基于LMI的连续时间线性时滞系统有限频模型降阶

杜鑫，范培兵，刘夫伟

（1.上海大学机电工程与自动化学院，上海 200072；

2.华为技术有限公司，上海 200040）

基于LMI的连续时间线性时滞系统有限频模型降阶

杜鑫1，范培兵1，刘夫伟2

（1.上海大学机电工程与自动化学院，上海 200072；

2.华为技术有限公司，上海 200040）

针对连续时间线性时滞系统,研究了在系统工作频率范围为已知有限区间情形下的有限频模型降阶问题.通过引入有限频域内误差传递函数的最大奇异值函数作为指标函数,对模型逼近性能进行了刻画,进而结合一些基础性的矩阵不等式技术和线性时滞系统性能进行分析,得到了保持降阶模型稳定性的有限频模型逼近性能优化设计条件,这些条件以线性矩阵不等式（linear matrix inequalities,LMIs）的形式表示,易于检验和数值求解.最后,算例验证了结果的有效性.

模型降阶；有限频域；线性时滞系统；线性矩阵不等式

建立一个描述系统动力学的数学模型是对许多工程实际系统进行仿真、分析及综合利用的必要前提.对于一些储能元件个数较多的动态系统如电路系统、机械系统等来说，通常通过机理分析等方法得到的系统精确数学模型的阶数较高，从而给后续的系统仿真、分析带来了数值计算及物理实现上的困难.针对这类问题，一个广泛采用的解决方案是对原模型进行模型降阶［1-3］，即通过数学方法求取一个尽可能逼近原系统在工作频率范围内的动态响应特性的降阶模型.在过去的30多年时间里，模型降阶问题受到了包括应用数学、控制理论等领域的广泛关注.常见的模型降阶方法有基于矩匹配的有理插值方法［1,3］、基于奇异值分解的平衡截断方法［2-3］及各类数值优化方法［4］等.

时滞是一类常见的工程现象，常出现在网络控制系统、传输线系统、化工过程系统等［5-6］实际工程系统中.在过去20年时间中对时滞系统各类问题的研究得到了广泛的关注［7-16］，其中时滞系统的模型降阶问题有着重要的工程应用背景，如RLC电路内部链接传输线系统的建模与仿真等.因此关于时滞系统的模型降阶研究已成为时滞系统研究领域的一个重要分支，相应地出现了一些结果和报道，如文献［7］给出了基于矩匹配法的时滞系统模型降阶算法，这类算法使得降阶模型在给定插值频率点处及其邻域内都有很好的逼近效果，但是对逼近误差进行分析估计比较困难；文献［8］从标准线性系统格拉姆矩阵的定义出发，给出了一类时滞相关的基于位置格拉姆矩阵的平衡截断模型降阶方法；文献［9-10］从格拉姆矩阵的数值计算方法出发，给出了一类快速的基于估计格拉姆矩阵的平衡截断模型降阶方法，但这两类时滞系统的平衡截断方法都无法提供标准线性系统平衡截断理论中的模型逼近误差来估计上界，也无法保持原系统的稳定性.除这两类主要应用于大规模系统快速模型降阶的方法之外，针对相对系统模型阶数不太高的模型降阶则主要考虑采用数值优化方法［11-16］，该方法大多基于近年来在各类控制系统相关问题研究中广泛采用的线性矩阵不等式优化方法［17］.但是，现有的结果中均采用全频范围内的逼近性能指标，而该指标只能对全频域内的逼近误差进行优化［12-16］.另外，许多实际工程系统的工作频率往往为一个已知的有限频率区间［18-21］，现有的结果在逼近误差上就会显得比较保守，特别是在频率范围较小的情况下，基于全频性能指标而得到的工作频率范围内的逼近性能往往是不够理想的.

本研究考虑已知工作频率范围情形下的连续时间线性时滞系统的模型降阶问题，首先引入一个有限频误差系统传递函数的最大奇异值函数来作为模型在工作频率范围内逼近精度的衡量指标，然后结合投影引理、Schur补引理等基本的不等式工具以及一些已有的线性时滞系统有限频性能分析结果［22-24］，推导出相应的可优化有限频逼近性能的线性矩阵不等式设计条件，同时还给出了保持降阶模型稳定性的设计条件，进而将所考虑的模型降阶问题转化为一组基于线性矩阵不等式（linear matrix inequalities，LMIs）的优化问题，可方便地通过Matlab中的LMIs求解工具箱进行相应的数值求解.最后，通过数值算例验证了本方法的有效性.

