复曲面奇点不变量

孟凡宁，袁文俊

（广州大学数学与信息科学学院，广东 广州 510006）

复曲面奇点不变量

孟凡宁，袁文俊*

（广州大学数学与信息科学学院，广东 广州 510006）

近几年，作者研究了正规复曲面奇点的不变量及这些不变量之间的关系，并得出了相应的一些结果.文章主要综述关于Brieskorn型完全交叉曲面奇点的最优解的结构，以及基本链、极大理想链和最小链这3个不变量之间的关系.

正规复曲面奇点；Brieskorn完全交叉；循环商奇点；基本链；极大理想链；最小链

1966年，ARTIN［1］定义了有理奇点，并且运用奇点的对偶解图（等价于奇点的拓扑），给出了重数和嵌入维数这2个解析不变量的表达式，并进一步证明了基本链Z（为拓扑不变量）和极大理想链M（为解析不变量）是一致的.1970年，WAGREICH［2］给出了弱椭圆奇点的定义，并对弱椭圆二重点进行了分类.1977年，LAUFER［3］介绍了最小椭圆奇点，即满足一个最小条件的弱椭圆奇点，证明了Z＝M，以及这些奇点是几何亏格（解析不变量）为1的Gorenstein奇点，并根据对偶解图对最小椭圆二重点和三重点进行了分类［4-5］.1980年，YAU［6］定义了包含最小椭圆奇点的最大椭圆奇点，其几何亏格可以是任意大，并且证明了最大椭圆奇点是Gorenstein奇点.同时，YAU还给出了关于弱椭圆奇点的一个新概念，即椭圆序列.1999年，NÉMETHI［7-8］研究了Gorenstein弱椭圆奇点X（即广义的最小椭圆奇点），并且证明了如果X的连接Σ（即连通定向三维紧流形）是有理同调球，那么Z＝M.TOMARU［9-11］研究了超曲面奇点｛zn＝f（x，y）｝，f（x，y）∈ C C｛x，y｝，并且证明了如果n|ord（f），那么Z＝M.2012年，KONNO等［12］研究了Brieskorn型超曲面奇点，在其最优解空间上运用循环覆盖法详细描述了基本链Z和极大理想链M，并且给出了Z＝M成立的充要条件.由于Brieskorn完全交叉曲面奇点是广义的Brieskorn型超曲面奇点，所以探讨Brieskorn型完全交叉曲面奇点的不变量也是非常有意义的.2014年，MENG等［13］推广了KONNO的结果，即在最优解空间上，详细描述了Z和M，并且给出了Z＝M成立的充要条件.从以上结论可见，基本链Z是一个重要的拓扑不变量，也就是由奇点的拓扑决定的，而极大理想链M是一个解析不变量，即由奇点的解析结构决定的，但它不一定是拓扑的.那么这些解析不变量在什么条件下是拓扑的，或者是否存在一些特殊奇点类，其某些解析不变量是拓扑的呢？探讨这些解析不变量的拓扑性，在复曲面奇点论中是非常有研究意义的.

同样，对于某些特殊奇点类，探讨其某些由奇点的拓扑决定的重要链之间的关系，对于寻求解析不变量与奇点的拓扑之间的关系也是非常重要的.1985年，STEVENS［14］研究了Kulikov奇点，并且证明了在最小解空间上，最小链A（为拓扑不变量）与基本链Z是一致的.1995，TOMARU［9］研究了Brieskorn型超曲面奇点，2≤a1≤a2≤a3，并且给出了A＝Z成立的充分条件.随后，Meng研究了广义的Brieskorn型超曲面奇点，即Brieskorn型完全交叉曲面奇点，给出了A与Z一致的充分条件.近几年来，笔者在复曲面奇点的解上研究了拓扑不变量与解析不变量之间的关系，本文将综述所得出的结果.

在部分1中，介绍一些关于正规复曲面奇点的一些基本定义和性质，正规复曲面奇点的最小解，最优解及其对偶解图，以及关于循环商奇点的一些基本结果.在部分2中，介绍了Brieskorn型完全交叉曲面奇点的对偶解图及零因子（xi）E的表达式.基本链和典范链这2个重要的拓扑不变量的表达式在部分3中给出，同时还给出了基本亏格的计算公式.对于极大理想链，在部分4中给出详细的描述，另外，还介绍了Brieskorn型完全交叉曲面奇点与Kodaira奇点的关系.在部分5中，介绍了正规复曲面奇点的最小链及其与基本链的关系.

