双兰杰文振子纵弯复合模态驱动的压电平面电机

贺红林， 廖永林， 凌普， 肖智勇

(南昌航空大学 航空制造工程学院，江西 南昌 330063)

双兰杰文振子纵弯复合模态驱动的压电平面电机

贺红林， 廖永林， 凌普， 肖智勇

(南昌航空大学 航空制造工程学院，江西 南昌 330063)

提出利用具有双兰杰文振子的H定子驱动的压电平面电机，选定H定子两纵杆沿xOy面的一纵、二弯模态，及沿zOy面的二弯模态为工作模态，将两纵杆设计成夹心变截面结构并以其上端为驱动足。一纵模态分别与两相二弯模态进行振动耦合，使两驱动足沿xOy、zOy面作椭圆运动而交替地推动动子作平面运动。阐释了电机工作原理及其驱动足做椭圆运动条件。基于工作模态频率一致性目标建立定子优化模型，解得定子优化尺寸。建立定子机电耦合有限元模型，求取电机的谐响应及模态干扰特性。设计出电机装配模型，获取其调频、调压、调相工作特性。仿真了定子运行状态，模拟出驱动足两相椭圆轨迹且当驱动电压为250 V时，驱动足x、y、z向振幅为1.5 μm、2.5 μm和4.7 μm。该电机有望输出较大推力与速度。

兰杰文振子；平面电机；驱动机理；分析模型；动力学特性

0 引 言

随着现代科技发展，对于高速、高精、快响应平面驱动装置需求愈发迫切。平面电机能实现二维或三维运动驱动，在二维定位加工装置如半导体微细加工装备中具有广阔应用前景，广受学界、业界关注。平面电机多为电磁电机如有变磁阻式、感应式、永磁同步式多种型式[1]。囿于电磁感应局限性，这些电机存在机电特性复杂、绕组复杂、推力脉动、控制困难问题。电磁电机在响应速度和定位精确度提升方面遇到相当大的挑战。在此前提下，受压电电机特别是直线超声电机启发，研究者们开始将目光投向压电平面电机，寻求借助逆压电效应解决电机高精确度、快响应实现问题，并取得不少成果。已推出的压电平面电机有柱杆式、平板式、组合式等多种型式，比较有代表性包括： Dembele推出三自由度平面电机，尺寸64 mm×38 mm×2.5 mm，重复定位精确度达亚微米级[3]；Vijver推出三自由度压电平台，精确度达10 nm[4]；青山尚基于压电电致伸缩效应研制出具有纳米级定位精确度平面电机，但其速度极慢，只适于显微操作平台驱动[5]；Scuor设计出基于超声电机的五自由度定位平台[6]；刘俊标推出圆杆振动驱动平面电机[7]；时运来利用变截杆两四阶弯振研制出柱杆平面电机，速度达190 mm/s，推力19 N；郝铭推出基于十字聚能器驱动的平面电机，推力100 N[2]；严亮推出单定子两自由度平面超声驱动器[8]。总的来看，由于研究时间不长，目前压电平面电机型式还极有限，性能还普遍较粗劣，但因其为直接驱动式电机、运动精确度高、响应快、功率密度大、控制性好，故在半导体光刻、精密超精加工、显微医学操作等高精尖领域有特殊重要的应用前景，在精细装配、机器人等技术领域中可发挥出其它电机难以替代的作用[9]。综上考虑，为丰富平面电机型式，在文献[10]、文献[11]工作基础上，本文推出双兰杰文振子并联式定子驱动的电机，它具有良好运动动力特性，有望输出较大速度与推力。

1 平面电机驱动原理

1.1 电机工作模态

电机定子由两根纵杆和一根横杆构成，呈现H状，并以纵杆上端为驱动足。根据结构模态理论并结合电机设计实践，推测定子具有图1所示面(xOy)内的一阶反对称纵振、二阶对称弯振及面(zOy)外二阶对称弯振模态。可将这些模态作为电机工作模态，通过纵杆一阶纵振与面内二弯、面外二弯振动耦合，使驱动足同时沿xOy、zOy面做椭圆运动。

