Bloch型空间上广义加权复合算子的本性范数*

徐辉明， 张四法

(浙江师范大学 数理与信息工程学院,浙江 金华 321004)



Bloch型空间上广义加权复合算子的本性范数*

徐辉明， 张四法

(浙江师范大学 数理与信息工程学院,浙江 金华 321004)

研究了单位圆盘上Bloch型空间之间广义加权复合算子,选择适当的测试函数,通过积分算子Iμ和Jμ,给出了单位圆盘上Bloch型空间之间广义加权复合算子μCφDm本性范数的一个估计,并得到了μCφDm是紧算子的充要条件.

Bloch型空间;广义加权复合算子;紧性;本性范数

0 引 言

设D⊂C是单位圆盘,用H(D),H(D,D)分别表示D上的全纯函数与全纯自映射全体.对∀α>0,D上α-Bloch空间(也称为Bloch型空间)用Bα表示,定义为

在‖5‖B α范数下,Bα成为Banach空间.当α=1时,B1=B是经典的Bloch空间.有关Bloch型空间上复合算子的性质可以参考文献[1-2].

设φ∈H(D,D),μ∈H(D),定义H(D)上的积分算子为

定义H(D)上的加权复合算子为

当μ=1时,Cφ即为复合算子.对m∈N,定义微分算子Dm为

当m=0时,D0f(z)=f(z).

定义H(D)上的广义加权复合算子为

当μ=1时,CφDm即为广义复合算子.有关Bloch型空间上广义复合算子的性质可以参考文献[3-4].

设T是一个有界的线性算子,算子T的本性范数记为‖T‖e,是指T到紧算子的距离,即

(1)

易知‖T‖e=0当且仅当T是紧算子.许多学者[4-8]研究了Bloch型空间上复合算子、加权复合算子和广义复合算子的本性范数.

文献[4]讨论了Bloch型空间上广义复合算子CφDm的有界性与本性范数,得到了以下2个结果:

定理1 设0<α,β<∞,m为非负整数,φ∈H(D,D),则CφDm:Bα→Bβ是有界的当且仅当

定理2 设0<α,β<∞,m为非负整数,φ∈H(D,D),CφDm:Bα→Bβ是有界的,则CφDm:Bα→Bβ的本性范数可表示为

同时文献[4]还给出了CφDm:Bα→Bβ是紧的充要条件.

记号A≈B,AB,AB分别表示存在不同的正常数C,使得≤A≤CB,A≤CB,CB≤A.此外,文献[9]讨论了Bloch型空间上广义加权复合算子μCφDm的有界性与紧性,给出了相应的等价条件.

本文利用积分算子Iμ和Jμ,给出了广义加权复合算子μCφDm本性范数的一个估计.

1 主要结果和证明

要估计μCφDm:Bα→Bβ的本性范数,首先考虑其有界性,需要以下引理:

引理1 设α>0,m∈N+,n≥m,定义函数

则Hn,α(x)具有以下性质：

(2)

2)当n≥m+1时,Hn,α(x)在[0,rn]上单调递增,在[rn,1]上单调递减.

(3)

证明 由简单计算可得,故略.

2)定义集合Tn={z∈D:sn≤|φ(z)|≤sn+1},其中,

引理2[10]设α>0,f∈H(D),m∈N+,则

(4)

且 ‖f‖*≈‖f‖B α.

对于广义加权复合算子,有以下定理：

定理3 设0<α,β<∞,m∈N+,φ∈H(D,D),μ∈H(D),μCφDm:Bα→Bβ是有界的,则

(5)

证明 假设μCφDm:Bα→Bβ是有界的,首先证明

(6)

易知fw∈Bα,且‖fw‖B α≤C.经简单计算可得

即J1<∞.

另一方面,由μCφDm的有界性及zm,zm+1∈Bα,易得μ∈Bβ,μφ∈Bβ,因而

(7)

所以

故式(6)成立.

(8)

(9)

因为

(10)

注2 可以证明,式(5)也是μCφDm:Bα→Bβ有界的充分条件.

引理3[5]设0<α<1,则

引理4[6-7]设α≥1,则

引理5[2]设0<α,β<∞,m∈N+,φ∈H(D,D),μ∈H(D),则μCφDm:Bα→Bβ是紧的当且仅当:

1)μCφDm:Bα→Bβ是有界的;

2)对于Bα中任意有界序列{fk},若{fk}在D上内闭一致收敛于0,则‖μCφDmfk‖B β→0(k→∞).

