基于真实乳腺模型的感应式磁声成像正问题

张 帅 侯琬姣 张雪莹 杨红双 徐桂芝

（河北工业大学河北省电磁场与电气可靠性重点实验室 天津 300401）

基于真实乳腺模型的感应式磁声成像正问题

张 帅 侯琬姣 张雪莹 杨红双 徐桂芝

（河北工业大学河北省电磁场与电气可靠性重点实验室 天津 300401）

感应式磁声成像（MAT-MI）是一种融合电阻抗成像和超声成像的多物理场成像技术。生物体结构复杂，对生物体MAT-MI研究具有重要意义和临床应用价值。正问题计算是MAT-MI的前提和基础，以MAT-MI建模与正问题求解为研究对象，分析了MAT-MI中磁声耦合问题的原理，构建了真实乳腺模型；利用广义有限元法求解了电磁场和声场正问题，获取了声源、声压分布，并对计算结果进行了误差分析。结果表明：真实模型与理想同心球模型相比，涡流密度和声源的分布、声压均发生了较大变化，在临床应用的图像重建中应予以足够重视。该计算方法可适用于真实模型MAT-MI正问题的求解，计算精度较高。

感应式磁声成像 真实乳腺模型 正问题 涡流分布 广义有限元法

0 引言

目前，乳腺癌已成为我国女性最常见的恶性肿瘤之一，居女性恶性肿瘤死亡率的首位[1]。以大中城市的发病率为最高，现已步入每年2%～3%的快速增长期。乳腺癌早期很少转移，经手术治疗后，其10年的生存率可达90%以上，因此，乳腺癌的早期筛查非常重要。早发现、早治疗能有效降低乳腺癌死亡率。目前常用的乳腺癌诊断设备（X射线、超声成像、红外成像、MRI等）不易区别早期肿瘤的良性与恶性，对于致密型乳腺检查准确率不高，有些检测伴有电磁辐射且设备昂贵。这些不足限制了现有乳腺诊断设备作为乳腺癌早期筛查工具的广泛应用。

正常与病变组织之间电特性差异较大，乳腺组织的电特性检测可提供被检部位生理和病理信息[2]。感应式磁声成像（Magnetoacoustic Tomography with Magnetic Induction，MAT-MI）是一种以生物组织电导率为成像目标，融合了超声成像的功能成像技术，不仅具有非侵入性，而且兼具电阻抗成像良好的对比度与超声成像高空间分辨率两种优势[3]。

与电阻抗成像、磁感应成像、磁共振电阻抗成像、磁声成像、磁生电成像[3]和霍尔效应成像等方法相比，MAT-MI可克服“屏蔽效应”，甚至可穿透颅骨；MAT-MI对磁场均匀性和稳定性的要求更低，可降低费用并易于实现小型化。

近20年来，国内外学者针对MAT-MI作了一系列研究工作。B. J. Roth等以均匀导电球体为模型进行磁声成像方法研究，利用电流偶极子源简单分析了其声源产生机制[4]。明尼苏达大学的Xu Yuan等于2005年提出了MAT-MI理论[5]，计算了各向同性电导率球模型正问题声源，并分析了声压分布，应用时间反演算法重建了声源；利用仿体实验实现了不同电导率边界区域的重建。Li Xu等使用双层球模型进行MAT-MI仿真，应用标量电势和矢量磁势规律分析了双层同心球模型内的感应涡流场，并由差分离散公式∇⋅(J×B)计算了其数值解[6]。Ma Qingyu等将二维对称多层均匀电导率样本置于均匀分布的静磁场和激励磁场中，计算推导了二维对称模型的声源计算公式；利用声场传递函数，计算了模型的空间声场分布；针对多层介质进行了MATMI的声源重建[7]。Xia Rongmin等应用谐函数展开法推导了由理想矢量声压信号重建声源公式[8]。2013年，L. Mariappan等提出利用矢量源重建电导率的方法，由声压信号通过矢量成像点传播函数获得感应电流，进而估算电导率分布图像[9]。

在国内，中国科学院电工所对磁声成像技术进行了系统研究，如利用声压-速度耦合方程、位移方程和弱形式处理洛伦兹力散度声源三种方法，对MAT-MI正问题进行了模拟[10]，设计了脉冲激励磁场[11]。Guo Liang等利用互易定理研究了磁声电成像方法[12]。中国协和医科大学在MAT-MI模型[13]、基于声换能器特性正问题求解[14]和样本导电边界提取等方面开展了深入的研究工作。李珣等利用时间反演算法进行了电导率各向同性MAT-MI模型正问题计算[15]。周廉等提出了积分法处理出现奇异值电导率边界的重建算法[16,17]。李宜令等研究了磁感应磁声成像的洛伦兹力重建问题[18]。郭余庆等利用声偶极辐射模型解释了边界信号和反相振动问题[19]。河北工业大学的Zhang Shuai等采用广义有限元法，对MAT-MI正问题进行了数值求解，有效地提高了计算精度[20]。

