偏微分方程中常用的不等式及其证明

程建玲

(郑州工业应用技术学院基础部，河南新郑　451100)



偏微分方程中常用的不等式及其证明

程建玲

(郑州工业应用技术学院基础部，河南新郑451100)

Young不等式和Holder不等式是偏微分方程中常用的不等式，这些不等式为解决对偶空间构造、Sobolev定理等深刻结论的证明提供了重要的知识工具，对于促进现代数学的发展起到了非常重要的作用.本文证明了Young和Holder不等式的几种常用形式.

Young不等式；Holder不等式； 证明①

0　引言

Young不等式、Holder不等式在数学基础理论和应用上有重要的作用，Holder不等式是Cauchy-Schwarz不等式的推广，并对偏微分方程的发展起到了非常重要的作用[1-5].基本的Young不等式、Holder不等式出现多种变化的形式.它们的推广是不等式的后续发展,这些不等式为偏微分方程的证明提供了重要的知识工具[6-9].

1　Young不等式

(1)

(2) 推广的Young不等式

(2)

依次类推，可得(2)式.

(3)ε-Young不等式

(3)

(4) 卷积的Young不等式

(4)

2　Holder不等式

(5)

证明：用Young不等式来证明，

上式求和k=1,2,···n

(2)Holder不等式的定积分形式

(6)

(7)

若f1,f2,···fn>0,且f1,f2,···fn在Ω上可积，p1,p2,··pn>1,

(8)

(3) Lp空间的Holder不等式

(9)

证明：p=1,p=∞显然成立,当1

(10)

[1]汪云峰,王丹丹,刘建波.关于Young不等式的几点推广[J].唐山师范学院学报，2014,36(2):21-24.

[2]薛建明,周旋.Young不等式及其应用[J].贵州大学学报,2016，33(3):8-9.

[3]孙凤庆.Holder不等式再推广的几种形式[J].科学中国人,2015(11):248-249.

[4]周其生.矩阵迹的young不等式和反向young不等式的应用[J].安庆师范学院学报，2016,22(3):1-4.

[5]方企勤,沈燮昌.数学分析[M]．北京：高等教育出版社，2014.

[6]齐 渊.关于Holder不等式的再讨论[J].佳木斯大学学报， 2016,34(2):315-317.

[7]毛北行,孟晓玲.两种类型的不定积分问题[J].枣庄学院学报，2014,31(2):12-14.

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[责任编辑：房永磊]

Inequalities in Partial Differential Equations and Their Proofs

CHENG Jian-ling

(Zhengzhou Institute of Applied Technology, Xinzheng 451100,China)

Young inequality, holder inequality are partial differential equations commonly used inequality.To solve the proof of the structure of dual space, Sobolev theorem , these inequalities are the profound conclusion which provide an important tool for knowledge.To promote the development of modern mathematics, they play the very important role. In this paper, we describe some forms of Young inequality and Holder inequality which are commonly used in partial differential equations.

young inequality；holder inequality；prove

2016-09-01

程建玲(1981-)，女，河南省登封人，郑州工业应用技术学院基础部讲师，理学硕士，主要从事偏微分方程的研究.

O175.24

A

1004-7077(2016)05-0043-04