1 预备知识

的线性组合，称为E上的一个链.如果所有的di≥0，那么D称为E上的一个有效链，记作D≥0.对E上所有的有效链D，称

为D的算术亏格，其中KX～为X～上的典范因子.对于E的任何一个不可约分量EiE，有

其中g（Ei）表示Ei的亏格，δ（Ei）表示Ei上结点和尖点的个数.如果B，C是E上的任意链，那么

1.1 正规复曲面奇点的解及其对偶解图

众所周知，奇点的拓扑与奇点的对偶解图是相互决定的［7，15］，如果把奇点的拓扑用奇点的对偶解图来描述，就可以更简捷直观地去分析复曲面奇点的一些不变量.

注1 如果（X，o）的最小解π存在，那么π是惟一的.

（1）E的每一个不可约分量Ei都是光滑的；

（2）E的所有不可约分量如果相交则垂直相交；

（3）对于任意3个不同的i，J，k，Ei∩EJ∩Ek＝

注2 对任意一个复曲面奇点（X，o），

（1）（X，o）的优解总是存在的且不惟一，但是存在惟一一个最优解［16］；

（2）在任意解上的点有限次连续拉开后，可以得到最优解［17］；

（3）（X，o）的最小解是惟一存在的，但不一定是优解.

如果Ei∩EJ≠，那么ΓE中对应于Ei∩EJ的边表示为

1.2 循环商奇点

设n和μ为正整数且满足μ＜n和gcd（n，μ）＝1，εn为n次单位原根，称商奇点

为Cn，μ型循环商奇点.这里记C1，0型奇点为一个非奇点.对于整数ci≥2，i＝1，…，r，记

众所周知［19］，如果是Cn，μ型奇点的最小解的例外因子，n/μ＝［c1，…，cr］，那么EiP P1，并且E的赋权对偶解图为1（见图1）.对任意x∈ R R，记「x」＝min｛n∈ Z Z|x≤n｝.

图1 ∪ri＝1Ei的赋权对偶解图Fig.1 The weighted dual graph of

引理1［12］设ei＝［ci，…，cr］，λ0为正整数.对于1≤i≤r，令λi＝「λi-1/ei」，且取互素正整数ni和μi满足ni/μi＝ei.记λr+1：＝λrcr-λr-1.

（1）对于1≤i≤r，如果λi-1＝λici-λi+1，那么λ1＝（μ1λ0+λr+1）/n1.

（2）对于1≤i≤r，如果λ0≡0（mod n），那么λi＝μiλi-1/ni；如果μ1λ0+1≡0（mod n1），那么λi＝（μiλi-1+1）/ni.

（3）对于1≤i≤r，如果λ0≡0（mod n1）或者μ1λ0+1≡0（mod n1），那么λi-1＝λici-λi+1.进一步地，λr+1＝0当λ0≡0（mod n1）；λr+1＝1当μ1λ0+1≡0（mod n1）.

（4）如果λ0≡0（mod n1），那么λr＝λ0/n1.如果μ1λ0+1≡0（mod n1），那么λr＝「λ0/n1」.

2 （V，o）的对偶解图及零因子（xi）E

本文主要考虑Brieskorn型完全交叉孤立曲面奇点（V，o）（ C Cm，o），其中

根据SERRE′s正规判定标准，（V，o）是一个正规曲面奇点.

对于2≤k≤m和1≤i≤k，定义正整数dik，nik和eik如下：

（定义dik中的＾表示省略项.）另外，定义整数μim满足如下条件：

对于1≤i≤m，定义整数g^和g^i如下：

KONNO等［12］运用循环覆盖法给出了Brieskorn超曲面奇点的优解结构.笔者根据KONNO介绍的循环覆盖法，首先给出平面曲线奇点的最优嵌入解的结构，这些解的结构的奇点中只包含循环商奇点，然后再根据引理1和TOMARU的结果［13，20］，以递推的形式逐步给出部分曲面的正规化的结构，这样就得出这些部分曲面的部分解的奇点中只包含循环商奇点，最后运用循环商奇点的性质给出了（V，o）的优解的结构以及零因子（xi）E的详细描述［13］.令

