斜齿圆柱齿轮有限元分析

何昕，曹雪梅，葛玉萍

（1.河南科技大学机电工程学院，河南洛阳471003；2.黄河水利职业技术学院，河南开封475004）

斜齿圆柱齿轮有限元分析

何昕1，曹雪梅1，葛玉萍2

（1.河南科技大学机电工程学院，河南洛阳471003；2.黄河水利职业技术学院，河南开封475004）

齿轮的承载能力主要受接触强度和弯曲强度的限制，其中以弯曲应力尤为突出。以齿条形刀具加工的齿轮为例，探讨了斜齿轮齿面方程的建立。采用FORTRAN语言编制程序建立斜齿圆柱齿轮三维有限元模型，应用ANSYS软件对齿轮进行参数化建模，并分析齿轮所受应力状况。其结果与理论计算公式得到的结果基本一致。

斜齿圆柱齿轮；映射网格；有限元分析；参数化建模；应力分析

0 引言

齿轮传动是机械传动中应用最广泛的一种形式。根据两轴的相对位置和轮齿方向，齿轮传动可分为直齿圆柱齿轮传动、斜齿圆柱齿轮传动、人字齿轮传动、锥齿轮传动、交错轴斜齿轮传动。其中，斜齿圆柱齿轮由于具有更高的承载能力和良好性能，在工业领域中的应用愈加广泛。

齿轮的承载能力受接触强度和弯曲强度的约束。斜齿轮有限元网格模型的生成与分析齿轮力学特性的精确性有直接关系。而建模的关键在于确定斜齿轮端面齿廓各段的曲线方程。斜齿圆柱齿轮齿廓曲面是渐开线螺旋面，相当于无数条渐开线沿着一条螺旋线排列形成的曲面。轮齿渐开线部分的齿廓由齿条的直线部分切出，齿根部分则由齿条的齿顶圆角部分切出。若利用精确的参数化建模，只要修改几个基本参数，就可生成不同的齿轮模型，从而提高建模的效率和精度。

笔者通过FORTRAN软件编程建立斜齿圆柱齿轮的高精度三维有限元网格，利用ANSYS有限元分析软件分析轮齿的受力情况，并对齿轮进行参数化建模，分析齿轮的应力分布状况，模拟确定齿轮的承载能力，以期为齿轮的加工及使用提供更加准确的依据。

1 斜齿轮齿面方程建立

本文以齿条形刀具加工的齿轮为例，探讨斜齿轮齿面方程。齿条形刀具加工齿轮就是通过刀具加工节线和齿轮加工节圆相切做纯滚动运动来加工齿轮。对于此类齿轮，通过渐开线和齿根过渡曲线方程的建立，就可以得到斜齿轮的齿面［1］。

1.1 渐开线齿线方程的确立

如图1所示，渐开线齿廓上任一点（X，Y）到其中心的距离RS的计算式如式（1）所示。

根据齿廓上一点的径距，再设定偏转角度φ，可确定同一径距下任意点的坐标（Xi，Yi），如式（2）所示。

图1 斜齿轮渐开线节点坐标图Fig.1 Coordinate System s App lied For Involute Node

1.2 齿根过渡曲线方程的确立

齿轮的工作寿命受到齿根最大弯曲应力的影响。减小齿根弯曲应力，可以延长齿轮工作寿命。在齿轮的齿根过渡曲线处，齿轮的形体会产生突变，易发生应力集中，使齿轮寿命减少。刀顶曲线的形状也会影响齿根的弯曲应力。因此，本文采用齿条形刀具加工齿轮，如图2所示。

图2 齿条形刀具示意图Fig.2 Sketch of Tooth Bar Cutter

齿根过渡曲线通过齿条刀具的刀顶部分加工出来，刀具圆角部切出的齿轮过渡曲线如图3所示。在图3中，Ⅰ、Ⅱ两段为延伸渐开线的等距曲线，Ⅲ段为齿轮的根圆圆弧。

图3 齿轮轮廓示意图Fig.3 Sketch of Gear Contour

根据图2和图3建立齿根过渡曲线坐标系，确定出齿根过渡曲线坐标系，如图4所示。在图4中，p是节点，nn→是刀具圆角和过渡曲线接触点之间的公法线，α是nn→与刀具加工节线之间的夹角。

