滚锥齿章动活齿传动中心盘齿面接触强度分析

王广欣,何文杰,李丹



滚锥齿章动活齿传动中心盘齿面接触强度分析

王广欣1,2,何文杰1,李丹3

(1.大连交通大学 机械工程学院，辽宁 大连 116028; 2.大连理工大学 工程力学系，辽宁 大连 116000；3.湖南铁道职业技术学院 铁道牵引与动力学院，湖南 株洲 412000)

根据章动活齿传动的原理，利用 Pro/E软件完成滚锥齿章动活齿传动装置的整机三维实体模型.应用接触力学的有关理论建立了中心盘的受力分析模型，分析了传动装置中滚锥活齿与中心盘的受力状态.分别利用 Hertz弹性接触理论和有限元软件完成滚锥活齿与中心盘齿面间接触强度的分析与计算，验证了所建立的力分析模型的正确性；得到关键件中心盘齿面受力时的应力分布规律，并提出了相应的改进措施,为后续的产品设计提供了理论依据.

章动；活齿传动；接触强度；有限元分析

0 引言

章动活齿传动是近年来在偏摆锥齿少齿差行星传动的基础上，以活齿滚动啮合副代换内锥齿轮啮合副而形成的一种多齿啮合的新型空间活齿传动，具有结构简单、体积小、零件少、传动比大、承载能力强和无输出机构等优点，具有广泛的发展空间和重要的应用价值.如龚发云、胡来瑢[1-2]等人详细研究了偏摆锥差行星机构中偏摆锥齿轮的运动学和力学情况，给出了锥齿轮的受力计算公式；姚立纲[3]等人建立了双圆弧螺旋锥齿轮的三维实体模型，在此基础之上利用虚拟样机技术对其进行了运动和动力性仿真；李瑰贤[4]、李剑锋[5]等人分别从圆柱正弦活齿传动和凸轮激波滚动活齿传动方面推导出了活齿传动时力学计算公式；陈兵奎[6]等人利用有限元方法分析了空间凸轮活齿传动时的接触应力；王广欣[7-9]等人从传动原理、齿形方程、压力角计算等方面对章动活齿传动进行了研究分析，设计制造出试验样机并完成了相关试验检测.

本文在此基础上，以滚锥齿章动活齿传动为研究对象，通过对滚锥活齿与中心盘所组成的活齿啮合副进行受力分析，推导出中心盘啮合时的受力计算公式，利用理论方法和有限元软件分别对模型进行分析，得到中心盘的齿面接触强度的分布规律，并根据分析结果提出了相应的改善措施，为后续结构设计提供理论依据.

1 工作原理

滚锥齿章动活齿传动简图如图1所示，它主要由输入和输出轴、中心盘、滚锥活齿以及行星盘四部分组成.固定中心盘上波(齿)数为Z1，固定盘侧行星盘上滚锥活齿数为Z2，转动中心盘上波(齿)数为Z4，转动盘侧行星盘上滚锥活齿数为Z3.输入轴通过轴承与行星盘相连，固定中心盘与机架固连，转动中心盘与输出轴联接，输入轴的轴线与行星盘所在倾斜轴段处轴线的夹角为章动角α.

图1 滚锥齿章动活齿传动简图

当输入轴在电机带动下以恒定角速度转动时，带动行星盘通过两侧的滚锥活齿分别与固定中心盘、输出轴上的转动中心盘作啮合滚动，从而实现传递运动和动力.

2 中心盘的三维实体建模

滚锥齿章动活齿传动的基本参数如下：固定中心盘齿数Z1=15，固定盘侧活齿齿数Z2=16，转动盘侧活齿齿数Z3=11，转动中心盘盘齿数Z4=10，章动角α=2.5°，传动比i=32，固定盘侧滚子半锥角V1=3°，转动盘侧滚子半锥角V2=5°，固定盘侧滚子轴线倾斜角β1=21.5°，转动盘侧滚子轴线倾斜角β2=21.5°.根据文献[8-9]知，将相关参数代入中心盘的啮合方程，可求得中心盘的单齿齿廓的空间坐标参数方程，在Pro/E软件里通过方程建立空间曲线这一功能，绘制所求得的参数方程，即可将中心盘的齿廓曲线完整的在Pro/E软件中实现，再通过边界混合等功能即可建立出中心盘的三维实体模型，具体如图2.

