巧用数形结合，突破教学难点

周乐根

摘 要：教师应在日常教学中渗透数形结合的数学思想，培养学生在解题过程中“以形助数、以数解形、数形结合”的运用能力，根据问题的具体条件，将数与形巧妙地结合起来，有效地相互转化，提高解题水平。

关键词：以形助数；以数解形；数形结合；转化；运用

一、挖掘教材，从生活入手，将数形结合思想渗透到概念课教学中

“冰冻三尺，非一日之寒”，意识和思维的形成也是一样的，是一个长期的、潜移默化的过程。作为教师，我们应该在日常教学中，适时地向学生渗透这种思想。

例如，日常生活中的绳子和绳子上的结、刻度尺与它上面的刻度，我们走过的路线可以看作是一条线，教室里每个学生的座位等，我们利用学生的这一认识基础，把生活中的形与数相结合迁移到数学中来，挖掘教材，在教学中进行数学数形结合思想的渗透。例如，数与数轴、相反数、绝对值的几何意义、一对有序实数与平面直角坐标系、一元一次不等式的解集与一次函数的图象、二元一次方程组的解与一次函数图象之间的关系等，都是渗透数形结合思想的很好機会。

二、以形助数，数中思形，正确构造图形，通过几何模型反映相应代数信息

由于数和形是一种对应，有些数量比较抽象，我们难以把握，而图形具有形象、直观的优点，能表达较多的思维，起着解决问题的定性作用，因此，我们可以把数对应的形找出来，利用图形来解决问题。

例1.a2-b2与（a-b）2相等吗？

这是一个非常简单的问题，但现实中是我们的一个教学难点。由我们熟悉的平方差公式和完全平方差公式可知，它们是不相等的。但很多的学生初中学了三年都分不清这两个公式，这是为什么呢？原因就是学生没有真正地理解，有些学生虽说理解，但也是从乘方公式（a+b）（a-b）=a2-b2与（a-b）（a-b）=（a-b）2的逆用来理解的，如果我们把这个公式换个形式呈现给学生，从几何图形出发来理解，就更直观、更易理解了。

解析：如图，（1）（2）（3）（4）各块的面积可计算，

从面积值的角度来说：

a2-b2=S3+S1+S4

（a-b）2=S3

显然a2-b2≠（a-b）2

在教材中关于完全平方公式、平方差公式、勾股定理等的推证中都有类似的运用。

三、以数解形，形中觅数，善于观察图形，找出图形中蕴含的数量关系

虽然图形有直观、形象的优点，但在定量方面还必须借助数的计算，特别是对于较复杂的“形”，不但要正确地把图象数字化，而且还要注意观察图形的特点，发掘题中的隐含条件，充分利用图形的性质，进行分析计算。

例2.将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第100个图形有______个小圆。

分析：这是一道典型的规律探究题，学生在解答时如果仅关注中间的小圆的变化，解答是比较困难的，但如果将图形的规律问题转化为数的规律问题，本题就不难了。

根据第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，

∴第n个图形有：4+n（n+1）个小圆，第100个图有10104个小圆。

例3.以数表形在教材中的展现，例如表示直线和圆的位置关系：

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：

（1）直线l和⊙O相交？圳d

（2）直线l和⊙O相切？圳d=r（如图（2）所示）；

（3）直线l和⊙O相离？圳d>r（如图（3）所示）。

教材上像类以的问题也很多，比如利用数轴、直角坐标系通过数字和数对来表示点的位置，利用面积、距离、角度等来解决几何问题，例如，利用勾股定理证明直角、利用三角函数研究角的大小、利用线段比例证明相似等，几何问题中列函数关系式求最值问题等。把几何问题转化为数量关系使抽象的问题具体化，教师若注重数形结合思想方法的渗透，利于学生领悟几何图形（或图案）的规律，从而找出其中的数量关系。

四、数形结合，相互转化，利用数形结合思想提升学生解题能力

在教学中渗透数形结合思想时，应让学生了解所谓数形结合就是找准数与形的契合点，根据问题的具体条件，将数与形巧妙地结合起来，有效地相互转化，就成为解决问题的关键所在。

例4.如图所示，抛物线分别与x、y轴交于A、B、C三点，顶点为M，你能求出△MBC的面积吗？能寻找几种方法？

解析：这是一道典型的数形结合思想与函数的综合问题，结合图1中信息，可知A、B、C的坐标，由待定系数法易求得抛物线的解析式为：

通过添加适当辅助线，可以多种解法，这种问如果不借助图形，不知数与形灵活转化，学生解答也是相当困难的。但如果我们掌握数形结合的思想方法，能将点的坐标与点到坐标轴的距离进行转换，构造出一些四边形或三角形，再利用图形间的面积关系求解△MBC的面积，稍作点拨，相当部分学生并可解答。

解答方法如下：

法一：如图1，S△MBC=S梯形CODM+S△MDB-S△BOC（直接利用原图中关系求解）

法二：如图2，S△MBC=S梯形EMBO-S△EMC-S△COB

法三：如图3，S△MBC=S△MCO+S△BOM-S△BOC

法四：如图4，S△MBC==S△CMF+S△MBF（其中MF=MD-FD，可利用三角形相似求FD，△CMF、△BMF有公共边MF，高之和为5）

法五：如图5，S△MBC=S△GCB-S△GCM（其中CG=OG-OC，用M、B两点坐标求直线MB解析式，可求OG，CG.）

法六：如图6，S△MBC=S△HMB-S△HCB（求法与法五类似）

究其解答过程，思路也是非常清晰的。数形结合是直观化教学的一种重要手段，通过数形结合，数与形的相互转化，使较为抽象的数量关系通过几何图形形象地反映出来，使抽象的概念、关系得以直观化、形象化。

最后要说的是学生要真正掌握数形结合思想的精髓，还必须有深厚的基础知识和熟练的基本技巧，它不像一般数学知识那样，通过几节课的教学就可掌握，它需根据学生的年龄特征，学生在学习的各阶段的认识水平和知识特点，逐步渗透。在实际教学中，我们不能仅把数形结合看成是解题的一种手段，更要看成是一种思维品质。为了让学生具有这种品质、掌握这种方法需要我们把它落实到教学过程的各个环节中，使数形结合思想方法的教学成为一种有意识的教学活动，发挥它更多的作用。

？誗编辑 谢尾合