新Lorenz曲线模型及应用

杜文超，刘亚相

（西北农林科技大学 理学院，陕西 杨凌 712100）

新Lorenz曲线模型及应用

杜文超，刘亚相

（西北农林科技大学 理学院，陕西 杨凌 712100）

Lorenz曲线作为分析国家收入分配状况的重要工具，近年来得到广大学者的关注和广泛应用。文章提出了新的Lorenz曲线模型，通过Monte Carlo数值模拟及实际应用分析，并与十个经典的Lorenz曲线模型作对比，来说明新模型的优越性和合理性。

Lorenz曲线；新模型；数值模拟；实际应用

0 引言

在经济学研究领域，Lorenz曲线是分析国民收入和财富分配状况的重要工具，并受到广泛应用。Lorenz曲线首先由Max Otto Lorenz提出，随后受到许多学者的关注。目前，Lorenz曲线模型的建立主要有3种方法：几何算法、曲线拟合法和分布函数法。本文讨论的内容属于曲线拟合法，基于前人的研究，根据Lorenz曲线所具有的性质，构造了新的Lorenz曲线模型。

1 模型的建立

1.1 orenz曲线的定义

Lorenz曲线L(p)表示的是收入小于或等于x的人口所拥有的收入占总收入的比例，即:

其中，μ是平均收入，x表示收入，f(x)是收入分配的密度函数。记收入分布函数为F(x)，p=F(x)表示收入小于或等于x的人口比例，F-1(p)表示F(x)的反函数，那么Lorenz曲线还可以表示为:

1.2 Lorenz曲线的性质

由定义可知Lorenz曲线L(p)具有如下性质，

性质1也是使函数L() p成为Lorenz曲线的充分必要条件。1999年Jose-Maria Sarabia等人研究了Lorenz曲线的衍生模型，提出如下性质:

性 质2：若 L(p )是 一 个Lorenz曲 线 ，考 虑Lα(p)=pαL(p)，α≥0，

当α≥1时，Lα(p)是一个Lorenz曲线；

当0＜α≤1，且L‴(p)≥0时，Lα(p)是一个Lorenz曲线。

2011年，王祖祥等人在Sarabia等人研究的基础上，进一步分析了Lorenz曲线，扩充了Lorenz曲线的性质，提出性质3。

性质3：假设 f(p)和g(p)都是Lorenz曲线。那么L(p)=f(p)αg(p)υ也是Lorenz曲线，只要下面任一条件成立：

①α≥1，υ≥1；

[ ]

0，1上递增；

1.3 新模型的构建

Kakwani和Podder（1923）提出了较早的Lorenz曲线模型：

随后，Rasche et al（1980）、Gupta（1984）、Chotikapanich（1993）、Jose-Maria Sarabia和Enrique Castillo（1997）相继提出如下Lorenz曲线的经典模型：

2009年，Wang等人根据Schader和Schmid于1994年提出的模型

在模型（7）的基础上用e-γp替换了ηpγ，提出了如下模型：

并指出该模型比基于Pareto分布而得到的Lorenz曲线基础模型：

具有更高的拟合精度。此外，国内外学者还提出了许多衍生的Lorenz曲线模型，例如：

本文利用Lorenz曲线的性质，基于前人提出的基础模型，构造了如下四个新模型：

令f(p)=1-e-ap(1 -p)b，g(p)=1-(1-p)c。则当0＜b≤1，0≤a+b≤时，f(p)为Lorenz曲线模型（8）且f‴(p)≥0；当0＜c≤1时，g(p)为Lorenz曲线基础模型（10）；当0＜c≤1，d≥1时，g(p)d为Lorenz曲线模型（5）。由 Lorenz曲线的性质 1可知，当 0＜b≤1，0≤a+b≤， 0＜c≤1 时 ， 均 有f′(p)≥0，f″(p)≥0，g′(p)≥0，g″(p)≥0，进而当m∈[0 ，1]时有 L11′(p)≥0，L11′(p)≥0，p∈[0 ，1] 。且 L11(p)满足L11(0)=0，L11(1)=1。故L11(p)为Lorenz曲线模型。同理可知当0＜b≤1，0≤a+b≤，0＜c≤1，d≥1，m∈[0 ，1]时，L12(p)也为Lorenz曲线模型。再根据性质3可得，当0＜b≤1，0≤a+b≤，0＜c≤1，d≥1时，L13(p)为Lorenz曲线模型；当0＜b≤1，0≤a+b≤，0＜c≤1，d≥1时，L(p)也为Lorenz曲线模型。14

2 模型数值模拟比较

基于Monte Carlo数值模型，对本文提出的四个Lorenz曲线新模型与已有的十个经典Lorenz曲线模型的拟合结果进行对比，来表明其拟合效果。

成邦文（2005）指出，社会经济规模指标近似服从对数正态分布。由此，本文假定收入变量X～lnN(μ ，σ)，F(x)为X的分布函数，则Lorenz曲线上任一点所对应的横坐标满足p=F(x)，且Lorenz曲线满足L(p)=Φ(Φ-1(p)-σ)，其中Φ与Φ-1分别表示标准正态分布函数及其逆函数。由Lorenz曲线与收入分布函数之间关系，利用Monte Carlo数值模拟方法，生成服从对数正态分布的随机数，再分别计算收入分布函数值及Lorenz曲线函数值，进而估计Lorenz曲线模型。