图1 电机的预设振动工作模态Fig.1 Assumed working vibration modes for the motor

1.2 电机工作原理

利用压电陶瓷(PZT)激发模态振动，图2给出驱动足在一个振动周期(T)内的运动，具体是：

1)在0-1/4T时段 在xOy面内，左杆由外弯状弯成直杆，长度由初始长度收缩到最短，使左杆驱动足由A1行至A2而与动子脱离接触；右杆由外弯状弯成直杆，长度由初始长度伸至最大长度，使右杆驱动足与动子接触并由B1行至B2，推动动子沿x向移一步。在zOy面内，左杆由后弯状弯回到直杆且由初始长度缩至最短，使驱动足由A1′行至A2′；右杆由前弯状弯成直杆，长度由初始长度伸至最大长度，使右杆驱动足与动子接触并由B1′行至B2′，推动动子沿z向移进一步。

2)在1/4T-1/2T时段 在xOy面内，左杆由直杆弯成内弯状且由最短回复到初始长度，使驱动足由A2行至A3而不与动子接触；右杆由直杆弯成内弯状，长度由最大缩成初始长度，使驱动足由B2行至B3而保持与动子接触，推动动子沿x向再移一步。在zOy面内，左杆由直杆弯成前弯状且由最短回复到初始长度，使驱动足由A2′行至A3′；右杆由直杆弯成后弯状且由最大长回缩为初始长度，使其驱动足由B2′行至B3′而与动子保持接触，推动动子沿z向再移一步。

3)在1/2T-3/4T时段 在xOy面内，左杆由内弯状弯成直杆且由初始长度伸长成最大长度，使左杆驱动足与动子接触并由A3行至A4，推动动子沿x向移进第三步；右杆由内弯状弯成直杆并由初始长度缩成最短，使驱动足与动子脱离接触并由B3行至B4。在zOy面内，左杆由前弯状弯成直杆且由初始长度伸至最大长度，使其驱动足与动子接触且由A3′行至A4′，推动动子沿z向移进第三步；右杆由后弯状弯成直杆且由初始长度缩成最短，使其驱动足与动子分离并由B3′行至B4′。

图2 定子一个振动周期内的运动Fig.2 Working principle of the motor

4)在3/4T-T时段 在xOy面内，左杆由直杆弯成外弯状且由最大长度缩至初始长度，使驱动足由A4行至A1而与动子保持接触，推动动子沿x向再移一步；右杆由直杆弯成外弯状且由最短伸为初始长度，使驱动足由B4行至B1。在zOy面内，左杆由直杆弯成后弯状且由最大长度缩为初始长度，使驱动足由A4′行至A1′而与动子保持接触，推动动子沿z向再移一步；右杆由直杆弯成前弯，长度由最短回复到初始长度，使驱动足由B4′行至B1′。

每个振动周期内，两驱动足均沿xOy、zOy面完成两个椭圆轨迹，推动动子沿x、z向各移四步距。若逆转纵、弯振动的运动相位，则驱动足运动反向，动子将做反向移动。

1.3 驱动足运动的解析

若上述假设模态存在，则两纵杆振动对称，在解析驱动足运动时，可任取其一作为分析对象，下面以左杆为例。当在PZT上通电激励三相模态，左杆将迅速产生两相弯曲波和一相纵振波，考虑到三相弹性波在定子内传播迅速，且驱动足至PZT的距离较小，故可认为三相波同时抵达驱动足。这样，根据振动理论，可写出驱动足的运动方程

(1)

式中:f为驱动频率；α、β、γ为纵振、面内二弯、面外二弯的初相；U、V、W为驱动端x、y、z向振幅，其值取决于电压幅值。将式(1)改写成

(2)

