基于太阳影子的视频定位研究

孙娓娓，王先超，牛向阳，周 霞

（阜阳师范学院数学与统计学院，安徽阜阳 236041）

基于太阳影子的视频定位研究

孙娓娓，王先超，牛向阳，周 霞

（阜阳师范学院数学与统计学院，安徽阜阳 236041）

结合相关地理知识，利用非线性拟合、超定方程和Matlab软件，对利用太阳影子确定视频拍摄地点和时间的方法进行了研究.该方法相对简单，易于操作，具有广泛的实践应用价值.

太阳影子定位；视频分析；经纬度；非线性拟合；超定方程

近年来，随着技术的进步和互联网速度提升，数据采集技术、存储技术和处理技术得到长足的发展，使得人类进入了“大数据”时代，更使人们对数据分析的需求不断加深.数据分析是指用适当的统计分析方法对收集来的大量数据进行分析，提取有用信息和形成结论的过程.在实用中，数据分析可帮助人们作出判断，以便采取适当行动.视频数据分析则是数据分析的一种主要形式，如何确定视频的拍摄地点和日期是其重要方面，其中的阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化来确定拍摄地点和拍摄日期.

对于太阳影子定位［1］，目前也有一些简单的方法.根据观测地的经度，可利用正午太阳投影，确定南北方向，因为所有地方都是正午太阳高度最大［2］，除过直射点所在地，太阳一定是在正南方向或正北方向；也可以根据正午时的影子确定方向并计算出确切的经度，原理是上下午日影长短对称，正午时影子最短，显示时间一般为北京时间，根据时差则可以推算出观测地的经度；同时根据正午太阳高度角的计算公式，只要已知正午太阳高度和太阳直射点，就可以求出观测地的纬度［3］.

本文研究利用太阳影子定位技术确定视频拍摄的地点和日期.利用地理的日晷原理［4］知识，采用最小二乘法拟合、超定方程等数学方法，使用Matlab软件分析数据，估计出某段视频拍摄的经纬度和日期.可以应用于侦破案件、搜索定位、历史判断等领域，具有较强的实用性.

1 数据采集

当在地面垂直竖立一直杆，在太阳的照射下直杆就会在地面产生影子.影子的长短和方向会随地点和时间的不同而变化.以2015年全国大学生数学建模A题为例，提供了一根直杆在太阳下的影子变化的视频［5］.该视频的拍摄时间是2015年7月13日8：54 - 9：34，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米，要确定的是视频拍摄地点.

通过用MATLAB软件以2分钟的时间间隔截取视频图像的方法获取图片上的直杆底端、顶点以及太阳影子的顶点坐标，以影子的顶点坐标减去直杆的底端坐标得到以直杆底端为原点、水平地面为xy平面作为坐标系的影子顶点坐标.再经由换算得出实际上与图片上直杆的比例尺，从而获得实际上影子的顶点坐标如表1所示.

表1 视频中直杆的影子顶点坐标

2 确定拍摄地点

想要确定拍摄地的地理位置，需确定该地点的经纬度，根据经纬度定地点的原则，将经纬度拆分来进行计算.

2.1 经度的求解

根据地理知识，若两个地方时间相差4分钟，那么它们经度相差1°.这里采用了文献［6］计算经度的公式：

其中，λ为拍摄地的经度，0λ为参照地的经度，tΔ为拍摄地和参照地之间的时间差（分钟），如果拍摄地的时间比参照地的时间超前，则加；否则减.为了使用公式（1）来计算拍摄地的经度，需先确定公式中的tΔ，这里tΔ通常采用拍摄地和参照地（一般取北京，东经120度）在正午时刻的时差，因此首先要求出拍摄地正午时刻，即影子最短的时刻.

由于表1的数据只是拍摄地上午某个时段的影子顶点坐标，因此可利用已给出的数据来拟合得出一天的影子长度变化曲线.根据地理常识可知［7］，地球上（除去极夜和极昼）任何地方一天的影子长度都呈一条开口向上的抛物线，故这里我们采用二次多项式进行拟合.

首先，根据表1中的影子顶点坐标数据，利用勾股定理，采用EXCEL软件，求出影子长度，计算结果见表2.

表2 视频中直杆的影子长度

对其进行拟合得出二次函数关系式为d=0.3608t2-8.6841t+52.8289.

图1是影子长度随时刻变化的曲线，图1可得出，当地时间t=10.283=10：18时，影子长度最小.而当北京时间12：00时，东经120度地区影子长度最小.从而可以得到拍摄地和参照地的时间差102=Δt分钟.再由公式（1）求出拍摄地的经度为：

图1 影子长度随时刻变化的曲线

2.2 纬度的求解

Analemmatic日晷［4］是一个椭圆，它是利用不同纬度值产生的不同扁平率来刻画椭圆轨迹.我们取垂直于地面的直杆的底端为坐标原点O，过O的南北线为y轴，过O的东西线为x轴，建立平面直角坐标系.采用文献［8］的地平式直杆投影公式推导得出

其中x、y为直杆影子的顶点坐标，φ为测量地的纬度，ω为太阳时角，δ为太阳赤纬角.

由于赤纬值的日变化很小，可忽略不计，因此任何一天的太阳赤纬角δ可用下式计算［6］

其中N表示日数，自每年1月1日开始计算.

太阳时角ω与一天中的某个时刻存在如下的计算公式［9］

其中t为时刻.

为了利用公式（2）计算纬度φ，需要先求出太阳赤纬角δ及不同时刻对应的太阳时角ω.将表1中所给出的20个不同时刻带入到公式（4），得到对应的20个太阳时角ωi.由于视频给出了拍摄时间是2015年7月13日，即N=195，由公式（3）计算得出δ=12.71°.