本文采用最常用的三个指标来比较拟合效果：均方根误差（RMSE）、平均绝对误差（MAE）以及最大绝对误差（MAS）。为使得模拟结果不失一般性，本文取μ=0，σ=1，模拟100次，结果如图1至图3所示。图1至图3分别给出了模型L1～L14拟合效果指标RMSE、MAE、MAS的箱线图。在图中，箱线图的高低代表了模型拟合误差的大小，箱体触须的长短则代表了模型拟合效果的稳定程度。在图1中，本文提出的模型L14拟合效果最好，其次为L12、L13和L7；在图2中，L14仍表现最佳，其次为L12和L13；在图3中，模型L14要较之其他模型有明显的优势，其次为L12和L13。综合图1至图3，可以看出本文提出的模型L14具有非常好的拟合效果，并且拟合结果稳定；其次，本文提出的模型L12、L13相较于已有模型也具有较好的拟合效果，L11略次之。

图1 均方根误差箱线图

图2 平均绝对误差箱线图

图3 最大绝对误差箱线图

3 模型的实际应用

本文选用2013年第十届华为杯全国研究生数学建模竞赛“中等收入定位与人口度量模型研究”中的数据来检验模型实用性。本文所使用的原始数据见表1至表3所示。其中，竞赛E题表1收入分配分组数据用来比较新模型与已有模型的拟合效果；表2和表3收入分配分组数据则用来检验新模型对Lorenz曲线的描述能力。

表1 收入分配分组数据

表2 收入分配分组数据(地区A，年份之一)

表3 收入分配分组数据(地区A，年份之二)

3.1 拟合效果比较

运用Lorenz曲线模型L1(p)～L14(p)分别对竞赛E题中的表1收入分配分组数据进行拟合，拟合效果如表4所示。从表中可以看出，拟合效果最好的为本文提出的四个模型L11(p)、L12(p)、L13(p)、L14(p)，并且相较于已有模型，具有明显的优越性，其中L14(p)表现最佳，误差最小。

表4 Lorenz曲线模型拟合结果

3.2 新模型实际应用

为更好地说明新模型的优越性和合理性，本文选用L12(p)和L14(p)模型对竞赛E题中表2和表3收入分配分组数据进行拟合，从而检验新模型的实用性及对Lorenz曲线的描述能力。

L12(p)、L14(p)对地区A在年份一和年份二的收入分配分组数据拟合效果如图4和图5所示，其中黑色实线是真实Lorenz曲线，黑色虚线是模型拟合的Lorenz曲线。

图4 地区A在 L12(p)模型下拟合的Lorenz曲线

从图4和图5中可以看出L12(p)与L14(p)模型拟合出的Lorenz曲线几乎与真实Lorenz曲线完全重合。在图4中，新模型L12(p)对年份一和年份二数据的拟合都表现出当p=0.7至p=0.9时误差变大，该模型低估了高分位点的总收入比重，因此由该模型计算的Gini系数将比真实值偏大。在图5中，新模型L14(p)对数据的拟合也出现了低估高分位点总收入比重的情况；在年份一中，当p处于0.8附近时，该情况表现明显；在年份二中，该情况得到明显的改观，拟合曲线几乎完全逼近真实曲线。总体来说，新模型L12(p)和L14(p)均具有很好的拟合效果，都能够几乎准确的表现真实Lorenz曲线，其中L14(p)表现更好，误差更小。

图5 地区A在L14(p)模型下拟合的Lorenz曲线

4 结论

本文利用Lorenz曲线的性质，在前人研究的基础上，提出了四个新Lorenz曲线模型，通过数值模拟和实际应用，新模型较之已有模型，表现出明显的优越性和有效性，新模型能很好的逼近真实Lorenz曲线，更加精确地描述真实Lorenz曲线，反映收入分布状况。新模型对于计算Gini系数以及更深一步的研究，具有很好的利用价值和参考意义。

[1]Ogwang J,Rao U L G.Hybrid Models of the Lorenz Curve[J].Econom⁃ics Letters,2000,(69).

[2]Sarabia J M,Castillo E,Pascual M,et al.Mixture Lorenz Curves[J].Eco⁃nomics Letters,2005,(89).

[3]Wang Z X,Ng Y K,Smyth R.A General Method for Creating Lorenz Curves[J].Review of Income and Wealth,2011,57(3).

[4]Wang Z X,Smyth R.A Hybrid Method for Creating Lorenz Curves[J]. Economics Letters,2015,(129).

[5]许启发.一个新的Lorenz曲线模型[J].数量经济技术经济研究, 2014,(11).

[6]成邦文.基于对数正态分布的洛伦兹曲线与基尼系数[J].数量经济技术经济研究,2005,(2).

[7]杨宝莹.广义Lorenz曲线的非参数统计推断[J].中国科学：数学, 2012,(3).

（责任编辑/浩 天）

F222.3

A

1002-6487（2016）23-0077-03

杜文超（1991—），女，黑龙江伊春人，硕士研究生，研究方向：居民收入分配及消费。

（通讯作者）刘亚相（1962—），男，陕西宝鸡人，博士，教授，研究方向：博弈论、金融数学、经济数学。