以形思数，以数想形

陈晓洁

摘 要： “数”与“形”是贯穿小学数学教学始终的基本内容，也是小学阶段重要的数学基本思想。“形对数进行直观表现，数对形进行量化”，借助数形结合的研究方法，可以让数量关系与图形性质的问题很好地转化，通过几何模型加深学生对数概念的了解，让学生更深刻地领悟数学运算的算理，使解题思路与过程具体化；通过数量化、公式化帮助学生理解图形性质，借助表象发展空间观念，更好地展现知识的建构过程。“授之以鱼，不如授之以渔”，思想培养与灌输、方法掌握与灵活运用，才能使学生受益终身。

关键词： 数学思想方法 数形结合 渗透方法

小学数学教学担负着培养小学生数学素养的特殊任务，思想方法是数学素养的本质要求。数形结合是小学数学教学中最早运用，对学生最直观、最容易接受的一种数学思想方法，即把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而优化解题途径。在小学教学中有效运用数形结合思想方法，有助于学生理解数学实质，提高数学思维水平，为后续学习打好基础。同时帮助学生更好地形成抽象思维，便于他们在现实生活中更好地解决问题。

一、以形思数，在直观中理解“数”

教师通过以形思数突出图的形象思维，紧密结合图形的直观所长变抽象为形象，便于学生理解抽象的概念、数量关系和运算性质，使学生运用已有知识经验，用数学模型替代实际问题，让学生的感官发挥作用，在建立表象的情况下进行思维发散，最终找到解决问题的本质所在。

（一）以形思数，帮助建立数学概念。

许多数学概念比较抽象，很难理解，特别需要视觉有效应用，因此可适当采用数形结合思想展开概念的教学，借助图形为数学问题创设一定的情境，并在图形解析过程中帮助学生理解数学概念。

比如，教学生掌握100以内的数的时候，学生大多对100以内的数倒背如流，看上去掌握得很好。于是我出示了这样一道题考学生：66接近70还是60呢？却发现很多学生都不会。分析原因是有些学生只是机械地背数，关于数的顺序、大小等方面的知识其实掌握不佳，因而需要教师创设一定的情境让学生进一步感知和学习。于是我在黑板上画了一条数轴，称它是一条带箭头的线，在数轴上逐一标出60～70，将抽象的数在看得见的线上形象、直观地表示出来，将数与位置建立一一对应关系，这样有助于学生理解数的顺序、大小。标出数字后在60和70处画了两幢房子，问：“66这个数喜欢去谁的家呢？”看着图画，几乎所有学生都回答：“喜欢去70的家，因为66距离70比较近。”随后进一步说明：66再数4就是70，60要数6才66，很显然是66接近70。从以上设计和学习过程中我们不难发现：“数”的思考、“形”的创设，不但增强学生的学习热情，而且有助于学生数学思维的形成。

（二）以形思数，帮助理解数学运算的性质。

数形结合不仅是一种思想，还是一种很好的教学方法。计算教学中，许多算理学生模棱两可，如能做到数形结合，学生可以更透彻地理解和掌握。

比如，教学《积的变化规律》时，教师常采用列举各种乘法公式的手段，让学生观察、对比因数与积之间的变化，找出积的变化规律。教学艺术在于创造，我曾听一位教师创造性地运用长方形模型具体直观启发学生寻找出积的变化规律。教学过程如下：

首先，呈现如下图形，

引导学生思考，在长度固定，宽度增加或减少3倍的情况下，面积是怎么变化的？

通过计算长方形面积，比较变化前后的面积，学生一眼就能看出固定长度的情况下，当宽扩大3倍或缩小3倍，它的面积扩大3倍或缩小3倍。通过长方形面积的计算及面积大小变化规律的观察，也就是数形结合，让学生对积的变化规律有更直观的理解。这样设计比抽象的乘法算式之间的比较更易于学生发现、理解规律。

（三）以形思数，使解题过程具体化。

解决问题，为了让学生清晰地发现题目中的数量关系，适时采用画线段图等方法，把抽象的问题放在直观的情境中，在直观图示的导引和教师的启发下，学生就能比较容易地理解各种数量间的关系，从而有效提高学生比较、分析和综合的思维能力。

