微积分思想和方法在大学物理教学中应用

谭敏

【摘 要】要提高大学物理教学效果，就必须引导学生用数学语言和数学方法来解决物理问题。其中，微积分思想和方法贯穿整个大学物理教学。本文就微积分思想和方法在物理概念和物理理论的应用进行阐述。

【关键词】微积分思想；方法；大学物理；教学

大学物理作为高等院校理工科专业的必修课，在培养学生的科学思维方法和分析解决问题能力等方面发挥着积极的作用。但刚开始接触大学物理的学生普遍反应在该课程学习的过程中存在一定的困难。其实，无论是中学还是大学，物理这门自然科学的框架和系统性是不会变的。只不过物理这门课程的研究对象从中学的恒量问题变成了变量问题，由特殊问题变换到普通、一般问题，同时研究的工具也发生了变化，中学只需要初等数学就能解决问题，而大学则需要高等数学知识。

笔者从多年的教学实践中发现，要提高大学物理的教学效果，必须引导学生用数学语言、数学方法研究物理问题，帮助学生从中学惯用的概念和方法中跳出来，将微积分思想和方法与物理问题相结合。微积分思想和方法在力学、电磁学和热学中都有应用，可分为微分问题和积分问题两大类。本文从微积分思想和方法与物理的结合以及微积分思想和方法在解决物理问题中的应用这两方面来探讨微积分思想方法在物理教学中的应用。

一、用微积分思想阐述物理概念和物理理论

1、瞬时速度和瞬时加速度

从中学开始学生接触力学，对于一维运动很熟悉，譬如匀速直线运动、匀变速直线运动。在匀变速直线运动规律中，学生对公式非常熟悉，以至于在大学物理学习过程中遇到求位置坐标的问题会毫不犹豫的想到这个公式。源于学生对公式的死记硬背，知其然不知其所以然。其实，只要应用微积分思想就可以知道该公式的来源并能理解应用该公式的前提是加速度为常量。

质点运动学中平均速度，当时取极限得瞬时速度，此为微分，描述某一时刻质点速度的大小和方向。若已知质点的运动学方程，则可求出质点任意时刻的速度大小和方向。若将微分式整理得，，根据初始条件两边同时积分可得， 。当简化为一维问题是，就可得到学生在中学所熟知的匀变速直线运动规律。因此，若已知速度 和初始条件，则可通过积分求出任意时刻的位置坐标，并通过求导可以得到任意时刻的加速度。此即为质点运动学中的两类基本问题。

利用微积分知识进行物理理论的推导，不仅可以让学生更加理解数学公式，也能让学生欣赏到物理学之美，并能对所遇到的问题做出正确的判断和合乎逻辑的推理[1]。

2、功

在中学学生就接触到恒力做功的问题。物体在外力的方向上运动的距离，则这个力对物体所做的功；若外力方向与物体位移方向之间存在夹角时，则力对物体所做的功可表示为，用矢量的方法来表示外力做功，则，此表达式仅适用于恒力做功的情况。若作用在物体上的力为变力，或者物体做曲线运动，此时该如何计算力做功呢？这就要用到高等数学中的微元思想。

微元思想是有限与无限，近似与精确的辩证统一，而这种统一已经得到了数学家们的严格证明。在物理学中微元思想已成为解决问题的一种重要数学方法。所谓微元思想就是将研究对象进行无限细分，使之适用于理想情况，即微分，得到近似值，然后将无限多个微元无限累积，即积分，得到精确值。简单来说就是“化整为零”，再“积零为整”这样一个过程。

当作用于物体上的力不是恒力，或物体做曲线运动时，必须将运动轨迹分割为许许多多个小段，每一小段视为直线，同时作用于每一小段上的力近似为恒力。因此，每一小段上力做功即为恒力做功，称之为元功。整个过程中力所做的功为所有元功累积之和，即。

3、质点动量定理

牛顿第二定律，用微分形式表示出来即，通过推导可得，两边同时乘以，得到质点动量定理的微分形式，根据初始条件两边同时积分得：，等式左边的积分表达式成为冲量，描述这一段时间内外力 的累积效应，等式右边对应的是质点动量的增量，此即为质点动量定理。同样这也能解两类问题。其一，若已知动量，通过对时间求导，则可求得合外力，此为微分问题。其二，若已知合外力和初始条件，通过求积分，可以得出质点动量的改变量，此为积分问题。

通过微积分来推导物理定理，过程十分简洁，物理含义也十分清晰，可以提高学生对物理量和物理定理关系的认识，提升学生的物理思维能力。

4、安培定律

在磁感应强度为B的匀强磁场中，长度为L，电流强度为I的直导线所受的安培力，其中为载流直导线与磁场之间夹角。安培力的方向可以由左手定则判定。这一结论是学生在中学学习到的。当磁感应强度非均匀，长度为L的弯曲载流导线通有电流I时，要求载流导线所受到的安培力，则上述结论就不再适用了。要解决该问题也必须用到高等数学中的微元思想。

将长度为L的弯曲载流导线分割为无限多个电流元矢量，（此为“化整为零”）近似认为电流元所在位置处的磁感应强度 均匀，则电流元所受到的安培力大小为，其中为电流元矢量与磁感应强度之间夹角，安培力的方向可以由左手定则判定。若用矢量方式表达为，安培力的方向可以通过右手螺旋法则判定。整个弯曲载流导线在磁场中所受安培力通过求积分可得（此为“积零为整”），这便是著名的安培定律。

二、举例用微积分思想解决物理问题

在解决物理问题时必须将微积分转变为一种思维方法[2]。解题时首先建立合适的坐标系，取微元，再依据物理理论列出微分表达式或积分表达式，最终求解。

如图所示，一匀细棒长为，质量。在棒的延长线距棒端为处有一质量为的质点。求质点在匀细棒的引力场中的势能。此题不能用万有引力势能公式直接求解，必须通过微元的思想来解决。首先以端点为坐标原点建立一维坐标系（如图1所示），取无限远处为势能零点，在距离坐标原点为处取长度为的质量元，其质量为，对质点的万有引力势能为

对于不能由已知规律或公式求解的物理问题，可以采用微元思想转变为特殊问题。采用微元思想解题是首选应该建立合适的坐标系，然后选取恰当的微元，再根据已有的理论对微元求积分则可解决问题。

三、结语

大学物理是用数学语言和数学工具来描述物理规律，但又不同于数学，每一个数学符号在物理里都有其物理含义。微积分思想和方法是最为重要的数学工具，教师在教学过程中引导学生使用该数学工具来学习、欣赏物理学之美。

参考文献：

[1] 曹剑英.微积分在大学物理教学中的应用研究[J].赤峰学院学报（自然科学版），2013，29（5）：13-14.

[2] 滕琴，徐玲，吴珞.关于微积分和矢量法在大学物理教学中的应用[J].上海第二工业大学学报，2014，31（3）：223-227.