1 问题描述

考虑如下方程描述的连续时间线性时滞系统：

式中，x（t）∈Rn为系统状态向量，u（t）∈Rl为系统输入向量，y（t）∈Rm是系统输出向量，A，Ad，B，C，Cd，D为系统参数矩阵，d＞0为未知的定常时延，假设其上界为已知常数该系统在频域内的表现形式为

式中，U（jω），X（jω）和Y（jω）分别为信号u（t），x（t）和y（t）经傅里叶变换后的频域表达形式.系统输入输出信号之间的关系可进一步表达为Y（jω）=G（jω）U（jω），其中G（jω）为系统的传递函数，

本研究讨论由方程（1）或（2）描述的线性时滞系统有限频模型降阶问题，即求取一个阶数低于给定系统的降阶系统：

式中，xr（t）∈Rr为降阶系统的低维状态向量，u（t）∈Rl为和原系统相同的输入向量，yr（t）∈Rm为降阶系统的输出向量，Ar,Adr,Br,Cr,Cdr,Dr为待求的参数矩阵.同样，降阶系统也可以在频域上进行描述，其输入输出的频域关系为Yr（jω）=Gr（jω）U（jω），其中Gr（jω）为降阶系统的传递函数，

且该降阶系统与原系统在给定频率范围内的误差逼近性能满足

以上文章并非写出履历的事实，而是从“追求真理”的角度整理自己的思想问题。而从书名可知，为使佛教相关人士注意，此文章包含偏差及强调。叙述自诞生至开始修习洋学的前半部分相当于长冈时期的事，后半部分则相当于东京大学时期的事。

来作为模型逼近性能的刻画指标，通过设计相应的优化算法使得该指标函数极小，进而给出相应的降阶系统模型.

对此，我是不敢苟同的。有次，我实在没忍住，跟她分享了自己的想法：“你总觉得自己是个姑娘，所以不该为生活奔波，理应坐享其成。可是生活从来不会因为你是姑娘就会对你格外开恩。”

引理2（投影引理） 给定Γ,Λ,Φ，存在矩阵F满足ΓFΛT+（ΓFΛT）T+Φ＜0的充分必要条件是

2 主要结果

首先给出满足有限频域内性能指标的降阶系统模型参数矩阵设计条件，然后给出保持降阶模型稳定性的设计条件，根据得出的这两个设计条件，降阶模型的参数矩阵可以方便地通过求解一组线性矩阵不等式优化问题得出.

“直开临杪”之“杪”，《全宋词》有一缺字符，而宋刻本有。依律“凡间谪堕”前缺一字，《全宋词》有一空方(缺字符)，而宋刻本连书不空。

定理1 考虑方程（1）给出的连续时间线性时滞系统，其中系统的工作频率范围ω∈［ω1,ω2］，如果存在对称正定矩阵Q11,Q22,Z11,Z22，对称矩阵P11,P22,P11,P22以及矩阵使得下列线性矩阵不等式成立：

一是检测+宣传：营造良好氛围。一要坚持强化谋划布局，提升食品安全宣传资源整合能力、创新线上线下宣传模式，形成以上带下、以下促上，上下共同发力，整体推进。二要打破部门间信息壁垒，发挥各部门便民信息引流作用，将检测宣传内容与便民信息打造升级为涵盖全方位监管工作的综合性信息平台。

那么可给出待求解的降阶系统参数矩阵：

本研究重点讨论在已知系统工作频率范围为有限区间ω∈［ω1,ω2］时求取最佳的降阶模型参数矩阵，使得降阶系统和原给定系统在已知的工作频率范围内具有最好的逼近性能.为此，这里选取误差传递函数在已知工作频率区间上的最大奇异值

2项研究[18，21]报道了中药冷热交替浸泡治疗脑卒中后肩手综合征的BI评分结果。各研究间统计学异质性较大(P=0.11，I2=61%)，采用随机效应模型进行分析。Meta分析结果显示：试验组BI评分高于对照组，差异有统计学意义[SMD=2.68，95%CI(1.94,3.43)，P<0.000 01]，见图4。

证明 由给定时滞系统模型及待求的降阶时滞系统模型，可得出二者之间的误差系统为

式中，ye（t）=y（t）-yr（t）为模型逼近误差，xe（t）=［x（t）Txr（t）T］T为误差系统的增广状态向量.误差系统的参数矩阵分别为

肌肤补水除了使用补水保湿的孕妇护肤品外，最健康的方式就是通过饮食补水来润泽肌肤，再辅助孕期专用的护肤品，加上规律的饮水，就可以帮助孕妈们甩掉缺水肌肤，重拾水润嫩白肌，也让冬日不再那么干燥。