定理4 设0<α,β<∞,m∈N,φ∈H(D,D),μ∈H(D),μCφDm:Bα→Bβ是有界的,则μCφDm的本性范数可表示为

(11)

(12)

(13)

经过简单计算可得

(14)

f(m)k(φ(ak))=0,f(m+1)k(φ(ak))=(φ(ak))m+1(1-|φ(ak)|2)α+m.

(15)

(16)

(17)

(18)

由式(16)～式(18)得,‖μCφDm‖e‖Iμ(φn-m)‖B β.用

代替fk(z),类似可证

从而‖μCφDm‖e‖‖Jμ(φn-m)‖B β.

(19)

设{Ln}为引理3和引理4中的算子序列.因为Ln是Bα上的紧算子,所以μCφDmLn:Bα→Bβ也是紧算子.因此,

(20)

令

(21)

由引理1知,存在C>0和N1>max{l+1,m+1},当i≥N1及z∈Ti时,有

(22)

(23)

(24)

由引理3、引理4及式(24)可以得到

(25)

(26)

因此,由式(23)、式(25)及式(26)知

(27)

令

(28)

再由引理1知,存在C>0和N2>max{j+1,m+1},当i≥N2及z∈Di时,有

(29)

(30)

(31)

由引理3、引理4及式(31)可得

(32)

(33)

又由式(28)、式(32)及式(33)得

(34)

利用Cauchy积分公式类似可以得到

(35)

最后,由式(20)、式(27)、式(34)和式(35)得

定理4证毕.

推论1 设0<α,β<∞,m∈N+,φ∈H(D,D),μ∈H(D),μCφDm:Bα→Bβ是有界的,则μCφDm是紧算子的充要条件为

2 结 语

本性范数是线性算子的一个重要性质,它度量了一个有界线性算子与紧算子类的距离,从而可解答有界算子何时为紧算子的问题.本文在单位圆盘上Bloch型空间之间广义加权复合算子有界的条件下,利用积分算子Iμ和Jμ,通过估计其本性范数的上界和下界,得到本性范数的一种刻画,从而也得到了紧性的一个充要条件.

[1]Zhu Kehe.Operator theory in function spaces[M].New York:Dekker,1990.

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[5]MacCluer B D,Zhao R.Essential norms of weighted composition operators between Bloch-type spaces[J].Rocky Mountain J Math,2003,33(4):1437-1458.

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[7]Hyvärinen O,Lindström M.Estimates of essential norms of weighted composition operators between Bloch type spaces[J].J Math Anal Appl,2012,393(1):38-44.

[8]Manhas J S,Zhao R.New estimates of essential norms of weighted composition operators between Bloch type spaces[J].J Math Anal Appl,2012,389(1):32-47 .

[9]Zhu Xiangling.Generalized weighted composition operators on Bloch-type spaces[J].J Ineq Appl,2015,2015(1):1-9.

[10]Zhu K.Bloch type spaces of analytic functions[J].Rocky Mountain J Math,1993,23(3):1143-1177.

(责任编辑 陶立方)

The essential norm of the generalized weighted composition operators between Bloch-type spaces

XU Huiming, ZHANG Sifa

(CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,Jinhua321004,China)

It was investigated the generalized weighted composition operatorsμCφDmbetween Bloch-type spaces in the unit disk by selecting an appropriate test function, an estimate of the essential norm for the generalized weighted composition operatorsμCφDmacting on Bloch-type spaces was presented in terms of the integral operatorsIμandJμ, from which the sufficient and necessary condition of compactness of the operatorμCφDmfollowed immediately.

Bloch-type spaces; generalized weighted composition operators; compactness; essential norm

10.16218/j.issn.1001-5051.2016.04.002

2015-09-13；

2016-04-03

国家自然科学基金资助项目(11271332；11271124)；浙江省自然科学基金资助项目(LY14A010013；LY16A010004)

徐辉明(1963-),男,江西丰城人,教授.研究方向:多复变数函数空间及算子理论.

O174.56;O177.2

A

1001-5051(2016)04-0367-08