三维Helmholtz问题的间接规则化边界积分方程

马　超，张耀明,2

(1.山东理工大学 理学院,山东 淄博 255091；2.大连理工大学 工业装备结构分析国家重点实验室，大连 116024)



三维Helmholtz问题的间接规则化边界积分方程

马超1，张耀明1,2

(1.山东理工大学 理学院,山东 淄博 255091；2.大连理工大学 工业装备结构分析国家重点实验室，大连 116024)

进行了三维Helmholtz方程边值问题的间接变量规则化边界元法研究。使用位势问题的基本解逼近Helmholtz问题的基本解，将Helmholtz问题的边界积分方程的规则化问题转化为位势问题边界积分方程的规则化问题。应用已有的三维位势问题的基本解积分恒等式及规则化边界积分方程的极限定理，建立三维Helmholtz方程边值问题的间接变量规则化边界积分方程。此外，本文提出一般参数表示的几何边界上的精确单元的数值实施方案，即边界几何采用精确单元描述，单元上的边界量用二次8节点不连续插值函数逼近。数值算例表明：本文方法在低频下可获得很高的计算精度和效率。

三维Helmholtz方程边值问题；间接变量边界积分方程；边界元法；奇异积分

科学与工程中的许多问题，如时间调和声波的散射及电磁波的绕射与辐射等，都可以归结为Helmholtz方程的外边值问题。因此，采用边界元法求解此类问题要比域型方法(如有限差分法及有限元法等)更加有效。目前，Helmholtz问题的边界型数值方法主要是虚边界元法(类似基本解法)和直接边界元法[1-5]。基本解法通过虚拟边界避免奇异积分的计算，然而虚拟边界的合理选择是一个棘手的问题[1-2]，通常靠研究者的经验或误差实验来完成。本文致力于三维Helmholtz问题的间接变量规则化边界元法研究。与直接法相比，间接法更简单、灵活[6-9]。首先，基本场变量和其导数不直接关联；其次，间接法更容易改变边界积分方程的形式，以适应不同边界条件的边值问题；再者，基本场变量的梯度方程中不含HFP积分。然而，三维Helmholtz问题的间接变量规则化边界积分方程至今尚未得到充分的研究。本文在作者已有工作[6-7]的基础上，建立了三维Helmholtz问题的间接变量规则化边界积分方程。数值实施中，本文建立了一般参数表示的几何边界上的精确单元的数值实施方案。具体地，边界几何采用精确单元描述，单元上的边界量用二次8节点不连续插值函数逼近。精确单元的思想(等几何分析的思想与之类似)最早是由文献[6]针对圆域和椭圆域区域提出的，文献[7]将其发展到三维球面、圆环面等特殊区域。本文将精确单元的概念拓展到一般参数表示的几何边界上，用2个外边值问题的算例来验证方法的可行性。

1　预备知识

本文假设Ω是R3中的有界区域，Ωc是Ω的补域，Γ=∂Ω是其共同的边界。

1.1Helmholtz方程的外边值问题

(1)

具有边界条件

(2a)

(2b)

(2c)

三维Helmholtz方程的基本解为

(3)

1.2基本定理

(4)

(5)

2　间接规则化边界积分方程

内点边界积分方程为

(6)

(7)

这里，l是任一方向上的单位向量。

(8)

因此，基于式(7)利用引理1和引理2，可得如下规则化边界积分方程：

y∈Γ

(9)

y∈Γ

(10)

3　数值实施

本节将建立一般参数表示的几何边界上的精确单元的数值实施方案。具体地说，边界几何采用精确单元描述，单元上的边界量用二次8节点不连续插值函数逼近。

假设所考虑问题的域的边界Γ可表示为参数形式

x1=x1(s1,s2),x2=x2(s1,s2),x3=x3(s1,s2)，

a≤s1≤b,c≤s2≤d

(11)