图2 中心盘三维实体模型

3 中心盘的齿面接触强度分析

3.1 中心盘的力分析模型

(1) 建立分析模型

根据章动活齿传动的啮合原理[8]，在构建固定中心盘的受力分析模型时，可取固定中心盘齿宽中点处的当量平面齿轮进行载荷分配计算，则其受力如图3所示.

设等效活齿在与当量平面齿轮啮合时作用在当量平面齿轮上的力为Fi(i取1～7)，从图可以看出，有一半的等效活齿与当量平面齿轮是啮合受力，另一半则是仅接触不传力.当量平面齿轮的齿数为Zv1=Z1/cosδ1，半径为Rv1=R1/cosδ1， Z1、 R1、 δ1分别为固定中心盘的齿数、半径、节锥角.

图3 固定中心盘侧的力分析模型

在假定中心盘瞬时不动的情况下，对行星盘施加一个顺时针方向的力矩，在该力矩的作用下，等效活齿与当量平面齿轮间会产生接触变形，由于固定中心盘固定不动，因此等效活齿中心会转过一个Δφ角，各活齿中心也相应的发生一个相同的微小的周向位移Δu，再根据固定中心盘上传递的扭矩M1须与各分力Fixy所产生的力矩相等，即可求得等效活齿作用在当量平面齿轮上的分力Fixy的大小，再考虑行星盘、活齿和中心盘的加工制造误差、安装误差引起的活齿间载荷分布不均匀等情况，根据文献[8]知，分力Fixy的计算公式为：

(1)

将式(1)转换至空间啮合坐标系S1(O,X1,Y1,Z1)有：

(2)

同理，取转动中心盘齿宽中点处的当量平面齿轮进行载荷分配计算.其等效活齿在与当量平面齿轮啮合时作用在当量平面齿轮上的力为Fi(i取1～5)，传动过程中有一半的等效活齿与当量平面齿轮啮合受力，另一半则是仅接触不传力.当量平面齿轮的齿数为Zv4=Z4/cosδ4，半径为Rv4=R4/cosδ4，Z4、R4、δ4分别为转动中心盘的齿数、半径、节锥角.则转动盘侧等效活齿作用在当量平面齿轮上的力的各个分量为：

(3)

图4为行星盘的受力分析模型.经分析可知，在不考虑摩擦时，作用在行星盘上的力有：两侧啮合力F2和F3，输入轴通过两个圆锥滚子轴承对章动盘的作用力Pr、Pz和Qr，以及进动力矩与惯性力矩的合力矩M.将计算出来的固定中心盘和转动中心盘的力F1和F4反向并转换到行星盘所在的坐标系SG(OG,XG,YG,ZG)中，即可求得F2和F3.

图4 行星盘的受力分析模型

利用变换矩阵T

(4)

上式中α为章动角.

由F2=T·F1，可得

(5)

其中力F2的作用点P在坐标系SG(OG,XG,YG,ZG)中的坐标为(l20 r3).

同理，由F3=T*F4，可得

(6)

其中力F3的作用点Q在坐标系SG(OG,XG,YG,ZG)中的坐标为(l30 r2).

在上面那些力中，除了已知的参数外，还剩下六个未知量：Pr、Qr、Pz、θbi、λ、ξ，可由下面六个力学平衡方程求出：

(7)

其中，∑MY=M是考虑了进动力矩和惯性力矩，若M取零值则方程就是普通的静力学平衡方程.