MAT-MI因其多场成像的特点，同时具备超声边界成像高空间分辨率和电特性功能成像高时间分辨率的优势，在乳腺特别是致密型乳腺检测与成像中具有独特的优势。已有文献报道中，大多以理想球、同心球、偏心球、椭球等规则形态为模型进行研究。但生物体结构复杂，基于规则模型的仿真结果往往会有较大偏差。因此，本文构建了三维真实乳腺模型，对MAT-MI正问题进行仿真分析。重点考察模型形态差异对MAT-MI正问题计算中涡流密度分布、声源和声压幅值的影响，获取了高精度MAT-MI正问题数值解，为后续电导率图像的精确重构奠定了基础。本文工作成果有望将MAT-MI的研究向临床应用推进一步，为该技术的临床应用奠定良好基础。

1 MAT-MI理论基础

MAT-MI的原理为：将被检测样本置于静态磁场和时变磁场内，因时变磁场的激励，在样本中感应出涡流；涡流与上述静态磁场相互作用产生洛伦兹力，在组织内引起声振动并以超声波的形式向外传播；由超声换能器收集这些声信号，依据相应的算法，可实现对样本内电导率分布的重构。

MAT-MI正问题是指由超声信号产生的机制（主要包括由已知样本的几何结构、电导率分布、激励信号时频特性和空间分布特性），求解样本周围的声压信号。

将各向同性电导率σ(r)的样本（r是位置矢量）放置在磁通密度为B0(r)的静磁场内，该静磁场通常由永磁体（如钕铁硼）[21,22]提供。时变的激励磁场为B1(r,t)，亦可通过矢量磁位A(r,t)的旋度表示，即B1(r,t)=∇×A(r,t)[23]。在MAT-MI中，通常使用μs级的电流脉冲激励，故感应电磁场可看作准静态场[24]。进而将时变场表示为空间变量r和时间t的函数，即B1(r,t)=B1(r)f(t)、A(r,t)=A(r)f(t)。此外，由于生物组织在MHz频率附近位移电流远小于传导电流，可忽略位移电流的作用，仅考虑组织传导特性而忽略其介电特性。

2 仿真

本文通过建立同心球模型和真实乳腺模型，进行了正问题仿真和对比分析。

2.1 同心球模型MAT-MI正问题计算

同心球模型球心位于（0.015, 0.017, 0）（m），内层球半径r1=0.01m，外层球半径r2=0.05m，内层球电导率σ1=0.9S/m，外层球电导率σ2=0.04S/m。利用与传统有限元[25-27]不同的广义有限元分析方法[20]进行数值计算与仿真，以均匀介质、静磁场均匀分布为基础，仿真样本内涡流场分布，进而求解声源、声压分布，最后基于声速不变的条件求解样本周围声压分布。激励磁场频率为500kHz，脉宽为1μs，静磁场强度为1T。

在z=0平面内，感应涡流矢量的x方向分量Jx和y方向分量Jy、声源As和0°位置声压p(r,t)的计算结果如图1～图3所示。其中，声压的求解通过式（11）来完成。由图1可见，感应电流在内部高电导率区域（内球）较集中，外周幅值大，内部幅值小，且在外周向内部有减小趋势。由图2可知，肿瘤所在位置声源与其周围声源差异显著，内外声源幅值之比为22.49，与电导率之比22.5非常接近。由图3可见，声压信号序列有四个明显的负向峰值、一个明显的正向峰值，且四个负向峰值出现的时间与模型内外边界和声速有严格的对应关系。

为了验证所采用的一阶广义有限元法数值求解的精度，将数值解与同心球模型涡流矢量的解析解[6]进行了对比分析，如图4a所示；两者的相对误差如图4b所示。下文的数值计算均采用与同心球模型相同的网格密度，可保证求解的精度。

图1 涡流密度分布Fig.1 The distribution of eddy current

图2 声源As分布Fig.2 Distribution of acoustic sourceAs

图3 0°位置声压p仿真曲线Fig.3 Diagram of acoustic pressurepat 0°

图4x=-0.015m处涡流数值解与解析解的对比Fig.4 Comparison between numerical and analytical solutions of eddy current atx=-0.015m

2.2 三维真实乳腺模型

利用乳腺MRI断层图像建立真实乳腺三维模型，步骤如下：①读取MRI乳腺断层图像数据；②逐层对图像进行预处理、腐蚀、膨胀、开运算和闭运算，以得到图像的外部轮廓；③图像网格划分，使每层都分割成具有相同数目的网格，并将二维图像构成三维乳腺实体。

