*-素环上的广义导子

刘双双

(吉林师范大学 研究生院,吉林 长春 130103)



*-素环上的广义导子

刘双双

(吉林师范大学 研究生院,吉林 长春 130103)

R是2-扭自由*-素环,L是R上的平方封闭的非零*-Lie理想.f,g是R上的广义导子,d,h分别为f,g的非零伴随导子,有(i)f(u)v=ug(v),(ii)f(uv)-uv∈Z,(iii)f(u)f(v)-uv∈Z,u,v∈L,若d,h≠0,则U⊆Z.

*-素环;*-Lie理想;广义导子

在过去的30年,素环R的交换性与环的特殊映射之间的关系被广泛关注.近期,许多素环的著名结果由Oukhtite[1-4]等推广到*-素环上.2005年,Ashraf[5]等证明了许多素环的交换性定理.最近,AL-Omary[6]等证明了带有广义导子的*-素环的交换性.

1 主要结果

引理1 ([6,引理4]) R是2-扭自由*-素环,L是R的非零*-Lie理想.若aLb=a*Lb=0,则a=0或b=0或L⊆Z.

引理2([7,引理2.7]) R是2-扭自由*-素环,L是R的非零*-Lie理想.若a∈R,使得[a,L]⊆Z,则a∈Z或L⊆Z.

引理3([8,引理2.7]) R是2-扭自由*-素环,L是R的非零*-Lie理想.若a∈R,使得[L,L]⊆Z,则L⊆Z.

引理4([8,引理2.7]) R是2-扭自由*-素环,L是R的非零*-Lie理想.d是R上的导子,且可与*交换.若ad(L)=0,则a=0或L⊆Z.

引理5([9，引理2.2]) R是2-扭自由*-素环,L是R的非零*-Lie理想.若d是R上的导子,与*可交换,且d(U)=0,则d=0或U⊆Z.

引理6 R是2-扭自由*-素环,若L是R的非零*-Lie理想,则CR(L)=Z

引理7 R是2-扭自由*-素环,若L是R的非零*-Lie理想,若aL⊆Z(La⊆Z),a∈R,则a∈Z

定理1 R是2-扭自由*-素环,L是R的非零*-Lie理想.R的非零广义导子(F,d),(G,h)使得F(u)v=uG(v),u,v∈L,若d,h≠0,则L⊆Z.

证明F(u)v=uG(v)

(1)

在(1)中,用[x,u]u替换u,x∈R,得到

F([x,u])uv+[x,u]d(u)v=[x,u]uG(v)

[x,u]G(u)v+[x,u]d(u)v=[x,u]uG(v)

即[x,u](G(u)v+d(u)v-uG(v))=0,u,v∈L,x∈R

(2)

在(2)式中,用xy替换x,得到[x,u]R(G(u)v+d(u)v-uG(v))=0 u,v∈L,x∈R

由于R是*-素环,所以有[x,u]*R(G(u)v+d(u)v-uG(v))=0 u,v∈L,x∈R

由引理1知[x,u]=0或G(u)v+d(u)v-uG(v)=0

即u∈Z或G(u)v+d(u)v-uG(v)=0 u,v∈L,x∈R

在G(u)v+d(u)v-uG(v)=0中,用2vω替换v得到uvh(ω)=0,u,v,ω∈L

即uUh(U)=0,由引理知u=0或L⊆Z.

定理2 R是2-扭自由*-素环,L是R的非零*-Lie理想.R的非零广义导子(F,d),(G,h)使F(uv)-uv∈Z,u,v∈L.若d≠0,L⊆Z

证明 若F=0,则uv∈Z,u,v∈L.特别的,uU∈Z,u∈L,因此由引理知L⊆Z

若F≠0,由假设得到F(u)v+ud(v)-uv∈Z,u,v∈L

(3)

在(3)式中用2uω替换u得到2(F(uω)-uω)v+uωd(v))∈Z,u,v,ω∈L

上式与v∈L做交换子得到uω[d(v),v]+u[ω,v]d(v)+[u,v]ωd(v)=0,u,v,ω∈L

(4)

在(4)中用2tu替换u,结合等式得到[t,v]uωd(v)=0,u,v,ω,t∈L

即[t,v]Ld(v)=0,v,t∈L

由于L是*-Lie理想,所以有[t,v]*Ld(v)=0,v,t∈L这样就可以得到[t,v]=0或d(v)=0

由Braur trick知L=A或L=B.

