椭圆的共轭直径的1个性质的三点注记

☉浙江省湖州市第五中学教育集团　计惠方

椭圆的共轭直径的1个性质的三点注记

☉浙江省湖州市第五中学教育集团计惠方

《数学通讯》2015年第10期下半月（教师）刊登了张留杰、周明芝两位老师通过对一道期末试题的研究，获得了椭圆共轭直径的一个性质，拜读两位老师的文章，深受启发.为了说明问题，特将作者研究的试题和两位老师的研究结果转述如下：

题目（2015年1月北京市东城区高三期末试题）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为

（Ⅰ）求椭圆的方程；

文［1］作者根据直线l的斜率为恰好等于，定值5点P是椭圆C长轴上的一个动点，过点P作斜率为的直线l，分别交椭圆C于A，B两点，则|PA|2+|PB|2=a2+b2.恰好是a2+b2，大胆猜想得出了如下结论.

结论1对于椭圆C

笔者通过对文章的仔细审读和试题的深入研究，结合笔者撰写的文［2］，认为有必要作如下三点补充.

一、研究变式，拓宽通道

一般情况下对一个问题的研究，往往从横向、纵向和逆向三个方面切入，这样的研究更加丰富和饱满且能保持问题的本来面貌，下面的三个变式均是对文［1］的补充和对下面的研究的有效铺垫.

证明：设P（0，t）（-1≤t≤1），直线为y=±1x+t，A（x，2

1y1），B（x2，y2）.由消去y，得2x2±4tx+4t2-4=0，Δ=所以

解：当直线l的斜率不存在或为0时，显然都不合题意.

设P（m，0）（-2≤m≤2），直线l：x=ty+m，A（x1，y1），B（x2，y2）.

二、整合变式，完善命题

通过对上面变式题组以及点P位置变化的研究，不难得出如下更为完善的结论：

图1　

结论的充分性文［1］作者已经给出了证明.下面我们来证明必要性，为了体现直线的参数方程对线段长度问题的特殊功效，特引入直线的参数方程给予证明.

证明：不妨设点P在椭圆C的长轴上，若存在这样的直线l，使|AP|2+|BP|2恒为定值，设直线l：参数，θ为直线l的倾斜角），

代人椭圆方程得

因为|tA|2+|tB|2要与m无关，只需令b2cos2θ－a2sin2θ=0，得

注：点P在椭圆C的短轴上时，证法完全类似.

三、“源头”铺垫，和谐拓展

接下来的问题是若P为椭圆内的任一动点，过点P任作一条弦AB，则|AP|2+|BP|2恒为定值的充要条件是否存在？为了搞清这个问题，应该回到问题的“源头”——圆中问题进行铺垫和类比.

图2　

问题1如图2，设点P是⊙O内的任一动点，过点P作直线交⊙O于A，B两点，则PA2+PB2恒为定值的充要条件是直线AB与过点P的直径FD和它的共轭直径EC所构成的圆内接正方形CDEF的边互相平行.

证明：（充分性）不妨设AB∥CD，

AB与EC交于点Q，⊙O半径为r.

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过点O作PG⊥AB于G.

由垂径定理及等腰直角△OPQ，得

PG=QG=OG，BQ=PA，

故PA2+PB2=（AG－PG）2+（BG+QG）2=AG2+PG2+BG2+ PG2=AG2+OG2+BG2+OG2=2r2.（定值）

（必要性）过点O作PG⊥AB于G，则AG=BG，设PG=x，AB与EC交于点Q，

则PA2+PB2=（AG－x）2+（AG+x）2=2AG2+2x2=2（OA2－OG2）+2x2=2OA2+2（x2－OG2），因为与点P的位置无关，故x=OG，所以△OPQ为等腰直角三角形，即AB∥CD或AB∥DE.此时，PA2+PB2恒为定值2r2.

由于椭圆的对称性没有圆的良好，因此文［1］的结论2中PA2+PB2依赖CD的方向，并不是真正意义上的恒为定值.因此若P为椭圆内的任一动点，过点P任作一条弦AB，则|AP|2+|BP|2恒为定值是不可能的，但是根据问题1我们容易解决下面的问题：

图3　

问题2如图3，FD和EC是圆O的共轭直径，点P是其中一条直径FD上的一个动点，过P任作两条直线，交圆O于点A1、B1和A2、B2，设圆O的半径为r，则|PA1|2+|PB1|2+|PA2|2+ |PB2|2恒为定值（4r2）的充要条件为A1B1∥CD，或A2B2∥FC.

图4　

问题3如图4，FD和EC是圆O的共轭直径，点P、Q是其中一条直径FD上的两个动点，过P任作一直线，交圆O于点A1、B1，过Q任作一直线，交圆于点A2、B2，设圆O的半径为r，则|PA1|2+|PB1|2+|QA2|2+|QB2|2恒为定值（4r2）的充要条件为A1B1∥CD，A2B2∥FC.

根据问题2的类比以及伸缩变换不改变平行性的性质，容易得到：

命题2如图5，设P为椭圆W：内的任一动点，过点P任作两条弦A1B1，A2B2则|PA1|2+ |PB1|2+|QA2|2+|QB2|2恒为定值（2a2+2b2）的充要条件为A1B1∥CD，A2B2∥FC

图5　

此结论不依赖CD方向的约束，是真正意义上的定值，显然更具本质特征.充分性的证明参阅文［1］，必要性的证明留给读者朋友们思考.另外，若A2B2过点Q，则显然有如下结论：

图6　

命题3如图6，CD和MN是椭圆W的共轭直径，点P、Q是其中一条直径CD上Q的两个动点，过P任作一直线，交椭圆于点A1、B1，过Q任作一直线，交椭圆于点A2、B2，椭圆的半长轴为a，半短轴为b，则|PA1|2+|PB1|2+|QA2|2+|QB2|2恒为定值（2a2+2b2）的充要条件为A1B1∥CD，A2B2∥FC.

如果将P、Q两点运动至共轭直径的端点，则显然有如下推论：

推论如图7，椭圆的共轭直径（CE与DF）的任意端点（E）与另一条直径（DF）的端点连接，所得的两条弦（EF与ED）的平方和为定值2（a2+ b2），并且共轭半径（OC与OD）的平方和为定值a2+b2.

图7　

1.张留杰，周明芝.椭圆的共轭直径的一个性质［J］.数学通讯（下），2015（10）.

2.王勇强，计惠方.一道浙江竞赛题证法的补充与引申［J］.中学数学（上），2013（8）.Y