找分界点思想在一类导数题中的应用

2016-11-01 14:02臧华
中学数学杂志(高中版) 2016年5期
关键词:零点单调变式

臧华

寻找分界点是解决分类讨论问题的关键所在.对于找分界点,就是先对所需分类的参数所代表的数的分界点,都先求出来,然后逐一分类写出.笔者通过几道近几年的高考题和竞赛题为例,谈谈它的应用.

例1(2014年新课标Ⅱ卷理21)已知函数f(x)=ex-e-x-2x.

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)设g(x)=f(2x)-4bf(x),当x>0时,g(x)>0,求b的最大值.

分析本题是一道典型的导数分类讨论题,通常的做法是先求导确定g(x)的单调性,利用g(x)的单调性求出其最小值,进而得到关于b的不等式,再解出b的取值范围,最终确定b的最大值.问题的关键是怎样确定g(x)的单调性?思路虽然清晰,但实际运算比较复杂.

解(1)f′(x)=ex+e-x-2≥0,仅当x=0时等号成立.所以f(x)在R上单调递增.(略)

(2)g′(x)=2f′(2x)-4bf′(x)=2(ex+e-x-2)(ex+e-x-2b+2).

(Ⅰ)当b≤2时,g′(x)≥0,等号仅当x=0时成立,所以g(x)在(-∞,+∞)单调递增,而g(0)=0,所以对任意x>0,g(x)>0;

(Ⅱ)当b>2时,若x满足2

综上,b的最大值为2.

点评本题g(x)的单调性由ex+e-x-2b+2的正负确定,因此b的“分界点”可以由方程ex+e-x-2b+2=0提供,又b=ex+e-x+22≥2,则b的“分界点”为2,又因为ex+e-x-2b+2=0即(ex)2-(2b-2)ex+1=0,ex的2个值之积等于1,所以ex=(b-1)-(b-1)2-1<1,则x<0;ex=(b-1)+(b-1)2-1>1,则x>0;所以对变量x而言,0又是“分界点”.准确地找到这些“分界点”可以将分类讨论问题“一剑封喉”,讨论分界点时一般采用先小后大的原则.

变式1(2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛11)设f(x)=loga(x-2a)+loga(x-3a),其中a>0且a≠1.若在区间[a+3,a+4]上f(x)≤1恒成立,求a的取值范围.

(答案:a的取值范围(0,1))

我们再来看今年全国卷的一道压轴题,找分界点的思想在两问中都体现出来了.

例2(2016年高考新课标Ⅰ卷21)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.

分析(1)先求导,得f ′(x)=(x-1)(ex+2a),再根据ex=-2a>0

ln(-2a)=1找到a的“分界点”为0,-e2,然后进行分类讨论确定f(x)的单调性;(2)借助第一问的结论,通过分类讨论函数单调性和最值的正负,确定零点个数,从而确定a的取值范围.

解(1)f ′(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).

(ⅰ)设a≥0,则当x∈(-∞,1)时,f ′(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f ′(x)>0.

所以在(-∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增.

(ⅱ)设a<0,由f ′(x)=0得x=1或x=ln(-2a).

①若a=-e2,则f ′(x)=(x-1)(ex-e),所以f(x)在(-∞,+∞)单调递增.

②若a>-e2,则ln(-2a)<1,

故当x∈(-∞,ln(-2a))∪(1,+∞)时,f ′(x)>0;

当x∈(ln(-2a),1)时,f ′(x)<0,所以f(x)在(-∞,ln(-2a)),(1,+∞)单调递增,在(ln(-2a),1)单调递减.

③若a<-e2,则ln(-2a)>1,

故当x∈(-∞,1)∪(ln(-2a),+∞)时,f ′(x)>0,当x∈(1,ln(-2a))时,f ′(x)<0,所以f(x)在(-∞,1),(ln(-2a),+∞)单调递增,在(1,ln(-2a))单调递减.

(2)(ⅰ)设a>0,则由(1)知,f(x)在(-∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增.又f(1)=-e,f(2)=a,取b满足b<0且b2a2(b-2)+a(b-1)2=a(b3-32b)>0,所以f(x)有两个零点.

(ⅱ)设a=0,则f(x)=(x-2)ex,所以f(x)有一个零点.

(ⅲ)设a<0,①若a≥-e2,则由(1)知,f(x)在(1,+∞)单调递增.

又当x≤1时,f(x)<0,故f(x)不存在两个零点;

②若a<-e2,则由(1)知,f(x)在(1,ln(-2a))单调递减,在(ln(-2a),+∞)单调递增.又当x≤1时,f(x)<0,故f(x)不存在两个零点.

综上,a的取值范围为(0,+∞).

点评在第一问中采用分界点法一次性找出分类点,然后按照先小后大的原则逐一讨论解决;第二问讨论中嵌套讨论,这里有两个讨论的标准,第一个是函数单调性的分界点,第二个是最值正负的分界点,这时宜采用先整体后局部的原则,有些问题仅靠一次分类是不够的, 需要进行二级分类、三级分类等等.

变式2(2010年全国新课标文科21题)设函数f(x)=x(ex-1)-ax2.

(1)若a=12,求f(x)的单调区间;

(2)若当x≥0时f(x)≥0,求a的取值范围.

猜你喜欢
零点单调变式
函数零点、不等式恒成立
例析函数零点问题的解法
怎样判断函数的单调性
从“解法自然”悟“变式自然”
导函数零点“不可求”之应对策略
世界正在变得单调
现在进行时表将来
例谈基本不等式的变式应用
单调区间能否求“并”