneous algebra; complex; projective resolution

10.16218/j.issn.1001-5051.2016.03.003

收文日期：2016-01-02；2016-03-09

国家自然科学基金资助项目(11571316)；浙江省自然科学基金资助项目(LY16A010003)

吕家凤(1980-),男，安徽定远人,副教授.研究方向：非交换代数.

O175.25

A

1001-5051(2016)03-0253-05