(2) 求解方程组

将行星盘看作是绕自身轴线做回转运动的对称刚体时，根据欧拉动力学方程，行星盘做规则进动时的进动力矩M为：

(8)

中心盘节圆锥锥角

(9)

行星盘节圆锥锥角

(10)

给定额定输出功率及输出转速：P4=2.2kW，n4=40r/min,通过mulNewton算法，利用MATLAB软件求解非线性方程组(7)，所得结果如表1所示.

表1 非线性方程组求解最终值

注：表中n为求解的迭代步数

3.2 Hertz弹性接触理论分析

由于中心盘与滚锥活齿的实际齿面接触可视为两个瞬时圆柱体的线接触，根据Hertz弹性接触理论，弹性圆柱体接触表面最大接触应力的计算公式[10]为：

(11)

通过前面求解方程组得到的解，得固定盘侧P1=47.1801 N，转动盘侧P2=2.133×103 N.活齿和中心盘的材料分别为GCr15、40Cr，相关材料特性见表2[11]，最大许用接触应力分别为876、530 MPa[11].固定盘侧滚子和转动盘侧滚子的曲率半径分别为19.0511、50.122 9 mm，固定中心盘和转动中心盘的最大曲率半径分别为336.150 6、340.902 4 mm.将相关参数代入式(11)，可得到固定中心盘和转动中心盘在与滚锥活齿啮合时的最大齿面接触应力分别为：σ1Hmax=79.661 5 MPa， σ2Hmax=344.051 1 MPa，均小于其最大许用接触应力.

表2 材料特性参数

由于中心盘与滚锥活齿是以两锥面的形式相接触的, 如图5所示.根据文献[12]对其载荷和曲率进行修正计算.修正后得到的接触应力分别为：σ1Hmax=77.079 0 MPa， σ2Hmax=332.491 6 MPa，比Hertz弹性接触理论的等效模型的计算值有所减小，也更加接近实际应力值.

图5 Hertz等效模型和实际模型接触简图

3.3 ABAQUS有限元分析

(1) 模型简化和网格划分

将在Pro/E里生成的三维模型保存为stp格式文件导入ABAQUS软件[13]里.由于滚锥齿章动活齿传动装置里的中心盘属于空间曲面类零件，齿形比较复杂，因此需要处理掉影响模型六面体网格划分及影响分析时的精度和收敛性的倒边、倒角、螺纹孔以及一些其他的不必要的小特征.简化模型后，定义相关模型的材料特性，如表2.

对于有限元分析来说，网格单元类型的选取及划分情况将直接影响收敛性和分析结果的准确性，因此采用接触类分析中的8节点六面体缩减积分单元C3D8R.划分网格后的固定盘侧模型及转动盘侧模型分别如图6所示，固定盘侧模型共有431026个单元，512316个节点；转动盘侧模型共有152558个单元，183342个节点.最后校验网格的雅克比(jacobian)和扭曲角(vol skew)无误.

图6 模型网格

(2)定义约束和接触

根据实际啮合情况，销轴和滚锥活齿，滚锥活齿和中心盘都是面面接触.在定义接触对时，销轴和滚锥活齿啮合时选择销轴的外表面作为主面，滚锥活齿的内表面作为从面；滚锥活齿和中心盘啮合时选择中心盘齿面作为主面，滚锥活齿的外表面作为从面.滑移方式中两对接触均选择小滑移.在接触属性里，定义滚锥活齿和销轴接触时，将其法向属性定义为硬接触，切向属性定义为无摩擦；定义滚锥活齿和中心盘接触时，将其法向属性定义为硬接触，切向属性定义为有摩擦，摩擦系数为0.1[14].

定义约束时，将行星盘两侧销轴均设为刚体约束，将其指定到一点O1,2上，以模拟行星盘带着销轴通过滚子和中心盘啮合传动.