结合误差系统的参数矩阵形式，可将定理1中的不等式（7）整理为如下紧致形式：

其中

由式（12），根据引理2（即投影引理）可知

其中M1i,M2i分别表示相应的决策变量集合Ω1,Ω2中不同的决策矩阵变量.由定理1和2可知

式中，“∗”表示相应的矩阵对称项，Tr=［Ir×r0r×（n-r）］T,ωc=0.5（ω1+ω2），以及

注1 结合定理1和2中给出的设计条件，可以令有限频域内逼近误差上界γ为优化目标，其余涉及的矩阵变量为决策变量，进而将本有限频模型降阶问题转化为下列线性矩阵不等式优化问题：

由上式以及奇异值的定义可得

即原模型和降阶模型之间满足式（9）所描述的有限频模型逼近误差上界，证毕.

3、费用与人员费用。长期以来，科研经费管理执行以收付实现制为基础的行政事业单位会计，没有费用的概念。党的十八届三中全会指出，“财政是国家治理的基础和重要支柱”，要“建立权责发生制的政府综合财务报告制度”。

在许多实际应用中，通常给定的系统都是满足稳定性要求的，对模型降阶问题而言也往往是要求降阶系统保持原系统的稳定性特征，因此在定理1之外还需要附加能使降阶模型稳定的条件.

定理2 考虑式（1）给出的连续时间线性时滞系统以及满足定理1线性矩阵不等式条件的降阶系统（8），如果同时存在对称矩阵使得定理1中的矩阵变量同时满足

则按照式（8）给出的降阶系统为稳定的线性时滞系统.

证明 根据降阶模型参数矩阵的求解式（8），可将式（18）重新整理为

对式（19）应用引理2（投影引理）可得

由式（20）及文献［23-24］中给出的关于线性时滞系统稳定性的判据，可知满足不等式（18）的降阶系统稳定.证毕.

基于此，在将PBL融入文检课教学时，教师应当注意以下几点：①在实施PBL教学法之前，教师应做好充分的引导工作，对PBL的优势、特点、流程等进行充分地讲解，让学生积极接受并快速适应新的教学模式。②在教学过程中，教师要注意学生的个体差异，对基础薄弱或自学能力差的学生加强引导。③项目数量不宜过多，以免学习和反思不够深入。④教师要积极跟进本学科最新的研究动态，不断拓展自身的知识结构，提升协调能力和管理能力，以便更好地胜任PBL教学。

注意，一方面Q＞0,Z＞0，另一方面（jω-jω1）（jω-jω2）＞0对任意ω∈［ω1,ω2］均成立，此外根据文献［18］中的分析结果可知因此由式（15）可得

该优化问题很容易通过Matlab的LMIs工具箱得到求解.

注2 定理1给出了当系统工作频率范围在一个已知的有限频率区间下的降阶模型参数设计条件，在实际工作中还有可能出现系统工作频率范围为一个高频区间的情形（即|ω|> ωh）.对这类问题可以采用和定理1类似的推导方法，结合文献［22-23］中给出的高频区间线性时滞系统分析结果来给出相应的设计条件.

2.2 2型糖尿病 我国2型糖尿病的发病率逐年增高，这与经济增长、人民饮食习惯改变密切相关。基因组学研究表明，长期高脂饮食会增加厚壁菌门与拟杆菌的比值，并增加变形菌的数量，导致胰岛素抵抗和肥胖，从而增加糖尿病的发病风险[58]。肠道菌群的改变如假丝酵母属、链球菌属、埃希菌属及肠球菌属的减少会降低5-羟色胺的合成，埃希杆菌属、芽孢杆菌属以及酵母菌属的减少会影响多巴胺和(或)去甲肾上腺素的产生，乳杆菌和双歧杆菌减少会影响丁酸的产生[59]。5-羟色胺、多巴胺等可以改善肥胖，而丁酸可以改善胰岛素抵抗[60]并激活肠道肠异生[61]，改善血糖[62]，从而治疗2型糖尿病。

注3 对一些具有某些结构特性的线性时滞系统（如输出时滞矩阵Cd=0），往往希望降阶模型也具备类似的结构特征，因此在进行优化计算时可以对相应的矩阵变量作相应的结构限制来解决（如要保持降阶模型的输出时滞矩阵为零的状态，可以令决策变量

面向未来，海尔厨电继续完善“智慧大成套”战略的步伐不会停歇，致力于通过科技、模式、服务等多维度的创新，为消费者提供更加舒适、便捷的智慧厨房应用体验，也为厨电行业的转型升级提供参考方向。据悉，2019年1季度，海尔厨电将再推出5套成套厨电，全方位满足用户的专属个性化定制需求。