将表1中所给出的20个不同时刻的影子顶点坐标数据（xi，yi）和对应的太阳时角ωi代入公式（2），由此得到一个将y看作为函数，ω看作自变量，φ看作参数.这样就需要反演模型中的x参数φ.利用这20组数据进行非线性最小二乘拟合，采用MATLAB软件来做参数估计，得出纬度φ=42.78°.

综上可得，直杆可能的地点为（145.5°E，42.78°N），查找百度地图，可以发现这个经纬度对应的位置为日本北海道.

3 确定拍摄地点与日期

如果视频拍摄日期未知，我们可以采用类似上文的方法来进一步确定出拍摄地点与日期.由于测量地的经度求解与日期无关，仍可采用上文（1）式来计算经度，在此不再赘述.由于拍摄日期未知，纬度计算模型（2）式中的纬度φ，太阳赤纬角δ是要反演的两个未知参数，如果也用非线性最小二乘拟合，虽然可以得到答案，但最优解非常依赖于初始值的选取.所以这里将φ、δ看成两个未知数，把表1的20组数据代入（2）式，就得到关于φ、δ的非线性超定方程，而非线性方程的解可能会不收敛，故将（2）式转为线性超定方程［10］.

这样纬度φ，赤纬δ就可求得，再根据（3）式即可估计出日期.

将表1的不同时刻下的影子顶点坐标代入（2）式，得到超定方程

按照（5）式，求出X=ATAATb=（0.2852，0.0891）.即，sinφ=0.2852，tanδcosφ=0.0891.

从而φ=41.13°，tanδ=0.0929.

再根据（3）式，求出N=197，故拍摄日期为2015年7月15日.将这个结果与视频的真实日期2015年7月13日比较，只相差两天，还是比较准确的.并且将超定方程算出的纬度值φ=41.13°与前面最小二乘拟合算出的纬度值φ=42.78°相比，二者非常接近，只相差约1度.虽然视频没提供真实的地点，但就这两种方法所求的结果来看，我们可以估计出该视频的拍摄地纬度大概在42度，经度在145度.如果是作为警察办案的视频证据，那我们的模型就将搜索范围从全球缩小到一个极小的范围，对侦破案件起到了很大的促进作用.

4 结 语

本文围绕太阳影子定位技术展开讨论，通过分析视频中物体的影子变化，应用相关的地理知识，建立数学模型，随着反演参数的个数逐渐增多，通过求解超定方程，来确定视频拍摄的地点和日期.该方法相对简单，易于操作，在实践中具有广泛应用.由于大气折射会导致太阳高度角产生一定偏转，故考虑大气折射的模型效果会更佳.

［1］ 林根石. 利用太阳视坐标的计算进行物高测量与定位［J］. 南京林业大学学报（自然科学版）， 1991， 15（3）： 89-93.

［2］ 王健林. 太阳高度的变化规律［J］. 地理教育， 2005（4）： 15-16.

［3］ 张福， 张丽娟， 闾国年. 简化太阳位置算法的对比模型及应用研究［J］. 太阳能学报， 2012， 33（2）： 327-333.

［4］ 吴振华. 日暑设计原理［M］. 上海： 上海交通大学出版社， 2001： 98-99.

［5］ 中国工业与应用数学学会. 2015年全国大学生数学建模竞赛试题［EB/OL］.［2015-12-23］. http：//www.mcm.edu. cn/html_cn/node/d5ae730f57dea3208cae73f7635aeee8.html.2015-9-11.

［6］ 金扬， 张晓冉， 刘逸等. 南京经纬度的验证性测量［J］. 地理教学， 2013（14）： 55-58.

［7］ 郑鹏飞， 林大钧， 刘小羊， 等. 基于影子轨迹线反求采光效果的技术研究［J］. 华东理工大学学报（自然科学版），2010， 36（3）： 458-463.

［8］ 武琳. 基于太阳阴影轨迹的经纬度估计技术研究［D］. 天津： 天津大学， 2010： 28-29.

［9］ 谈小生， 葛成辉. 太阳角的计算方法及其在遥感中的应用［J］. 国土资源遥感， 1995（2）： 48-56.

［10］ 白中治. 大型超定非线性方程组的并行投影迭代算法［J］. 工程数学学报， 1997， 14（1）： 1-7.

The Study of Video Positioning Based on Sun's Shadow

SUN Weiwei， WANG Xianchao， NIU Xiangyang， ZHOU Xia
（School of Mathematics and Statistics， Fuyang Normal College， Fuyang， China 236041）

The research of the location and time of video based on the sun shadow is conducted in this paper. The method is integrated the relevant geographic knowledge with the over-determined equation as well as Matlab soft via the nonlinear fitting technique. The method is relatively simple and easy to operate with extensive practical application value.

Sun Shadow Positioning； Video Analysis； Latitude and Longitude； Nonlinear Fitting；Over-determined Equation

O29；P128.1

A

1674-3563（2016）03-0021-05

10.3875/j.issn.1674-3563.2016.03.004 本文的PDF文件可以从xuebao.wzu.edu.cn获得

（编辑：封毅）

2016-03-09

安徽高校省级自然科学研究项目（2015KJ003）；安徽省自然科学基金（1508085MA12）；安徽省质量工程项目（2015jxtd021；2015jxtd123）

孙娓娓（1981- ），女，安徽淮南人，硕士，讲师，研究方向：智能计算，数据挖掘