现在将区间[a,b]和[c,d]分别分割成m和n个子区间：[ai,bi],i=1,…,m，[cj,dj],j=1,…,n，对应于每个参数子区间[ai,bi]×[cj,dj]的精确几何单元可表示为

这里

其法向导数可表示为

其中：

在此精确单元上的边界量φ(x)可用如下二次8节点不连续插值函数逼近：

其中：

-1≤ξ1≤1, -1≤ξ2≤1

这里，α(0,1)，φk为节点处边界量的值。

4　数值算例

考虑2个外边值问题的数值算例来验证方法的精确性、有效性及收敛性。单元几何采用精确单元来描述，边界量采用二次8节点不连续插值函数来逼近。为了评估解的准确性，定义平均相对误差为

(8)

计算时，取k=1，球面被分成9个精确单元。表1给出一些内点上声压u的数值解与文[2]及精确解的比较。从中可看出：本文结果与精确解相当吻合，比文[2]的结果精度高得多。图1给出了边界点上∂u/∂n的平均相对误差随边界单元数增加的变化曲线，即收敛曲线。

例2单位球体上的脉动球源[2]对于单位球面上振动幅值为vn的脉动球源，其辐射声压理论解为

其中：ρ0为介质密度；c为介质中的声速。假设距离球心r处的辐射声压的解析值为

表1　本文内点声压解与文献[2]的解及精确解的比较

图1　边界∂u/∂n的相对误差收敛曲线

图2　当ka=1(a=1)时，r=10的球面上内点声压数值解的误差曲面

图4　当ka=70(a=1)时，r=2的球面上内点声压数值解的误差曲面

5　结束语

针对过去广泛实践于直接变量的边界积分方程，本文建立了求解三维Helmholtz问题的间接变量规则化边界积分方程。在数值实施中，本文拓展了已有的精确单元的概念，提出了一般参数表示的几何边界上的精确单元的概念。在精确单元上，边界量用二次8节点不连续插值函数逼近。2个外边值问题的数值算例表明：本文方法简单，程序设计容易，求解精度高。

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(责任编辑陈艳)

Regularized Boundary Integral Equation with Indirect Unknowns for 3D Helmholtz Problems

MA Chao1, ZHANG Yao-ming1, 2

(1.School of Science, Shandong University of Technology, Zibo 255091, China;2.State Key Laboratory of Structural Analysis for Industrial Equipment,Dalian University of Technology, Dalian 116024, China)

The indirect boundary element method (IBEM) for 3D Helmholtz equation problems was investigated by using the fundamental solution of the potential problem approaching to the fundamental solution of the Helmholtz equation problem. The boundary integral equation for Helmholtz problem was transformed into the boundary integral equation for potential problem, so, we applied the fundamental solution to 3D potential problem and the limit theorem of the boundary integral equation to establish the indirect boundary element method (IBEM) for 3D Helmholtz equation problems. In addition, the numerical implementation of the exact element with the geometric boundary was described by general parametric. Specifically, the geometric boundary was described by the exact element, and the boundary of the element was approximated by the two times discontinuous interpolation function with 8 nodes. Numerical examples with low wave number were investigated, demonstrating the feasibility and efficiency of this method.

3D Helmholtz equation boundary value problem; indirect boundary integral equation; the boundary element method; singular integral

2016-04-28

山东省自然科学基金重点资助项目(ZR2010AZ003)；工业装备结构分析国家重点实验室开放基金资助项目(GZ13017)

马超(1990—),男，吉林松原人,硕士研究生,主要从事计算数学研究，E-mail: 695539883@qq.com。

format：MA Chao, ZHANG Yao-ming.Regularized Boundary Integral Equation with Indirect Unknowns for 3D Helmholtz Problems[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2016(10):151-155.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2016.10.024

O342

A

1674-8425(2016)10-0151-05

引用格式：马超，张耀明.三维Helmholtz问题的间接规则化边界积分方程[J].重庆理工大学学报(自然科学)，2016(10):151-155.