6.dabusu qami arun-a bui ɡebel ，dalai tenɡkis ba na arun-a要问盐是哪里来的，是从大海和湖泊里来的)

3 算例

考虑在文献［14］中给出的一个连续时间线性时滞系统（1），其参数矩阵为

式中，延时时长d=1.6.在本例中假设系统的工作频率范围ω∈［-0.5,0.5］.注意到系统参数矩阵Cd=0，为保持这样一个限制结构，这里采用由定理1和2共同给出的线性矩阵不等式设计条件来进行降阶模型参数矩阵的优化计算，同时令其中的矩阵变量其Matlab的计算结果为

原系统、降阶系统以及误差系统在给定工作频率范围内的传递函数最大奇异值曲线如图1所示.相应的工作频率范围内的误差满足σmax（G（jω）-Gr（jω））＜0.245 6，∀ω∈［-0.5,0.5］.注意到模型降阶的本质需求为通过降阶模型来模拟原系统在给定输入信号激励下的输出响应，为进一步说明本研究在针对输入信号为有限频信号时的有效性和优越性，下面给出在两类输入信号频率的带宽均不超过给定频率范围情况下的时域仿真结果.首先考虑当输入为常见的阶跃信号（频率为零）的情况，采用下式给出的阶跃信号

图1 原系统、降阶系统以及误差系统在工作频率范围内的传递函数的最大奇异值Fig.1 Maximum singular value of transfer functions of original system,reduced-order system and error system

在Matlab中进行仿真可以得到如图2所示的仿真结果.从图2可以看出，在相同的阶跃信号激励下，原系统的输出信号对降阶系统的输出信号具有良好的逼近效果.

4)自愈合效果最佳组合是微胶囊掺量 0.8%、微胶囊粒径200 μm、养护龄期7 d、养护温度40 ℃。

图2 原系统和降阶系统在阶跃输入信号u1（t）下的输出响应Fig.2 Output response of the original system and the reduced-order system with step input signals u1（t）

接下来考虑一个能量有界的三角形输入信号：

容易验证，该信号的主要频率分量属于给定的频率区间.在该信号激励下，原系统和降阶系统的输出响应如图3所示.

图3中给出的原系统输出信号和降阶系统输出信号具有非常相似的动态特性，从时域上说明降阶系统和原系统在有限频输入信号下的良好逼近性能.图2和3的结果表明本方法不失为一类有效的线性时滞系统有限频模型降阶问题的解决方案.

图3 原系统和降阶系统在三角形输入信号u2（t）下的输出信号响应Fig.3 Output signals of original system and reduced system with sinusoidal input signal u2（t）

4 结束语

本研究针对时间连续线性时滞系统，分析了在系统工作频率范围为已知有限区间情形下的模型降阶问题.通过引入合适的用于刻画有限频域内模型逼近性能的指标函数，以及结合矩阵不等式技术和线性时滞系统的性能分析方法，推导出了用于求解降阶系统模型参数矩阵的逼近性能优化设计条件，并给出了保持系统稳定的设计条件.数值算例验证了所提出方法的有效性，特别是在系统工作频率范围较小的情况下，所得降阶模型通常可以很好地逼近原模型在工作频率范围内的时频域动态特性.

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本文彩色版可登陆本刊网站查询：http：//www.journal.shu.edu.cn

LMI based approach for finite-frequency model order reduction of continuous-time linear time-delayed systems

DU Xin1，FAN Peibing1，LIU Fuwei2
（1.School of Mechatronics Engineering and Automation，Shanghai University，Shanghai 200072，China；
2.Huawei Technology Co.，Ltd.，Shanghai 200040，China）

Model order reduction of continuous-time linear time-delayed systems over limited frequency intervals is discussed in this paper.The approximation performance is characterized by introducing an index associated with the finite-frequency maximum singular value of the error transfer function.With the aid of some fundamental matrix inequality techniques,sufficient criterion for stability of the reduced-order model and optimizing finite-frequency approximation error is derived.The model order reduction problems can be tackled by solving the corresponding linear matrix inequalities（LMIs）based optimization problems.A numerical example is given to show effectiveness of the proposed technique.

model order reduction；finite-frequency；linear time-delayed system；linear matrix inequality（LMI）

TP 273

A

1007-2861（2016）04-0408-13

10.3969/j.issn.1007-2861.2015.04.014

2014-12-02

国家自然科学基金资助项目（61304143，61174085）

杜鑫（1983—），男，博士，研究方向为模型降阶、控制系统优化设计等. E-mail：duxin@shu.edu.cn