图4 齿轮齿根过渡曲线坐标系Fig.4 Dedendum Transition Curve Coordinate System

2 齿轮模型建立

2.1 单个齿的网格划分

利用FORTRAN语言对单个齿进行网格划分。由渐开线方程计算渐开线齿廓部分沿齿厚方向的节点。由齿根过渡部分的方程生成齿根部分节点坐标。根据轮齿旋转对称性，沿圆周方向上生成整个圆周端面轮齿节点坐标。与渐开线节点生成相似，生成与一个齿相对应节点坐标，再沿圆周方向生成所有齿基节点坐标［3］。

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2.2 单元的生成

实体模型是无法直接用来进行有限元计算的。要进行有限元分析，需要对其进行网格化分，生成有限元模型。对实体模型进行网格化分就是用一个个单元将实体模型划分成为众多的子区域即单元。单元和节点一一对应，通过节点来生成单元。为了能精确反映齿廓形状，兼顾计算时间和精度，采用六面体八节点单元格，如图5所示。

图5 实体单元SOLID45Fig.5 Sold 45

按图5所示的每个单元的节点编号顺序对齿面及轮齿内划分的节点进行编号，并建立单元。图6和图7分别为三齿和整个斜齿轮的三维有限元模型［4～7］。

图6 斜齿轮三个齿有限元模型Fig.6 Finite E lement M odel of Three Teeth

图7 斜齿轮有限元模型Fig.7 Finite Element M odel of Gears

3 应力分析

3.1 约束条件

由于真正参与啮合的轮齿很少，可以将没用的省略掉，采用边界条件代替，来限制约束［1］。为了提高计算速度，节省计算时间，本文决定选择3个齿进行受力分析。

将图6所示的齿基两侧面和其对称面、齿轮底面上的每一个节点都限制6个自由度。齿轮材料的特性为：弹性模量为0.21GP，泊松比为0.3。选用solid45实体单元。

3.2 载荷施加

在轮齿受载时，齿轮的齿根受到的弯矩最大。通过对齿轮受到的弯矩分析可知，齿轮齿根受到的最大弯矩产生在一对啮合的齿轮的结合点，位于单对齿啮合区最高点时。基于此，齿轮齿根的弯曲应力按照载荷作用于单对齿啮合区最高点来计算。但是，这种算法相对比较复杂，一般应用于高精度的齿轮传动。为了便于计算和施加载荷，将全部载荷施加在齿顶，作用方向沿着齿顶圆压力角的方向［8］。这时，法向力Fn和周向力Ft的几何关系如式（3）所示。

式中：αa为齿顶法向压力角。加载简图如图8所示。

图8 加载简图Fig.8 Loading diagram

3.3 结果分析

输入周向力Ft＝1 340 N，对加载模型按照第四强度理论在ANSYS中求解，得到载荷等效应力如图9所示。

由图9可以看出：齿轮有弯曲变形，加载荷的齿顶以及齿根处的弯曲应力较大，最大值为27.466 MPa。，与按照齿宽中点当量直齿圆柱齿轮计算公式得到的结果基本一致。

4 结语

图9 载荷等效应力图Fig.9 Von M ises Picture of the Load

（1）精确的轮齿有限元模型不仅需要高精度节点，还需要划分高质量网格单元。本文提出的三维有限元映射网格自动生成方法可以精确计算齿面点坐标；在旋转投影平面划分网格，映射到齿面上构建六面体八节点单元。

（2）齿轮有限元网格模型的生成与齿轮的力学特性有直接关系，建立的网格模型能更真实地反映齿轮的几何形态特征。因此，可以通过对网格模型的研究来模拟分析齿轮受载时的应力状况。

［1］杨汾爱，张志强，龙小乐，等.基于精确模型的斜齿轮接触应力有限元分析［J］.机械科学与技术，2003，22（2）：206－208.

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[责任编辑 胡修池]

TH132.41

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10.13681/j.cnki.cn41-1282/tv.2016.04.013

2016-04-20

何昕（1989－），男，河南开封人，硕士研究生，主要从事机械设计方面的学习与研究工作。