(3)施加载荷及定义边界条件

施加载荷时，可直接在O1,2点上施加扭矩，固定中心盘及转动中心盘侧施加的扭矩大小分别为：19 895.8、466 888.9 N·mm.在定义边界条件时，将固定中心盘的底面作为固定边界条件，限制六个自由度；约束O1,2点除在章动面上的旋转之外的其他五个自由度，用以模拟固定中心盘不动，销轴带着滚锥活齿转动.对于转动中心盘侧则是销轴和滚锥活齿不动，转动中心盘转动，因此将O1,2点作为固定边界条件，限制六个自由度；除转动中心盘的底面转动约束外，限制其他五个自由度.

(4)求解及结果分析

由于本模型单元网格较多，又属于多体接触分析，因此计算量比较大，为了节省计算时间，在分析步中采用了质量缩放系数[13].图7和图8分别为固定中心盘侧及转动中心盘侧啮合的计算结果.

图7 固定盘侧模型云图

图8 转动盘侧模型云图

从图7和图8可以看出：固定中心盘及转动中心盘上各分布六条受力区，约有半数活齿参与啮合；固定中心盘的最大接触应力为60.49 MPa，出现在盘的外侧边缘区域；转动中心盘的最大接触应力为251.5 MPa，出现在盘的内侧边缘区域；中心盘的最大应力值均出现在与滚锥活齿接触的两个端部，这与试验中出现的滚子端部易出现的应力集中现象是一致的，后续工作将对滚锥活齿进行凸度设计避免两端的边缘效应；有限元分析值要略小于Hertz理论计算值；由于Hertz弹性接触理论计算采用等效模型，因此理论计算值要偏高，这使设计更偏于安全.

4 结论

本文针对章动活齿传动中的滚锥活齿与中心盘所组成的活齿啮合副，在力分析的基础上分别运用Hertz弹性接触理论和有限元法计算了中心盘的齿面接触强度，结论如下：

(1)建立中心盘的力分析模型，推导出中心盘啮合时的受力计算公式，以及中心盘的齿面接触强度计算公式；通过理论计算和软件有限元分析计算结果可以看出，针对中心盘所构建的力分析模型是合理的，正确的；

(2)通过比对可知，有限元软件的分析云图与Hertz弹性理论的线接触相吻合，接触区为椭圆区域，也符合实际情况；而各齿啮合情况与理论分析相吻合，即约有一半活齿参与啮合传动；

(3)有限元软件分析结果表明，固定中心盘的最大应力出现在盘的外侧边缘区域，说明固定盘外侧边缘区域容易先发生接触疲劳失效；转动中心盘的最大应力出现在盘的内侧边缘区域，说明转动盘内侧边缘区域容易先发生接触疲劳失效；可通过对中心盘的啮合区域进行修形来消除两侧的应力集中；

(4)转动中心盘侧最大接触应力大于固定中心盘侧最大接触应力，可通过优化增加转动中心盘盘侧的啮合活齿数来改善其受力状况.

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Analysis of Center Disk Tooth Surface Contact Strength on Nutation Transmission with Conical Movable Teeth

WANG Guangxin1,2, HE Wenjie1,LI Dan3

(1.School of Mechanical Engineering, Dalian Jiaotong University, Dalian 116028, China; 2.Department of Engineering Mechanics, Dalian University of Technology, Dalian 116000, China; 3.Hunan Railway Professional Technology Couege, Zhuzhou 412000,China)

Based on the theory of the nutation transmission with conical movable teeth, the 3D model of the whole transmission device is established by Pro/E for a given set of parameters. The force analysis model of the center disk is established using the theory of contact mechanics, and the conical movable teeth and the center disk force state in the transmission are analyzed. The analysis of the center disk tooth surface contact strength is conducted using Hertz elastic contact theory and finite element method. The results show the correctness of the force analysis model established, and the stress distribution of the center disk is obtained. The corresponding improvement measures are proposed, which provides a theoretical basis for follow-up product design.

nutation；movable teeth transmission；contact strength；finite element analysis

1673- 9590(2016)02- 0032- 06

2015-05-20

国家自然科学基金资助项目(50905021)

王广欣(1979-)，男，副教授，博士，主要研究方向为新型传动、运动与康复器械、机械动力学E- mail:wgx@djtu.edu.cn.

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