考虑区间灰数风险度的多属性灰靶决策模型

孙宝军

(内蒙古财经大学 计算机信息管理学院，内蒙古 呼和浩特 010070)



考虑区间灰数风险度的多属性灰靶决策模型

孙宝军

(内蒙古财经大学 计算机信息管理学院，内蒙古 呼和浩特 010070)

针对目前多属性灰靶决策模型研究中，区间灰数比较大小公式中的只以区间大小而没有考虑不确定性，无法度量决策者给出区间灰数风险的问题，文中提出了基于灰数集的风险度的概念，改进了现有的灰靶多属性决策模型，通过风险偏好系数，得到包含风险因素的综合评价结果。算例证明了该方法的可行性和合理性。

多属性决策；区间灰数；风险度

灰靶决策模型是一种解决“小样本，贫信息”的多指标、多属性、不确定决策问题的常用方法，该方法是灰色系统理论中决策问题的重点研究领域。目前已在信息检索[1]、军事决策[2]、信息系统选择决策[3]等领域。灰靶决策的主要思想是在灰靶中找到一个靶心作为最优模式，然后将灰靶中诸决策点与靶心点进行比较，从而确定相对最优的对策[4]。

目前，关于灰靶决策模型的理论方面，众多研究者从模型优化方面进行了相关研究[5-10]：文献[5]通过比较指标集中各指标值与靶心连线所围成图形(蛛网)的面积大小来对决策方案之优劣进行评价，文献[6]提出一种新的综合靶心距,并以综合靶心距最小化准则为目标函数构建非线性优化模型来求解最优的目标权重。文献[7]在处理指标类型中引入了强“奖优罚劣”变换算子，建立了强“奖优罚劣”变换算子的加权灰靶决策模型；文献[8]提出了一种新的多目标加权灰靶决策模型，该模型充分考虑了目标效果值中靶和脱靶两种不同情形，提高了综合效果测度。文献[9～10]基于TOPSIS决策的思想，将正、负靶心等一系列新理论引入了模型并建立了正负靶心灰靶决策模型。

本文认为，现有的灰靶决策模型中，缺少对决策方案的风险的度量，灰靶模型决策过程中，待评价方案的准则指标一般都是用灰数表示的，在灰数的比较计算中，区间大小作为度量尺度的一个重要因素，区间大的灰数在计算中往往会获得比较大的数值。但是根据风险理论，灰数区间大意味着指标的波动幅度、不确定性增大。虽然目前众多学者引入了前景理论[11-12]，在决策过程中考虑决策者心理行为，但是获得前景价值只能反应决策者或者是专家对指标属性值的态度，在对待评价方案的优劣比较过程中，灰数的比较仍然发挥比较大的作用，所以评价的结论中缺少对风险的综合度量。针对这个问题，本文提出了一种基于灰数集的风险度的概念，用于评价其所包含的风险，并将风险度的概念应用到灰靶决策模型。

1 问题解决的方法和原理

1.1 问题描述

设对于某灰数多属性决策问题，由n个决策方案构成了决策方案集为A={a1,a2,…,an}，m个评价准则或属性构成了指标集C={c1,c2,…,cm}，M={M1,M2,…,Mt}由t个决策者组成的决策群体。决策者Mk对方案ai对指标cj的评价值为区间灰数的形式xij(k)(⊗)∈[xijL(k)，xijU(k)]，其中(1≤i≤n,1≤j≤m, 1≤k≤t)。因此，决策者Mk的评价组成决策矩阵X(k)=(xij(k)(⊗))n×m，各决策者存在权威性差异，权重向量记为A={a1,a2,…,at}，各指标属性cj的权重向量为W={ω1,…,ωi,…ωn}，确定最优方案集。

1.2 灰数相关理论

在灰数系统理论中，白数代表信息完全已知，黑数代表信息完全未知的情况，而灰数表示信息的精确值未知，但是其的范围已知，一般用符号⊗表示。既有下界a又有上界b灰数称为区间灰数 , 记为[a，b]。

定义1[12]设灰数⊗∈[a，b] (a

当论域μ(Ω)=1，有go(⊗)=μ(⊗)。如果限定论域Ω在区间[0,1]，则μ(⊗)就是区间[0,1]上的长度。

定义2[13]设两个灰数⊗1∈[a1，b1] (a1

(1)