比如，一年级上册经常有这样的题目：小明前面有5人，小明后面有3人，一共有几人？列成算式是：5+3+1。另外还有：从前面往后数，第5个是小明，从后往前数，第6个是小明，一共有几人？列成算式是：5+6-1。这两道题目使学生的思维受到严重干扰，什么时候加1，什么时候减1？要求一年级孩子用语言表达往往是很难做到的。教学中，若进行数形的巧妙结合，以图形方式展开，抓住问题的本质，问题就变得简单。尤其是第二个问题，通过图示，学生明白为何要减1，因为小明算了2次。一个图形达到上百句话的表达效果，让学生养成画图思考的学习习惯，切身体会数形结合的优势，从而帮助他们提高数形转化能力，实现抽象思维与形象思维的巧妙运用。

二、以数想形，在转换中建立“形”

图形推理属于抽象化计算，而计算又是推理的具体化，图形是推理和计算的直观模型。数学活动里有关图形的知识可以通过数和计算帮助理解。

（一）以数想形，有助于公式的理解。

教学有关数学公式时，倘若只是让学生死记硬背，很难让他们真正理解公式，一旦遇到比较复杂的图形问题，便无法灵活地运用公式解答。计算长方形周长的方式通常有三种：①长+宽+长+宽，②长×2+宽×2，③（长+宽）×2，通过练习反馈，发现大部分学生都使用了前两种方法来计算，很少使用第三种方法。此外，还有学生未充分理解第三种计算公式的含义，仅了解到有这样一个公式可以求长方形的周长，知其然，而不知其所以然。于是我设计了让学生边说边摆小棒的方法介绍第三种求周长的方法。

经过讨论、分析可以发现长方形的面积计算公式是（长+宽）×2，由计算转向几何推理。在教学过程中把图形问题变换成代数问题，突出图像的形象思维，有助于学生得到正确的结果，这是帮助学生灵活应用图形运算公式的有效方法，让他们思维与观察能力等都获得提高，增强对数与形的正确认识。

（二）以数想形，探究其本质。

通过以数想形，还可以有效帮助学生理解图形的性质，例如，在“平行四边形等高等底，面积相同”的教学过程中，教师可以呈现一个算式，让学生画出可能是怎样的平行四边形，如4×2，学生可以画出如下图形：

将等底等高但形状不同的一组图形放在一起供学生观察，让学生深入体会，从而掌握得更加牢固。

（三）以数想形，借助表象发展空间观念。

儿童的认识规律，通常来说先是直接感受，再到表象，最后形成科学概念。表象介于感知与科学概念的形成之间，属于中间过渡环节，巧妙地利用这一环节，学生思维会更活跃，想象力更加丰富，因此对知识的理解更深入、透彻，有利于空间观念的形成。培养初步的逻辑思维能力，具有十分重要的意义。

教师可以引导学生利用表象、用联系的观点把握数形结合思想，如看到“3”想到了什么？学生可能会想到三角形；看到“3、3、1”，“3、3、2”，“3、3、3”，“3、3、4”，“3、3、5”，想到的是怎样的三角形，通过想象学生可以想到是这样一列三角形。

数据规律变化导致图形规律变化，这样训练有助于培养学生的空间想象能力。

当然，“数”上构“形”，以形思数；“形”中觅“数”，以数想形，这两点不是彼此独立的，而是互相联系的。数形结合在小学教育中更加关键，合理运用它，能够让学生获取更加形象化的材料，可以变抽象为具体，使解题思路无形变有形。这样一来，学生对知识的学习、接受更加轻松、高效，同时激发学生的学习兴趣，利于脑力的开动、能力的提高，使教学收到事半功倍之效。

参考文献：

[1]李贺宾.浅谈数形结合思想在小学数学教学中的渗透与应用.

[2]R.柯朗.什么是数学.复旦大学出版社，2005.

[3]数学思想方法与小学数学教学.河海大学出版社，1998. 12.

[4]陈军.捕捉生成性资源，引导构建数学模型.江苏教育，2006（4）.

[5]张新爱.小学数学学习的思想方法[J].教育研究论坛，2011.