式中:φ=α-β、θ=β-γ。当φ=±π/2,θ=±π/2时，式(2)的形式变为

(3)

式(3)为两个标准椭圆方程，表明当一阶纵振与面内二弯、面外二弯模态激励电压相位差为恰为±90°时，驱动足做两相椭圆运动。

2 结构动力学设计

2.1 定子结构设计

PZT只能激发微幅振动，故如何增大驱动足振幅以提高电机速度，是定子设计的首要问题；压电电机输出动力普遍较小，如何增大电机推力也是电机设计时需重点关注的。

综上考虑，将定子设计成图3所示结构，两纵杆采用夹心变截面兰杰文振子结构。采用夹心结构的意义在于：可利用PZT的d33效应激振而增大驱动足振幅；可大幅提高PZT抗拉能力，从而增强电机工作可靠性；能提高PZT耐受电压能力，有利于采用较高电压激振而增大振幅。根据动量守恒原理，当纵杆两端尺寸不同时，小端将获得更大的一阶纵振振幅，故为提高驱动足y向振动，降低纵杆弯曲刚度以增大驱动足x、z向振幅，纵杆设计成渐缩结构。为便于电机频率的调整并增大纵杆弯曲柔性，在纵杆上部制作调整孔。

图3 定子动力学结构及其尺寸参数定义Fig.3 Dimensions of the stator

2.2 压电的陶瓷配置

须在定子适当位置装配PZT并正确配置其极化供电模式，才能激发工作振动。PZT配置的要求：一是保证工作模态被激出及模态振动的纯正性，有利于增大振幅；二是有利于简化定子结构、便于其加工装配和调整；三是有利于减小出现电气故障的可能；四是有利于减少电源极性数。综上因素，设计图4所示极化供电模式，图中以“+”、“-”号区分陶瓷极化方向。在定子上配置16片PZT，将它们分成纵振、面内弯振、面外弯振陶瓷组3个组别，分别用于激励一纵、面内二弯、面外二弯振动。为有效激发弯振，弯振组内各陶瓷片均极化出两个极化分区，纵振组陶瓷PZT采用单一极化分区。4片纵振激励陶瓷两两一组地分两小组。为增大纵振效应，两组纵振陶瓷均安装于两纵杆一阶纵振节点处。为能激出纯正弯振，将面内、面外弯振陶瓷组尽可能置于相应弯振模态的波峰波谷近区。

3 结构动力学分析

3.1 分析模型的建立

电机原理是否可行首先取决于定子是否内含假设模态及驱动足振动是否足以推动动子，可建立定子机电耦合动力学模型解答上述问题。鉴于H定子的复杂性，可建立有限元数值模型。因定子由具有不同物理本构的金属基体与PZT组成，故建模时需采用不同类型单元对它们的力学本构、力电行力进行表征。针对PZT，考虑到其机电特性，在相应单元中引入第二类压电方程表征其机电耦合行为

(4)

图4 定子构型及其压电配置与供电Fig.4 Configuration of piezoelectric ceramics in the stator

式中:T为应力张量；D为电位移矢量；S为应变张量；E为电场强度矢量；cE电场强度下的弹性系数；εS为应变介电常数；e为压电常数。由Hamilton原理并结合式(4)、PZT弹性本构、应变-位移几何关系，可得压电单元的机电动力学平衡方程

(5)

(6)

(7)

3.2 定子工作模态提取

采用ANSYS求解方程(7)。利用八节点六面体单元Solid185完成定子基体的单元网格划分，采用多场耦合单元Solid5对PZT片进行网格化，为定子有限元模型设定自由边界条件。模型求时，假定定子基体为磷青铜，弹性模量92 GPa，密度8 270 kg/m3，泊松比0.33；压电陶瓷材料选定PZT8，其介电常数阵和应变常数阵取定为：

压电陶瓷刚度矩阵为

(8)