若L=A,则L⊆Z.

若L=B,由引理5知L⊆Z

定理2 R是2-扭自由*-素环,L是R的非零*-Lie理想.R的非零广义导子(F,d),(G,h)

F(uv)-vu∈Z,u,v∈L.若d≠0,L⊆Z.

证明 若F=0,则vu∈Z,u,v∈L.特别的,uU∈Z,u∈L,因此由引理知L⊆Z.

若F≠0,由假设F(uv)-vu∈Z,u,v∈L

(5)

在(5)中,用2ωv替换v得到F(2uωv)-2ωvu∈Z,u,v,ω∈L

将上式与v作交换子得到[F(uω)v+uωd(v)-ωvu,v]=0

也就是[F(uω)v-ωuv+ωuv+uωd(v)-ωvu,v]=0,u,v,ω∈L

结合(5)可以得到[ωuv+uωd(v)-ωvu,v]=0

[ω,v][u,v]+ω[[u,v],v]+uω[d(v),v]+[u,v]ωd(v)+u[ω,v]d(v)=0

(6)

在(6)中,用2uω替换ω,得到[u,v]ω[u,v]+[u,v]uωd(v)=0,u,v,ω∈L

(7)

对(7)做线性变换得到[u,v]uωd(v)=0,u,v,ω∈L,即[u,v]Ld(v)=0.

L是非零*-Lie理想,则有[u,v]*Ld(v)=0,这样就可以得到[u,v]=0或d(v)=0

由Braur trick知L=A或L=B.

若L=A,则L⊆Z.

若L=B,由引理5知L⊆Z

定理3 R是2-扭自由*-素环,L是R的非零*-Lie理想.R的非零广义导子(F,d),(G,h)

F(u)F(v)-uv∈Z,u,v∈L.若d≠0,L⊆Z.

证明：若F=0,则vu∈Z,u,v∈L.特别的,uU∈Z,u∈L,因此由引理知L⊆Z.

若F≠0,由F(u)F(v)-uv∈Z,u,v∈L

在上式中,用2vω替换v得到2(F(u)F(v)-uv)ω+F(u)vd(ω))∈Z,u,v,ω∈L

(8)

(8)式与ω∈L做交换子得到[F(u)vd(ω),ω]=0,u,v,ω∈L

(9)

在(9)式用2uω替换ω得到[u,v]ω[u,v]+[u,v]uωd(v)=0,u,v,ω∈L

(10)

对(10)做线性变换得到[u,v]uωd(v)=0,u,v,ω∈L

L是非零*-Lie理想,则有[u,v]*Ld(v)=0,这样就可以得到[u,v]=0或d(v)=0

由Braur trick知L=A或L=B.

若L=A,则L⊆Z.

若L=B,由引理知L⊆Z

[1]Oukhtite L,Salhi S.On commutativity of σ-prime ring[J].Glas.Mat.,III.Ser.,2006,41(1):57-64.

[2]Oukhtite L,Salhi S.Lie ideals and derivations of σ-prime ring[J].Int.J.Algebra,2007,1(1-4):25-30.

[3]Oukhtite L,Salhi S.On generalizde derivations of σ-prime ring[J].Afr,Diaspora J.Math.,2007,5(1):21-25.

[4]Oukhtite L,Salhi S.On generalizer derivations of σ-prime ring[J].Afr.Diaspora J.Math.,2006,5(1):19-23.

[5]Ashraf M,Ali A,Rani R.On generalizer derivations of prime ring[J].Southeast Asian Bull.MaTh.,2005,29(4):669-675.

[6]Oukhtite L,Salhi S.Centralizing automorphisms and Jordan left derivations on *-prime ring[J].Adv,Algebra,2008,1(1):19-26.

[7]Ashraf M,Khan A.Commutativity of *-prime ring with generalized[J].Rend.Semin.Mat.Univ.Padova,2011,125:71-79.

[8]Nadeem ur Rehman,AL-Omary RM.On commutativity of 2-torsion free *-prime rings with generalized derivations[J].Mathematica,2001,53(2):171-180.

[9]Oukhtite L,Salhi S,Taoufiq L.σ-Lie ideals with derivations as homomorphisms and anti-h-Omomorphisns[J].Int Journal of Algebra,2007,1(5):235-239.

[责任编辑：王军]

2016-01-09

刘双双(1990-)，女，满族，吉林师范大学硕士研究生，主要从事环论的研究.

O153.3

A

1672-3600(2016)12-0022-03