Carlitz反演公式的推广

陈佳宏

(喀什大学数学与统计学院，新疆喀什　844006)



Carlitz反演公式的推广

陈佳宏

(喀什大学数学与统计学院，新疆喀什844006)

本文运用和式重整的技巧，同时结合其他基本组合方法证明了一个新的反演公式，并给出其相应的矩阵形式和旋转形式.此反演公式包含经典的Carlitz反演公式作为其特例，是后者的一个自然、简洁的推广.

反演公式；Gould-Hsu反演；Carlitz反演①

0　引言

一些学者很早就已经运用反演的方法来证明组合恒等式及其他相关的数学问题. Riordan在其经典专著中专门用两章内容第一次系统阐述了包括最简单的二项式反演在内的一系列当时已知的反演关系[1].在Gould关于二项式反演的系列工作的基础之上，Gould和徐利治给出了一对具有基本重要性的反演公式[2].它包含了上述Gould的二项式反演公式在内的许多反演公式作为其特例，现常称之为Gould-Hsu反演.同年，Carlitz在同一杂志上给出了Gould-Hsu反演的q-模拟，该反演公式包含Gould-Hsu反演作为其特例，现常称之为Carlitz反演，但作者没有给出更多的应用[3].Carlitz反演的重要性是逐渐才为人们所认识.Andrews发现对于基本超几何级数具有里程碑意义的Bailey变换等价于Carlitz反演的特殊情形[4].Gessel和Stanton[5,6]应用Carlitz反演矩阵(Carlitz反演的等价形式)导出了一系列的求和公式和变换以及一些Rogerse-Ramanjuane型的等式.此后,关于这方面的研究层出不穷.鉴于Carlitz反演的重要性，寻求它的各种推广是一件有意义的工作.为此，本文特给出Carlitz反演的一个推广.

为后文叙述方便，首先引进一些记号

(1)

其中pq是任意复数，n为任意正整数，且使得piqi≠1，i=1,2,…,n.又约定(p,q)0=1.

(2)

(3)

此处ai=ai(p,q)，bi=bi(p,q)是两个与p，q有关的给定数列.且对任意非负整数x，Ω(x,n,p,q)恒不为零，并约定Ω(x,0,p,q)=1.

1　主要定理及其证明

在前述记号和约定之下，有如下主要结果：

定理1.1 记号及约定同上，则有如下反演公式成立

(4)

在上述定理中令p=1，既是Carlitz反演公式.

引理1.2在定理1.1的条件下，以下等式成立

(5)

(6)

pn-1(1-pkqk)ck=(pnqn-pk-1qk-1)ck-1

(7)

定理1.1的证明 由反演关系，任意假定公式(4)中的两个等式之一成立，则能由其推出另外一个等式即可.故若公式(4)中的第二个等式成立，将其代入第一个等式有

(8)

(9)

考虑到k为一变下标，将k-j依然记作k，则此式等价于

(10)

如此只要证明

(11)

其中δn,j为Kronecker符号.进一步，转化为证明

(12)

当n=0时，(12)式左边为

(13)

此时该等式成立.当n=1时，(12)式左边为

(14)

此时该等式也成立.当n≥2时，(12)式左边的和式为

(15)

(16)

上述倒数第二个等式由引理1.2得到，故等式(12)成立.进而定理1.1得证.

注：若在公式(1)中假定第一个等式成立，以此推证第二个等式，则转化为证明

(17)

上式可以通过如下分裂因子的办法得到：

(18)

2　定理1.1的变式

定理1.1可改写为如下形式

(19)

记无穷维列向量α=(f(0),f(1),…f(n),…)T，β=(g(0),g(1),…g(n),…)T， A=(αn,k)，B=(βn,k)为无穷下三角矩阵，其中k,n取任意非负整数.则定理1.1有如下的矩阵形式：

定理2.1记号如上，条件同定理1.1有

(20)

定理2.2记号如上，条件同定理1.1有

(21)

上式等价于

(22)

其中下标k的上限可以取有限或无限值，视具体情况而定，没有标明.也可等价的写成

(23)

综上所述，本文主要运用和式重整的技巧并结合其他基本组合方法得到了Carlitz反演公式的一个自然推广(定理1.1).同时，还给出了此推广的矩阵形式(定理2.1)和旋转形式(定理2.1).应用这些定理，可以得到一些经典等式的推广[7,8,9].

[1]J. Riordan. Combinatorial Identities[M]. New York: John Wiley and Sons,1968.

[2]H.W. Gould, L. C. Hsu. Some new inverse series relations[J]. Duke Math. J,1973,40:885-891.

[3]L. Carlitz. Some inverse relations[J]. Duke Math. J,1973,40:893-901.

[4]G.E. Andrews. Connection coefficient problems and partitions[C].D. Ray-Chaudhuri (Ed.). Proc. Symp. Pure Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc.,1979,34:1-24.

[5]I.M. Gessel, D. Stanton. Application of q-Lagrange inversion to basic hypergeometric series[J]. Trans. Amer. Math. Soc.,1983, (277):173-203.

[6]I.M. Gessel, D. Stanton. Another family of q-Lagrange inversion formulas[J]. Rocky Moutain J. Math,1986, (16):373-384.

[7]刘治国. Carlitz反演与Rogers-Ramanujan恒等式及五重积恒等式[J].数学的实践与认识，1995, (1):70-74.

[8]张彩环,张之正. 基本超几何级数的变换公式及Rogers-Amanujan恒等式[J].数学学报，2010,53(3):579-584.

[9]张之正,吴云.几个基本超几何级数变换公式的U(n+1)拓广[J].数学学报,2013,56(5): 787-798.

[责任编辑：房永磊]

An Extension of Carlitz’s Reciprocal Formulas

CHEN Jia-hong

(School of Mathematics and Statistics, Kashi University, Kashi 844006, China)

In this paper, we provide a new pair of reciprocal formulas by using the skill of exchanging summation symbols and other basic combinatorial methods, and then exhibit two various forms of this extension. This new pair of reciprocal formulas contains Carlitz’s reciprocal formulas as its special case, and can be considered as a nature and concise extension of Carlitz’s reciprocal formulas.

reciprocal formula; gould-hsu inverse; carlitz inverse

2016-07-20

喀什大学科研基金(项目编号：152568).

陈佳宏(1981-)，男，宁夏银川人，喀什大学数学与统计学院助教，理学硕士，主要从事代数研究.

O157.1

A

1004-7077(2016)05-0039-04