在ANSYS中建立三维实体模型，设定单元类型，建立材料模型，进行网络化，加载边界条件，利用Lanczo法提取定子工作模态振型，如图5所示。可见，计算模态与假设模态基本吻合。

图5 定子工作模态仿真Fig.5 Working Modes of stator from simulation

3.3 定子初步尺寸确定

通电激励三相工作模态振动，驱使驱动足同时沿两正交平面作李萨育椭圆运动，根据李萨育条件，三相振动频率须相等或一致。模态频率取主要取决定子结构尺寸。为探得频率一致性尺寸，须先明确各尺寸对频率的影响特性，值得一提的是，该特性还为电机调试和模态修正指明方向。

通过频繁修改定子尺寸并重建定子ANSYS模型且提取模态频率，探得了频率与定子尺寸的关系如图6所示。

图6 定子尺寸对模态频率的影响Fig.6 Modal frequency versus stator dimension

从图6(a)看出，纵杆厚度H对面外弯振频率影响较大而对面内纵振、弯振频率影响很小，且H增大时面外弯振频率增大，这说明纵杆厚度具有单一模态频率影响性，故在调节频率一致性时可优先调节该尺寸；从图6(b)可知，尺寸L1的变化对三相工作频率均产生一定影响，L1增大时三相频率均增大，且面内弯振频率增速最快、面外弯振频率增速最小，它带来的启示是：当面内弯振与其它模态的频率相差较大时，可调整L1来实现三相频率的一致性；从图6(c)可见，尺寸B3对面内弯振频率的影响较明显，但对另两相频率的影响不甚明晰，表明它不宜用作电机模态频率修正。在上述分析基础上得到了定子初步尺寸如表1。

表1 定子结构的初步尺寸和优化尺寸Table 1 Initial and optimization sizes of the stator

4 结构动力学优化

4.1 频率一致性优化模型

根据表1中的定子初步尺寸建模求得的三相工作模态频率之间最大频差达1 184 Hz，远未进入满足频率一致性要求的范围，故须进一步减少频差。采用试凑法也能缩小频差，但因定子结构复杂且涉及三相频率一致，试凑起来非常困难。实际上，凑得初步尺寸已不易，要凑取更佳尺寸必更困难。可借助优化手段探得频率一致性尺寸，但前提是建立定子动力学优化模型。为提高寻优效率及质量，可将对频率影响大及影响单一的尺寸列为优化变量，而不必对所有尺寸进行优化。为确定优化变量，须量化各尺寸对频率之影响，为此引入频率敏度

(9)

X=[x1x2x3x4x5x6]T=[L1 H R B1 B2 B3]TminΔf=max(|fl-fb,in|,|fb,in-fb,out|,|fl-fb,out|)
s.t. xi,min≤xi≤xi,min(i=1,2,…,6)
flow≤fl≤fup。

(10)

式中：Δf为优化目标;fl、fb,in、fb,out表示一纵、面内二弯、面外二弯频率；xi,min、xi,max表示设计变量的下限、上限；flow、fup表示工作频率上、下限。

图7 定子结构尺寸的工作模态频率灵敏度Fig.7 Modal frequency sensitive to Dimensions

4.2 优化模型求解

利用ANSYS的OPT模块求解模型(10)。考虑到优化变量较多且其对频率的影响较复杂，为保证收敛性，将优化分两轮进行，第一轮只对B1、B2、B3优化，第二轮对L1、H、R优化，这样就把规模较大的优化问题分解为两个规模较小的问题，有利于避免迭代发散和减少计算量，而寻得的结果则不一定最优。但就电机设计而言，只要能减小频差，即便结果并非最优也无妨。利用OPT的最小二乘法进行第一轮优化，以频差Δf小于工作模态频率1%为迭代终止条件，经7个迭代步后第一轮优化结束，结果如图8，从图(a)看出，在经历了两次频差起伏后，频差开始减小并迅速趋于稳定；图(b)是B1、B2、B3迭代情况，图中用上标“(1)”、“(2)”区分第一轮、第二轮结果。第一轮优化后频差降到432 Hz、仍较大，故启动第二轮优化，以Δf小于模态频率0.5%为迭代终止条件，优化结果仍如图7。可见，两轮优化后频差仅213 Hz，面内一纵、二弯和面外二弯频率为47 802 Hz 、47 948 Hz、48 015 Hz，处于较佳频区。图5为优化尺寸对应的模态，它们均较纯正，故以该尺寸作为电机设计尺寸。优化尺寸列于表1。