定理1［13］设g和-c0分别为E0的亏格和自交数，那么例外因子E的赋权对偶解图如图2，其中不变量g和c0为

图2 （V，o）的例外因子E的赋权对偶解图Fig.2 The weighted dual graph of the exceptional divisor E over（V，o）

进一步地，

这样，根据零因子Z（i）就可以得出极大理想链Zm，而且可见，不变量g，c0以及零因子Z（i）都可以用a1，…，am来表达.对于零因子Z（i），可以得出如下性质：

引理2［13］对于1≤w≤m，有

例2 设a1＝…＝am-3＝2，am-2＝3，am-1＝4，am＝5，m≥4.那么

根据定理1，有c0＝2m-3，g＝（m-6）·2m-5+1，从而E的赋权对偶解图见图3.

图3 对于a1＝…＝am-3＝2，am-2＝3，am-1＝4，am＝5的E的赋权对偶解图Fig.3 The weighted dual graph of E with a1＝…＝am-3＝2，am-2＝3，am-1＝4，am＝5

更进一步，明显地，Z（m）＜Z（m-1）＜Z（m-2）＜Z（m-3）＝…＝Z（1），并且

3 基本链和典范链

设（X，o）是一个正规复曲面奇点，π：（X～，E）→（X，o）是（X，o）的一个解，其中E＝π-1（o）为X～上的例外因子.

定义4 设Z＞0是例外因子E上的一个链，如果

引理3［9］设D为E上的一个任意链且满足0≤D≤ZE，那么pa（D）≤pf（X，o）.

1972年，LAUFER［21］给出了一种计算基本链ZE的计算方法，具体如下：

设E上的链D满足0≤D＜ZE，其中ZE是E上的基本链.那么对于J＝ε+1，…，l，可以构造如下序列：

使得ZJ-1EiJ＞0，其中Ei1是任意的，并且ε＝0如果D＞0；ε＝1如果D＝0，称此序列为D到ZE的计算序列.当D＝0，此序列即为LAUFER［21］给出的关于ZE的计算序列.

令Z1＝E0，Z2＝Z1+E1，Z3＝Z2+E2，Z4＝Z3+E3， Z5＝Z4+E0，Z6＝Z5+E0，Z7＝Z6+E1，Z8＝Z7+ E0，Z9＝Z8+E2，Z10＝Z9+E0，Z11＝Z10+E1，Z12＝Z11+E0＝ZE.那么｛Zi｝就是在X～上关于基本链ZE的一个计算序列.实际上，有Z1E1＞0，Z2E2＞0，Z3E3＞0，Z4E0＞0，Z5E0＞0，Z6E1＞0，Z7E0＞0，Z8E2＞0，Z9E0＞0，Z10E1＞0，Z11E0＞0，并且ZEE0＝0，ZEE1＝0，ZEE2＝0，ZEE3＝-1＜0.这样可以得出基本链ZE＝6E0+3E1+2E2+E3.

设（V，o）如部分2中给出的定义，π：（V～，E）→（V，o）是（V，o）的优解，ZE为E上的基本链.因为（V，o）为Gorenstein奇点［22］，所以存在一个链ZK使得-ZK为V～上的典范因子，即EiZK＝-EiKV～，称ZK为V～上的典范链.设a1≤…≤am，由于di＝diknik＝aieik，有e1m≥…≥emm.

定理2［13］设εw，ν＝［cw，ν，…，cw，sw］当sw＞0，基本链

那么θw，0，ξ：＝θ0：＝min（emm，α1…αm），θw，ν，ξ＝「θw，ν-1，ξ/εw，ν」（1≤ν≤sw）.

例4 设a1＝a2＝2，a3＝…＝am-1＝3，am＝4，m≥4.那么

由定理1，c0＝4·3m-5，g＝（4m-15）·3m-5+1，从而E的赋权对偶解图见图4.

图4 对于a1＝a2＝2，a3＝…＝am-1＝3，am＝4的E的赋权对偶解图Fig.4 The weighted dual graph of E with a1＝a2＝2，a3＝…＝am-1＝3，am＝4

进一步地，由定理1，可以得出

根据定理2，得到θ0＝min（emm，α1…αm）＝2，并且E上的基本链

明显地，α1…αm＝2＜emm＝3，并且ZE＜Z（m）.

