两道高考椭圆试题的和谐统一

福建省龙岩第一中学 (364000)

胡寅年



两道高考椭圆试题的和谐统一

福建省龙岩第一中学 (364000)

胡寅年

图1

(Ⅰ)当直线PA平分线段MN时，求k的值；

(Ⅱ)当k=2时，求点P到直线AB的距离d；

(Ⅲ)对任意k>0，求证：PA⊥PB．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)过原点的直线与椭圆C交于A,B两点(A,B不是椭圆C的顶点)．点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M,N两点．

(ⅰ)设直线BD，AM的斜率分别为k1,k2，证明存在常数λ使得k1=λk2，并求出λ的值；

(ⅱ)求ΔOMN面积的最大值．

咋一看，上述两道高考题似乎没有多大的关联性，然而画出题2的图形后，感觉它们的题面惊人的相似，深入探究后我们发现，题2第(Ⅱ)小题的第(ⅰ)问似在题1第(Ⅲ)小题基础上(事隔三年之后)提出的一个崭新问题．

以下，我们将上述两道高考椭圆试题引申为更为一般的情形．

图2 图3