图8 定子的频率一致性优化迭代结果Fig.8 Optimization iterations for stator sizes

5 振动特性仿真

5.1 定子的频响特性

H定子具有丰富的模态，若在工作模态附近存在高强度干扰模态，则工作模态激励时干扰模态也将被激发，可能造成驱动足无法做有效椭圆运动甚至使电机无法运行，若如此则须进行模态分离而将干扰模态移至远离工作模态频区。为便于观测干扰模态的影响，对定子做频响特性计算，并频响分析区设在47 kHz～49 kHz内。对三组PZT分别施加200 V激励电压后，得到驱动足位移幅频特性曲线如图9。可见，在工作模态近区无高强干扰模态出现，这说明干扰模态对驱动足影响很小并且从侧面也说明电机原理和结构的可行性。

5.2 定子瞬态振动响应

仅当驱动足振幅达微米级时，其椭圆运动才能实现定/动子的接触与分离并推动动子。通常，电机设计失效的一个主因是振幅不够。振幅受驱动电压幅值、定子刚度、PZT参数等因素影响。为验证电机有效性，对驱动足瞬态振动响应特性进行分析，为此对定子模型的三相PZT施加幅值为200 V、频率48 kHz的等幅、同频而相位差为π/2的交变电激励信号，并选定驱动足上的角点、中心点为响应观测点，再启动ANSYS瞬态求解器解算出振动位移如图10。可见，中心点、角点均沿xOy、zOy面作椭圆运动，经过30个周期后，x、y、z向振幅均达微米级。两相椭圆共享y向振动，而x、z向振幅很接近，故可断定电机的x、z向输出特性趋于平衡。仿真显示，两驱动足轨迹相一致。

图9 驱动足振动位移频响特性曲线Fig.9 Displacement amplitude frequency response characteristics of the driving foot

5.3 电机速度调节特性

根据压电电机理论可知，电机速度与驱动足切向(x、z向)振动速度成正比，调节切向振幅可调节电机速度；驱动足法向(y向)振动实现定/动子接触和分离的，很大程度上决定了电机动力。法向振幅增大时界面接触压力增大，电机推力增大。为获取电机运动和动力调节特性，先对定子调频特性进行仿真。在保证三相激励电压为250 V条件下，选定5个频率点对定子进行振动激振，求取驱动足位移响应，得到图11(a)调频特性曲线。可见，振幅与驱动频率呈非线性关系，当驱动频率小于47.8 kHz时，增大频率则振幅增大；当频率大于47.8 kHz时，增大频率则振幅下降。当频率为47.8 kHz时，驱动足x、y、z向振幅为1.5 μm、2.5 μm和4.7 μm。

改变三相驱动电压幅值并对定子进行激励，得电机调压特性曲线如图11(b)。可见，振幅与电压呈线性关系。但需指出：受 PZT工作电压容限、死区、用电安全限制，调压法的实际速度调节范围很有限。在保持驱动电压250 V、驱动频率47.8 kHz条件下，调节激励电压相差位进行电机激励，得到调相运动特性如图 11(c)，可见调节驱动相位差时，椭圆形状相应地改变且当相位差由90°逐渐下降时，椭圆愈来愈扁并最终退化为近乎直线。椭圆变化时各向振幅相应地改变，这表明调节相位差同样可调节电机速度与动力。