相反地，在例2的情况下，有a1＝…＝am-3≤am-2≤am-1≤am，emm＝12，α1…αm＝30，θ0＝min（emm，α1…αm）＝12.那么根据定理2，可以得出E上的基本链

明显地，α1…αm＞emm和ZE＝Z（m）.

引理4［13］ZE＝Z（m）当且仅当emm≤α1…αm.

定理3［13］设Z0＝ZE，其中ZE满足定理2中的条件θ0＝α1…αm.那么

例5 在例2的情形下，有

对于正规复曲面奇点（X，o），其基本链的算术亏格，即

也是一个重要的拓扑不变量，称之为基本亏格，记为pf（X，o）.对于加权齐次曲面奇点，TOMARU［9］给出了其基本亏格pf的计算公式；随后，TOMARU［23］运用TOMARI的结果得出了超曲面奇点｛f（x，y）＝zn｝的基本亏格pf的计算公式［9］.在此基础上，本文给出了Brieskorn型完全交叉曲面奇点（V，o）（部分2中的定义）的基本亏格pf的计算公式，具体结果如下：

定理4［13］如果emm≥α1…αm，那么

4 极大理想链与Kodaira奇点

在复曲面奇点类中，存在一些由奇点的解析结构决定的不变量，称之为解析不变量，这些不变量在一般情况下是不能完全由其对偶解图决定的，例如几何亏格，嵌入维数等.下面将探讨极大理想链（解析不变量）的拓扑性，其定义如下：

其中（h）E是E上的链，H不包含E的任何一个不可约分量.

注3 根据基本链和极大理想链的定义，ZE≤Zm总是成立的.

设（V，o）如部分2中的定义，π：（～V，E）→（V，o）是（V，o）的优解，a1≤…≤am，m为局部环OV，o的极大理想，Zm为～V上的极大理想链.那么根据Zm的定义，有

定理5［13］Z（m）≤…≤Z（1）.因此，Zm＝Z（m）.进一步地，极大理想链Zm在（V，o）的最优解空间和～V上与基本链ZE一致的充要条件是emm≤α1…αm.

例7 （α1…αm＜emm） 设a1＝a2＝2，a3＝…＝am＝3，m≥3.那么

同时，β1＝…＝βm＝0，故E不可约，ZE＝E，Zm＝2E.根据定理1，有c0＝3m-4，g＝（2m-7）· 3m-4+1.

例8 （α1…αm≥emm） 设a1＝…＝am-2＝2，am-1＝3，am＝7，m≥4.那么

这样，E的赋权对偶解图见图5，其中分量Em，sm，ξ对应于自交数为-7的顶点.从定理1，有c0＝2m-4，g＝（m-6）·2m-5+1.因为α1…αm＝21＞6＝emm，根据定理5，有Zm＝ZE.

图5 对于a1＝…＝am-2＝2，am-1＝3，am＝7的E的赋权对偶解图Fig.5 The weighted dual graph of E with a1＝…＝am-2＝2，am-1＝3，am＝7

对于正规复曲面奇点，KARRAS［4］给出了关于曲线束的Kodaira奇点的定义，证明了这些奇点的几个基本性质，并将其结论运用到复曲面奇点的形变理论中去.事实上，如果正规复曲面奇点（X，o）是Kodaira奇点，那么在最小解上，其基本链ZE与极大理想链Zm是一致的.

定义6 设S为一非奇复曲面，Δ C C是关于原点的一个开圆盘，称全纯满射Φ：S→Δ为亏格g的曲线束，如果Φ为连通真映射，纤维St：＝Φ-1（t）（t≠0）为亏格g的光滑曲线.

定义7［4］正规复曲面奇点（W，p）称为Kodaira奇点，如果存在曲线束Φ：S→Δ使得在奇异纤维So：＝Φ-1（o）的非多重分量上的有限多个非奇点P1，…，Pr上拉开有限次后，Ψ：S′→S，存在全纯映射：M→W使得是（W，p）的解，且例外因子为F，其中M为S′上Supp（So）的严格变换F的开域.

1981年，KARRAS在最优解空间上给出了一个判定正规复曲面奇点为Kodaira奇点的判定准则如下.