D(⊗1,⊗2)是两个灰数⊗1和⊗2之间的相离度。

1.3 区间灰数的大小比较规则的不足

从以上灰数的比较公式看，其中都包含了灰数区间大小的因素la和lb。例如，⊗1∈[7,10]，⊗2∈[3,15]，3个公式计算的结果都是⊗1<⊗2，因为灰数⊗2的区间范围要更大，但根据风险决策理论，假如两个灰数是描述不同方案的同一决策指标的取值，如果把灰数的核视为其期望值，则⊗2中包含更大的不确定性，但是在现有的灰靶决策模型中，方案的比较均建立在灰数比较运算的基础上，这样就造成了一个比较优的方案但其风险更高，如果综合风险因素进行综合计算，各待评价的方案的优劣顺序就会发生变化。所以，有必要在灰靶决策模型中引入风险评价指标，以期获得更好的决策结果。综合现有的研究成果，本文提出了灰数风险度的概念，作为衡量灰数风险的指标。

定义3 灰数集E内的灰数⊗i∈[aL，aU](aL

(2)

风险度的概念反映了描述同一对象的各个灰数，距离其聚集中心的偏离程度，风险度越大表示其偏离中心的距离就越大，相应的不确定成份就越多。

例1 设E={⊗1∈[1,2],⊗2∈[1.5,3],⊗3∈[1.2,1.7]}，论域Ω=[1,3]，W={0.5,0.3,0.2}，求集合内每个灰数的风险度。

由例1可知该灰数集的核为⊗N=[1.19,2.24]。则D(⊗1,⊗N)=0.216，D(⊗2,⊗N)=0.58，D(⊗3,⊗N)=0.382，E(⊗N)=(1.19+2.24)/2=1.715。灰数⊗1、⊗2和⊗3的风险度R1=0.216/1.715=0.126；R2=0.58/1.715=0.338；R1=0.382/1.715=0.223。

2 考虑风险的多属性群决策模型

2.1 核矩阵和风险度矩阵的确定方法

如果在决策模型中考虑决策指标的属性值风险度，首先需要对专家的意见进行聚集运算，以获得专家给出意见集的核，之后根据每个属性的灰数集的核确定其风险度，进而计算整个方案的风险度，具体过程如下：

(1) 利用文献[15]中的方法，依次求出方案ai在指标cj下，由t个专家评价值构成灰数集的核

k=1,2,…,t(i=1,2,…,m,j=1,2,…,n)

(3)

(2) 对于指标集cj∈C的，根据式(2)可以定义方案ai的风险度公式为

i=1,2,…,m,j=1,2,…,n

(4)

(3) 每个方案的风险度计算公式为

(5)

则称Core=(⊗ij)n×m=(cij(⊗))n×m为决策问题的核矩阵，称Risk=(rij)n×m为决策问题的风险度矩阵，矩阵Core表示对多位专家偏好的聚集，矩阵Risk表示专家给出的指标值所体现的风险成份。

2.2 风险度靶心的确定方法

对于Core的第j列，将min{(cijL+cijU)/2}，1≤i≤n所在的位置记为-ij，该位置上对应的属性值记为-cj=[-cijL,-cijU]。记-c={-c1,-c2,…,-cm}={[-ci1L,-ci1U], [-ci2L,-ci2U],…, [-cimL,-cimU]}为群灰靶决策核矩阵最劣效果向量，称为核负靶心。

分别称+εi和-εi为方案ai的正负核靶心距，其计算公式为

(6)

(7)

定义

(8)

为方案ai的偏离靶心度。其中，0≤si≤1，且si越大，对应的方案越贴近核正靶心，同时远离核负靶心。

对于矩阵Risk的第j列，将min{rij}，1≤i≤n，所在的位置记为+R(ij)，该位置上对应的矩阵Core属性值记为+Rrj=[cijL,cijU]。记+r={+Rr1,+Rr2,…,+Rrm}={[ci1L,ci1U], [ci2L,ci2U],…,[cimL,cimU]}为灰靶群决策风险最小效果向量，称为风险正靶心。

对于矩阵Risk的第j列，将max{rij}，1≤i≤n所在的位置记为-R(ij)，该位置上对应的属性值记为-Rrj=[rijL,rijU]。记-r={-Rr1,-Rr2,…,-Rrm}={[ci1L,ci1U], [ci2L,ci2U],…,[cimL,cimU]}为灰靶群决策风险最大效果向量，称为风险负靶心。

分别称+τi和-τi为方案ai的正负风险靶心距，其计算公式为

(9)

(10)

定义

(11)

为方案ai的风险偏离靶心度。其中，0≤γi≤1，且γi越大，对应的方案越贴近风险正靶心，同时远离核负靶心，所包含的风险越小。

综合式(8)和式(11)，本文给出了考虑了风险的综合评价公式，既能包含传统的灰靶决策模型中的方案贴近最优效果向量，又能考虑方案的风险成份，综合公式为

βi=μ·si+(1-μ)·γi

(12)

在式(12)中，μ为风险偏好因子，μ=0时公式退化为传统的灰靶群决策模型。本文提出的群决策模型βi来对方案进行排序，当μ=0时，βi越大，对应的方案越优。当μ=1时，βi越大，对应的风险越大。

