江苏省苏州第十中学 (215006)
徐 青
涉及圆锥曲线焦点三角形旁(内)切圆的一个性质及引申
江苏省苏州第十中学 (215006)
徐 青
有关圆锥曲线焦点三角形旁(内)切圆的性质很多,笔者借助超级几何画板,得到了一个新性质,并对其作了探究引申,现介绍如下,供同行参考.
图1
(1)A,P,D三点共线;
(2)延长PF2交椭圆于另一点Q,设直线APD与椭圆的右准线l交于点R,则Q,B,R三点共线.
由焦半径公式,m+n=2a,m-n=2ex0,得
在证明过程中得xE=a,说明圆E与x轴切于椭圆顶点,这是我们非常熟悉的结论.
对性质1(1)逆向探究易得:
证明留给读者.
在图1中,通过几何画板作图发现,当准线上的点R移动时,若R、P、A三点不共线,则R、Q、B三点也不共线,但仍有如下性质:
图2
(1)A,D,P三点共线;
(2)延长PF2交双曲线于点Q,设直线ADP与双曲线的右准线l交于点R,则Q,B,R三点共线.
上述性质的证明与椭圆性质证明完全一样,这里从略.
如果把无穷远点看成是抛物线的另一焦点,上述性质还可以类比到抛物线中,限于篇幅,不再赘述.