命题1［4］设：（M，F）→（W，p）为正规复曲面奇点（W，p）的最优解，ZF为F上的基本链.那么（W，p）是Kodaira奇点当且仅当在ZF上，对于任何一个满足ZFFJ＜0的分量FJ的系数为1，并且存在元素h∈OW，p使得零因子divM（h）是正规正交的，且例外部分（h）F＝ZF.

例9 设W＝｛x2+y3+z8＝0｝，：（M，F）→（W，o）为（W，o）的最优解，其中F为例外因子.从定理1可以得出F的赋权对偶解图如下：

根据定理2，可以得出基本链ZF＝3F0+F1+ F2+F3.明显地，ZFF0＝0，ZFF1＝0，ZFF2＝0，ZFF3＝-1＜0，且ZF上F3的系数为1.同时，根据定理1，存在元素z∈OW，o使得零因子divM（z）是正规正交的，其例外部分（z）F＝3F0+F1+ F2+F3.这样，（z）F＝ZF.根据命题1，可以得出（W，o）是一个Kodaira奇点.

定理6［13］设（V，o）如部分2中的定义，那么（V，o）为Kodaira奇点当且仅当dm-1≤am.

例10 在例7的情况下，有dm-1＝6＞am＝3.这样根据定理6，奇点（V，o）不是一个Kodaira奇点.相反，在例8的情况下，有dm-1＝6＜am＝7.同样根据定理6可以得出奇点（V，o）是一个Kodaira奇点.

5 最小链

定义8 设A是E上的一个链且满足0＜A≤ZE.假设pf（X，o）≥1.那么称A为最小链，如果pa（A）＝pf（X，o），且对E上任意满足0≤D＜A的链D有pa（D）＜pf（X，o）.

引理5［3］对所有满足pf（X，o）≥1的正规复曲面奇点（X，o），其最小链是惟一存在的.

1977年，LAUFER证明了如果（X，o）是椭圆奇点，即pf（X，o）＝1，那么A为最小椭圆链［3］. 1985年，STEVENS［14］研究了Kodaira奇点的一个子类，即Kulikov奇点，并且证明了如果（X，o）是最小Kulikov奇点，且π是最小解，那么ZE＝A.

定理7［9］设π：（V～，E）→（V，o）是（V，o）的最优解或最小解，A是E上的最小链.假设pf（V，o）≥2，那么-KV～≥ZE+A.

定理8①MENG F N，YUAN W J，WANG Z G.The minimal cycles over Brieskorn complete intersection surface singularities［J］.Taiwan J Math，2015，accepted.设π′：（V¯，E）→（V，o）是（V，o）的最小解.如果lcm（a1，…，am-1）≤am≤2·lcm（a1，…，am-1）且pf（V，o）≥2，那么在E上有ZE＝A.

运用LAUFER计算序列，得出基本链ZE＝3E1+ 2E2+2E3+E4+2E5+E6，基本亏格pf（W，o）＝2.最小链A＝2E1+E2+2E3+E4+2E5+E6，且-KV～＝8E1+4E2+6E3+3E4+6E5+3E6.明显地，ZE≠A和-KV～＞ZE+A.

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The invariants of normal com plex surface singularities

MENG Fan-ning，YUAN W en-jun
（School of Mathematics and Information Sciences，Guangzhou University，Guangzhou 510006，China）

In recent years，we have been studying the invariants over normal complex surface singularities and their relations，and obtained some corresponding results.In this paper，we mainly give a survey on the structure of the minimal good resolution of Brieskorn complete intersection surface singularities，and the relations among the three invariants：fundamental cycle，maximal ideal cycle and minimal cycle.

normal complex surface singularity；Brieskorn complete intersection；cyclic quotient singularities；fundamental cycles；maximal ideal cycles；minimal cycles

O 187.2

A

1671-4229（2016）01-0018-09

【责任编辑：周 全】

2015-06-19；

2015-09-09

国家自然科学基金资助项目（10771220）；教育部留学回国人员科研启动基金资助项目；广东省自然科学基金资助项目（2015A030313346，S2012010010121）

孟凡宁（1982-），男，博士.E-mail：mfnfdbx＠163.com

*通信作者.E-mail：wjyuan1957＠126.com