数形结合在中职数学课堂教学中的渗透

黄世财

【摘要】在中职数学课，学生的解题能力欠佳，其中有一点就是不会利用图形来分析问题和解决问题。因此，在教学中如何把复杂的问题通过图形简单化，把较难的问题通过数形结合转化为较易的问题，把未解决的问题通过直观图形转化为能解决的问题，这就需要在教学中渗透有关的数形结合的思想。

【关键词】数形结合 中职教学 渗透

【中图分类号】G71 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）09-0103-02

华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。”数形结合的思想，其实质就是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化，使问题化难为易、化繁为简，从而使问题得到解决。

近年来，在高职高考数学试题中，应用数形结合的思想来答题，既能直观表现出来，又能减少计算中的错误，可谓事半功倍。能应用数形结合的学生，做题能力较强，而不善于应用数形结合意识的学生，做题的思路、方法明显稍差，甚至会不得其解。下面结合在教学中的体会谈谈数形结合的渗透。

一、集合的交集、并集的数形结合

“天苍苍，野茫茫，风吹草低见牛羊。”形象地描述了集合这一概念，因此在进行集合的运算教学中，根据交集、并集的定义特点，画出数轴，从数轴上分析，找出关联部分，就能快速得出答案。

例1：设集合，则

例2：设集合，则

分析：将每一个例题中的集合在数轴上表示出来，观察图形可以得到集合的交集、并集。

二、解不等式的数形结合：

在不等式的学习中，经常会碰到求一元二次不等式、绝对值不等式等的解集，解答此类问题，关键是求出根，通过画数轴找出不等式的解集。

例1：函数的定义域是

分析：此题实际上是求一元二次不等式的解集。关键是求出一元二次方程时的两个根。然后将这两个根标在数轴上，观察图形得出函数的定义域是。

例2：不等式的解集是

分析：此题是绝对值不等式，首先画数轴观察出绝对值小于10的数是介于-10至10之间，这样就得到不等式的解集是。

三、函数的数形结合

函数是中职学生感到学起来比较吃力的一部分，比如一次函数、二次函数的图像，单调性和奇偶性，这些知识点都与图形有着紧密的联系。

例1：已知函数的图像在x轴的上方，且对称轴在y轴的左侧，那么函数y=ax+b的图像大致是

分析：此题很明显必须借助数和形来解决问题。首先依据二次函数的图像是一条抛物线，图像的开口向上，故，且对称轴，则；依据一次函数y=ax+b 的图象是一条直线，可知图像经过一、二、三象限，因而可画出所求函数的大致图像。

例2：奇函数在区间[3，7]上是增函数，且有最小值 ；则在区间[-7，-3]上是 （增或减）函数，且有最 （大或小）值为 。

分析：解答此题的关键是在直角坐标系中依据奇函数的图像关于原点对称，并且从左到右图像是上升的这一特点画出图形，观察得出函数在区间[-7，-3]上是增函数，且有最大值为-5，所以效果很明显且简便快捷。

四、指数和对数函数及三角函数的数形结合

解指数和对数函数的题型，关键是抓底数，根据底数大于0且小于1和大于1两种情况画出函数的图像，通过对比得出结论，这是一种快速的思考方法。

例1：已知函数，其中，则比较的大小顺序是

分析：此题根据对数函数的底数范围确定它是减函数，函数的图像是下降的，由此比较在同一范围内自变量时，从函数的图像得出的大小。然后通过得出结论。

例2：下列不等式中，正确的是

分析：在分析过程中渗透数和形的思想，借助对数函数的图像，可以在（C），（D）中选择，借助正弦、余弦函数的图像可以在（A），（B） 中作出判断，从图像中可以一目了然寻找出答案为（C）。

五、解析几何的数形结合

解析几何主要的知识点有直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线的相关内容，但是将几种曲线综合在一起应用，必须通过分析图形才能准确解答，才能提高解题的效率。

例如：已知中心在坐标原点，两个焦点F1，F2在x轴上的椭圆E的离心率为，抛物线y2=16x的焦点与F2重合。（1）求椭圆E的方程；（2）若直线交椭圆E于C，D两点，试判断以坐标原点为圆心，周长等于△CF2D周长的圆O与椭圆E是否有交点？请说明理由。

分析：解答此题需要涉及的知识点有椭圆的方程和性质，抛物线的焦点坐标和圆的周长，从画出图形作为切入点，根据已知条件，分析出要解决的问题，就能较快地解答出来。

首先依据图形由抛物线y2=16x得椭圆E的焦点，根据离心率和焦点求出椭圆的方程。要解答第二个问必须知道△CF2D周长与长半轴的关系，由此得知圆O的半径，此半径比椭圆的长半轴要小，比椭圆的短半轴要大，据此可画出圆O的图形，得出圆与椭圆有交点的结论。

总之，数学思想和数学方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵在数学知识的发生、发展和应用的过程中。而数形结合的思想就是利用图形进行思维简缩，对选择、填空题的求解往往能简化过程。对解答题往往能分析出关键节点，找到解题的切入点，从而达到事半功倍的效果。因此，在中职数学教学中有意识地渗透数形结合，借助数学概念，构建起中职数学的基础知识网络，就会适应高职高考的实际情况，学习数学就会水到渠成。

参考文献：

[1]王战义.高职高考数学（上册）复习教材.[M]广州广东经济出版社2015年6月第6版.

[2]万丽.渗透数形结合思想，提升中职学生数学素养.[J]理科考试研究·数学版2015（5）.

[3]王长锁.数形结合在中职数学解题中的应用研究.[J]新校园·中旬刊2013（10）.

[4]倪永胜.简析中职数学中的数形结合.[J]数学学习与研究2015（9）.