图11 电机的机械输出调节特性Fig.11 Output regulation characteristics of the motor

6 装配结构设计

为减小摩擦阻力并便于制造，针对H定子结构，为电机设计了图12的装配结构。该电机主要由动子、定子、支座组件等组成。定子横杆中部恰为各工作模态共同节点，在该处将定子固定将最大程度地减小定子固定对其振动特性的影响。为此，通过螺钉在横杆中部将定子紧固。为避免因定子固定而改变电机工作振型，在H结构横杆中部用橡胶块将定子垫起，使定子不与支座接触。考虑到压电电机输出动力极其有限，为减少运动副摩擦，为定/动子设计滚动导轨副，即在动子滑板内设置十字槽且在槽内装入滚珠，使护珠板与滑板间形成滚动接触，以得到滚动代滑动的效果。利用螺栓和弹簧调节定/动子界面预压力。为减小预紧对工作模态的影响，加压点也设定在横杆的中部。

图12 平面电机的装配结构Fig.12 Assembling model of the planar motor

7 结 论

1)提出带有双兰杰文振子的H结构定子驱动的压电平面电机，选定定子的一阶反对称纵振和面内二阶弯振、面外二阶弯振为工作模态。

2)电机利用定子驱动足的两相椭圆轨迹驱使动子作平面运动。推导出椭圆轨迹形成条件，建立了定子动力学分析有限元模型及优化模型，求得了定子的优化尺寸。

3)当电机驱动电压为250 V时，驱动足x、y、z向位移振幅达1.5、2.5和4.7 μm。

4)仿真出驱动足的两相椭圆轨迹，验证了电机原理的可行性，设计出电机装配结构。

5)电机能输出较大动力与速度，具有广阔应用前景。

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(编辑：贾志超)

Design of a novel planar motor using longitudinal and bending mode of the H-shaped stator’s two Langevin vibrators

HE Hong-lin， LIAO Yong-lin， LING Pu， Xiao Zhi-yong

(School of Aeronautical Manufacturing，Nanchang Hangkong University,Nanchang 330063,China)

A piezoelectric planar motor based on 1storder anti-symmetric longitudinal mode and 2ndorder bending mode inxOyplane,and 2ndbending mode inzOyplane of the two Langevin-typed vibrators of an H-shaped stator,was proposed.It employed the upper ends of vibrators as driving feet,and used piezoelectric ceramics (PZT) in the stator to excite working modes vibration to make driving feet move in ellipse trajectories alongxOyandzOyplanes.Working mechanism of the motor was detailed,and generating conditions for elliptical trajectories was derived.A structural dynamic optimization model to make all the modes frequency be consistent was established,so that optimized dimensions for the motor could be obtained.A dynamic finite element model for stator was built with its feet displacement frequency response characteristics and jamming modes characteristics being analyzed.An assembling model for the motor was given,and speed regulation characteristics of the mode were illustrated.Working states of the stator were simulated,exhibiting that the driving feet moving along two elliptical trajectories well and their vibration amplitudes inx,yandzdirections were 1.5 μm,2.5 μm,4.7 μm respectively when 250 V driving voltage were applied to the PZT.It shows that the motor can generate large thrust and speed,and is of wide application prospects.

Langevin-typed vibrator; planar motor; driving principle; analytical model; dynamic characteristics

2015-09-25

国家自然科学基金(51665040，51265040)；江西自然科学基金(20151BAB206036)；江西省教育厅科技项目(GJJ14517)

贺红林(1967—)，男，博士，教授，研究方向为压电超声电机设计、驱动及控制、复杂结构动力学优化； 廖永林(1990—)，男，学士，研究方向为压电超声电机设计、驱动及控制； 凌 普(1993—)，男，硕士，研究方向为压电超声电机设计、驱动及控制； 肖智勇(1992—)，男，硕士，研究方向为压电超声电机设计、驱动及控制。

贺红林

10.15938/j.emc.2016.12.006

TM 359.5

:A

:1007-449X(2016)12-0042-09