一类三阶非线性色散波方程Cauchy问题解的解析性

郑晓翠，高晓红

（1.西北大学数学学院，陕西西安710127；2.西北大学非线性科学研究中心，陕西西安710069）

一类三阶非线性色散波方程Cauchy问题解的解析性

郑晓翠1，高晓红2

（1.西北大学数学学院，陕西西安710127；2.西北大学非线性科学研究中心，陕西西安710069）

利用抽象的Cauchy-Kowalevski定理，证明了一类三阶非线性色散方程Cauchy问题解的解析性，即如果该Cauchy问题初值是解析的，则其解关于空间变量是全局解析的，关于时间变量是局部解析的.

非线性色散波方程；Cauchy-Kowalevski定理；解析性

1 引言

研究了一类三阶非线性色散方程，方程形式如下：

这里g［u］=κu+αu2+βu3，其中α，β，κ，θ，λ均是常参数.

方程（1）包含许多有意义的物理模型，其可以描述连续介质.例如：当

且θ为任意实参数时，方程（1）就可以作为一个新的模型来描述圆柱形可压缩超弹性杆［1-2］.其中，各种可压缩材料的物理参数θ的取值范围是从-29.4760到3.4174.此外，当参数满足某些条件时，方程（1）可以约化成一些浅水波方程.文献［3］中讨论了在具体参数条件下，方程（1）的对称性.文献［4］中又给出了该模型是完全可积的.

在此研究基础上，将考虑方程（1）的Cauchy问题：解的解析性.

本文的主要方法是在一个合适度量的Banach空间中利用抽象的Cauchy-Kowalevski定理来证明.这个方法是由文献［5］引入的，之后在文献［6-7］中得到更一般的结论.

2 预备知识

在这一节，将引入在证明过程中所需要的一些基本知识和引理.

3 主要结果及其证明

首先给出结论.

参考文献

［1］Dai H H.Model equations for nonlinear dispersive waves in a compressible Mooney-Rivlin rod［J］.Acta Mech.，1998，127：193-207.

［2］Dai H H，Huo Y.Solitary shock waves and other travelling waves in a general compressible hyperelastic rod［J］.Proc.R.Soc.，2000，456：331-363.

［3］Clarkson P A，Mansfield E L，Priestley T J.Symmetries of a class of nonlinear third order partial differential equations［J］.Math.Comput.，1997，25：195-212.

［4］Ivanov R.On the integrability of a class of nonlinear dispersive wave equation［J］.J.Nonlinear Math.Phys.，2005，12（4）：462-468.

［5］Ovsiannikov L V.A nonlinear cauchy problem in a scale of Banach spaces［J］.Dokl.Akad.Nauk.SSSR.，1971，200：789-792.

［6］Himonas A A，Misiolek G.Analyticity of the Cauchy problem for an integrable evolution equation［J］.Math. Ann.，2003，327：575-584.

［7］Yan K，Yin Z Z.Analytic solutions of the Cauchy problem for two-component shallow water systems［J］. Math.Z.，2011，269：1113-1127.

［8］Baouendi S，Goulaouic C.Remarks on the abstract form of nonlinear Cauchy-Kowalevski theorems［J］. Comm.Partial.Diff.Eqs.，1977，2：1151-1162.

Analyticity of the Cauchy problem for a class of third-order dispersive wave equations

Zheng Xiaocui1，Gao Xiaohong2
（1.College of Mathematics，Northwest University，Xi′an710127，China 2.Center for Nonlinear Studies，Northwest University，Xi′an 710069，China）

Using the abstract Cauchy-Kowalevski theorem，the analytic solutions of the Cauchy problems for a class of third-order nonlinear dispersive wave equations are discussed.It is proved that if the initial values of this Cauchy problems are analytic，then their solutions are analytic in both variables，globally in space and locally in time.

nonlinear dispersive wave equations，Cauchy-Kowalevski theorem，analyticity

O175.29

A

1008-5513（2016）02-0190-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2016.02.010

2015-09-28.

国家自然科学基金面上项目（11471259）；陕西省自然科学基础研究计划青年项目（2014JQ1002）.

郑晓翠（1988-），硕士生，研究方向：偏微分方程.

2010 MSC:35B30