交换环上特殊线性李代数的极大子代数

刘洋，刘文德

（哈尔滨师范大学数学系，黑龙江哈尔滨150025）

交换环上特殊线性李代数的极大子代数

刘洋，刘文德

（哈尔滨师范大学数学系，黑龙江哈尔滨150025）

文章利用有单位元且2，3是单位的交换环的极大理想刻画了其上特殊线性李代数包含典范环面的极大子代数.确定了特殊线性李代数极大子代数的个数，并证明了每个极大子代数均可通过置换矩阵共轭于标准的极大子代数.

特殊线性李代数；极大子代数；交换环

1 引言

对代数系统如抽象群，李群和李（超）代数等的极大子系统进行刻画是深入研究该代数系统的重要手段.1952年，文献［1］给出了某些典型群的极大子群结构，文献［2］对复数域C上有限维单李代数的极大子代数进行了分类.该结果在表示理论中被广泛应用.1997年，文献［3］将文献［1］的结论推广到了复数域C上矩阵李超代数中.2004年，文献［4］中得出了一些单模李代数的极大子代数的结果.2012年，在文献［5］中刻画了交换环上一般线性李代数的包含标准Cartan子代数的极大子代数.2014至2015年，文献［6-7］又确定了Cartan型李超代数的极大Z-阶化子代数.2015年，文献［8］中刻画了超交换环上一般线性李超代数的极大阶化子代数.同年，文献［9］刻画了奇Cartan型模李超代数的极大阶化子代数.

本文约定R是有单位元且2，3是单位的交换（结合）环.令Mm×n（R）为R上m×n阶矩阵构成的集合，记Mn×n（R）为Mn（R）.令sln（R）为Mn（R）中所有迹为零的矩阵构成的集合，即sln（R）=｛A∈Mn（R）|trA=0｝.显然它是R-模.可以验证sln（R）关于换位子运算［x，y］=xy-yx作成R-李代数，称为特殊线性李代数.令eij为第（i，j）位置元素是1，其余位置元素为0的n阶R-矩阵.由eijekl=δjkeil，可知［eij，ekl］=δjkeil-δliekj.令tn（R）为sln（R）中全体对角阵关于换位子运算构成的Abel李子代数，称之为sln（R）的典范环面.

2 极大子代数的构作

3 主要结果

参考文献

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［9］Liu W D，Wang Q Maximal subalgebras for modular graded Lie superalgebras of odd Cartan type［J］. Transform.Groups，2015，20：1075-1106.

Maximal subalgebras of the special linear Lie algebras over commutative ring

Liu Yang，Liu Wende
（Department of Mathematics，Harbin Normal University，Heilongjiang 150025，China）

In this paper，we determine all maximal subalgebras of the special linear Lie algebra containing the canonical torus using maximal ideas over a unital commutative ring with 2，3 be the unit.We also determine the number of maximal subslgebras and prove that each maximal subslgebra is conjugate under a permutation matrix to a standard one.

special linear Lie algebras，maximal subalgebras，commutative ring

O152.5

A

1008-5513（2016）02-0141-08

10.3969/j.issn.1008-5513.2016.02.005

2015-12-01.

国家自然科学基金（11171055，11471090，11501151）；黑龙江省自然科学基金（A2015003）；哈尔滨师范大学研究生创新基金（HSDSSCX2015-29）.

刘洋（1992-），硕士生，研究方向：李超代数.

刘文德（1965-），博士，教授研究方向：李超代数.

2010 MSC:17B05