2.3 具体决策步骤

综合以上理论知识，本文提出一种考虑风险的改进多属性灰靶决策模型，步骤如下：

步骤1 由决策专家给出灰数形式的决策矩阵，构建规范化的灰数决策矩阵，对于“效益型”指标和“成本型”指标按文献[13]中规范化公式进行转换；

步骤2 构建专家决策矩阵的核矩阵Core和风险度矩阵Risk；

步骤3 按照式(6)和式(7)计算每个方案的正负核靶心，并根据式(8)计算每个方案的偏离靶心度;

步骤4 按照式(9)和式(10)计算每个方案的正负风险靶心，并根据式(11)计算每个方案的风险靶心度;

步骤5 选择风险偏好系数μ，根据式(12)计算每个方案的综合偏离靶心度，并对决策问题的方案进行排序。

3 算例分析

为便于比较，本文选择了文献[13]中数据进行分析，模型在Matlab R2012b中调试通过。某地区根据前几年投资的几个大项目，决定进行再投资，考察的指标包括：产值C1、净现值率C2、成本率C3、利税率C4和生态效益C5。有关部门提出了4个方案，由3位决策者就各个方案以区间灰数的形式给出评估值。

文献[13]对于决策者的权重和属性的权重都以区间灰数的形式给出，为说明风险度对决策结果的影响，本文假设权重信息都是已知，并且考虑到决策者对于某一个属性的权重难以量化到如[0.243,0.249]的区间内，简化其权重部分，属性权重取第一个决策者的权重向量中各个区间灰数的核，决策者权重取权威权重向量中各个区间灰数的核。得到W=[0.227, 0.246, 0.184,0.209,0.134]；A=[0.263,0.334 5,0.402 5]。

则决策过程如下：分别计算核矩阵Core和风险度矩阵Risk

分别找到正负核靶心和正负风险靶心

+c={[0.592,0.683]，[0.413,0.619]，[0.467,0.668]，[0.408,0.769]，[0.533,0.678] }

-c={[0.336,0.405]，[0.383,0.561]，[0.36,0.525]，[0.292,0.637]，[0.341,0.459] }

+r={[0.592,0.683]，[0.383,0.561]，[0.36,0.525]，[0.392,0.724]，[0.504,0.386] }

-r={[0.336,0.405]，[0.413,0.618]，[0.348,0.476]，[0.309,0.603]，[0.335,0.453] }

求解距离正负核心和风险靶心的靶心度

S={0.644，0.281，0.630，0.292}；γ={0.405，0.610，0.577，0.542}

选择风险偏好系数，计算各个方案的综合靶心度，对方案进行排序，选取μ=0.5时，得到综合靶心度β={0.525，0.445，0.604，0.417}。方案的排列结果为a3>a1>a2>a4。

结果分析：同文献[13]的结果a3>a1>a4>a2相比，基本一致，但本文提出的决策方法有两个优势:一是通过聚集运算，简化了文献[13]中的多次矩阵的运算;二是在模型中能够反映方案所包含的风险成份，通过风险度的概念，体现不同风险偏好决策者的决策过程。

4 结束语

针对目前多属性灰靶决策模型的不足，本文主要做了以下工作：为了度量灰数群决策问题方案所包含的风险成份，本文基于现有的研究成果，提出了关于风险度的概念，给出了灰数群决策问题的风险度概念。根据给出的风险度的概念，在灰靶决策模型中，提出了风险正靶心和风险负靶心的概念，并给出了计算正负风险靶心距和方案的风险靶心偏离度的计算公式。结合风险靶心偏离度的计算公式，改造了多属性灰靶决策模型，使得决策模型能反应方案包含风险成份，最后用算例分析了该模型的正确性和合理性。

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The Multi-attribute Grey Target Decision Making Model Including the Risk Degree of Interval Grey Number

SUN Baojun

(School of Computer Information and Management, Inner Mongolia University of Finance and Economics, Hohhot 010070, China)

There are some disadvantages for the present research on the multi-attribute grey target decision making model. The interval grey numbers are compared by the interval size and the uncertainty is not considered. It cannot measure the risk of interval grey number expressed by the decision makers. This paper proposes the concept of risk degree, and improves the present grey target model. This approach can obtain the comprehensive evaluation results by means of risk preference coefficient. Numerical examples are provided to the illustrate feasibility and rationality of the proposed approach.

multi-attribute grey decision; interval grey number; degree risk

10.16180/j.cnki.issn1007-7820.2016.12.029

2016- 03- 20

内蒙古自然科学基金资助项目(2015MS0707;2015MS0607)；内蒙古教育厅基金资助项目(NJSY127)

孙宝军(1980-)，男，副教授，博士研究生。研究方向：风险管理和智能决策。

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