柳暗花明又一村

罗彩霞

摘 要：越来越多的高考题目不只是考查学生的某一种解题能力，而是利用其精妙的构思、灵活的解法考查学生的综合解题能力。导数问题的综合性比较强，是高考试题中的压轴题，学生在解题时往往束手无策。要想顺利解题，就必须掌握其中的解题规律，将其化难为简、化繁为易，进而解决之。

关键词：导数;不等式;零点

中图分类号：G63     文献标识码：A     文章编号：1673-9132（2017）05-0043-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2017.05.026

导数是初等数学与高等数学的重要衔接点，也是近几年高考的热点。纵观近几年的高考导数试题，我们不难发现导数与数列、不等式的综合性问题尤其频繁，这已成为考生们的“老大难”问题。下面笔者结合近几年高考试题，谈谈导数问题的基本类型及解题策略。

一、题根（2013年高考试题）

1.证明：当时，;

2.若不等式对恒成立，求a取值范围。

上题是2013年高考导数综合问题的一个典型代表。分析2013年各省市的高考数学试题，导数综合问题基本都是试卷中的压轴大题，其综合性强、思维量大，是高考的难点。2013年的导数问题主要考查内容为求曲线的切线方程、判断函数性质、曲线的零点个数问题及不等式与导数的综合问题等。

二、题型归纳及解题规律

类型一：不等式的证明问题。

利用导数证明不等式，就是利用不等式与函数之间的联系，直接或间接等价变形后，结合不等式的结构特征，构造相应的函数。通过利用导数判断出函数的单调性，将不等式的证明转化为函数问题。

例1.求证：不等式在上成立。

证明：构造函数，考查的符号知在（）上单调递增，

又因为，所以，

即成立，

又构造函数，考查，知在（）上单调递增，

又因为，所以，即成立，

综上所述，原命题成立。

变式：设，证明：当时，。

证明：令，则

，

令，则当时，考查的符号知在（1，3）内是减函数，

又，所以，

于是当时，。

评析：利用导数证明不等式，就是通过观察不等式后构造函数，然后利用导数的方法去研究函数的性质，求出函数的最值，经过验证从而达到证明不等式的目的。

类型二：不等式恒成立问题。

例2.已知函数其中，设函数当时，若总有成立，求实数m的取值范围。

解析：当a=2时，，，

考虑的符号得其单调性，从而知在区间（0，1）上有，

而“总有成立”等价于“在（0，1）上的最大值不小于在[1，2]上的最大值”。

又在[1，2]上的最大值，， ，则。

变式：已知函数，若，函数在上是单调函数，求a的取值范围。

解析：函数的定义域是，因为，所以b=2a-1。

所以，要使在上是单调函数，

只要或在上恒成立，

对a进行分类讨论，得出a=0、a>0 、a<0时的符号，进而得出其单调性知：a的取值范围是。

评析：不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数的范围，通常的方法是通过变量分离将问题转化成（或 ）的恒成立问题，只需求出的最大值（或的最小值）， （）即可。

类型三：曲线的零点个数问题。

例3.已知函数，，是否存在实数m，使得的图像与的图像有且只有三个不同的交点，若存在，求出m的范围;若不存在，说明理由。

解析：欲使、有三交点，必有三实根，即有三个实根。

设，

考虑函数的单调性：，令得二根：，

当时，时，时 ，

于是得到的单调性：单调递增，单调递减，单调递增，

时取得极大值，时极小值，要使有三实根，

只需将，带入即得：且即。

变式：已知函数是二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值是12.

（1）求的解析式;

（2）是否存在自然数m，使得方程在区间（m，m+1）内有且只有两个不相等的实数根？若存在，求出m的值;若不存在，说明理由。

解析：（1）因为是二次函数，且<0的解集是 （0，5），根据二次函数的性质，再利用数形结合法得出的解析式为=2x（x-5）=2x2-10。

（2）方程等价于方程 。

构造函数，根据其导函数h'（x）=6x2-20x=2x（3x-10）的符号得出其单调性，再结合函数零点问题得出：在区间，内分别有唯一实数根，而在区间，内没有实根，所以存在唯一的自然数m=3，使得方程在区间（m，m+1）内有且只有两个不相等的实数根。

评析：对于解决陌生函数的零点个数问题，若能把已知函数分解成两个熟悉的函数，那么可利用构造函数法化归为求两个熟悉函数图象的交点个数求解;对于一元高次函数，可利用导数法研究函数图象的特征，作出函数的图象，确定图象与轴交点的情况求解。

在学习导数的过程中，我们必须寻找其中的规律，在备考时做到有的放矢、重点突破，这就要求备考的教师及时地进行总结、归纳，理清思路后引导学生掌握并应用。