在模型内设置肿瘤组织，并对模型进行广义有限元离散，建立的三维模型如图5所示。

2.3 肿瘤参数改变对正问题的影响

2.3.1 肿瘤半径

设置乳腺组织的电导率参数σ2=0.04S/m，肿瘤组织的电导率参数σ1=0.9S/m，肿瘤中心位置为（-0.015, 0.017, 0）（m）。改变肿瘤半径大小，即ra=0.01m、rb=0.005m、rc=0.002 5m，分别计算z=0平面内，x方向涡流密度分量Jx、y方向涡流密度分量Jy、声源As和0°位置声压p，仿真结果分别如图6～图9所示。

图5 真实乳腺三维广义有限元模型Fig.5 3D generalized finite element model of real breast

由图6～图9可以看出，肿瘤大小的改变，对感应涡流密度的分布及幅值产生了较大影响，从而导致声源、声压的分布及大小也发生了相应的改变，内部声源边界形态反映了肿瘤的边界形状。图6、图7中，肿瘤半径越大，感应涡流越集中在肿瘤位置。图7a～图7c的内外声源比分别为22.04、21.99和20.43，与内外电导率之比22.5均非常接近，虽有一定程度的降低，但仍有足够的分辨力。图9所示的声压仿真曲线，第一和第四负向波峰幅值和相位保持了相对稳定；第二和第三负向波峰的幅值随肿瘤半径的变小而减小；但正向波峰特征很明显，即使在肿瘤半径最小的图9c中依然能清晰地将其分辨出。

图6 肿瘤半径对涡流密度分量Jx分布的影响Fig.6 Effect of tumor radium on distribution of eddy currentJx

图7 肿瘤半径对涡流密度分量Jy分布的影响Fig.7 Effect of tumor radium on distribution of eddy currentJy

图8 肿瘤半径对声源As分布的影响Fig.8 Effect of tumor radium on distribution of acoustic sourceAs

图9 肿瘤半径对0°位置声压p仿真曲线的影响Fig.9 Effect of tumor radium on diagrams of acoustic pressurepat 0°

2.3.2 肿瘤电导率

设置肿瘤半径r=0.01m，肿瘤中心位置为（-0.015, 0.017, 0）（m），乳腺组织的电导率参数σ2=0.04S/m。改变肿瘤电导率参数，即σ1a= 0.9S/m、σ1b=0.45S/m、σ1c=0.2S/m，分别计算z=0平面内，x方向涡流密度分量Jx、y方向涡流密度分量Jy、声源As和0°位置声压p，仿真结果分别如图10～图13所示。

图10 肿瘤电导率对涡流密度分量Jx分布的影响Fig.10 Effect of tumor conductivity on distribution of eddy currentJx

图11 肿瘤电导率对涡流密度分量Jy分布的影响Fig.11 Effect of tumor conductivity on distribution of eddy currentJy

图12 肿瘤电导率对声源As分布的影响Fig.12 Effect of tumor conductivity on distribution of acoustic sourceAs

图13 肿瘤电导率对0°位置声压p仿真曲线的影响Fig.13 Effect of tumor conductivity on diagrams of acoustic pressurepat 0°

由10～图13可看出，肿瘤电导率的改变，对感应涡流密度的分布与幅值也有影响，从而导致声源、声压曲线发生了相应改变。由图10、图11发现，肿瘤电导率越大，在肿瘤位置及附近区域涡流密度的幅值也越大。图12a～图12c的内外声源比依次为22.04、10.59和4.69，与内外电导率之比22.5、11.25和5非常接近。图13所示的声压仿真信号中，正向波峰幅值随肿瘤电导率的减小而略有减小，四个负向波峰相位均保持了稳定，其中第三负向波峰幅值随电导率的减小，分别减小了57%和90%，反映了电导率的下降幅度（分别为50%和78%）。

2.3.3 肿瘤位置

设置肿瘤半径r=0.01m，乳腺组织的电导率参数σ2=0.04S/m。肿瘤组织的电导率参数σ1= 0.9S/m，改变肿瘤中心位置，即a（-0.015, 0.017, 0）、b（0, 0, 0）、c（-0.03, 0.025, 0）（单位：m），分别计算z=0平面内，x方向涡流密度分量Jx、y方向涡流密度分量Jy、声源As和0°位置声压p，仿真结果分别如图14～图17所示。

由图14～图17可看出，肿瘤位置的改变，对感应涡流密度的幅值、分布均有较大影响，从而导致声源分布、声压也发生了较大改变，且声压曲线的峰值特征也很明显。图16a～图16c内外声源比依次为22.04、22.09和22.14，与内外电导率之比22.5非常接近，且保持相对稳定。图17中，正向波峰的相位发生了明显变化，第二和第三负向波峰的相位也发生了改变。其中，图17b中第二负向波峰幅值显著高于第三负向波峰幅值，图17c中第三负向波峰幅值显著高于第二负向波峰幅值，两者幅值的相对差异反映了肿瘤与乳腺边界的相对位置。

图14 肿瘤位置对涡流密度分量Jx分布的影响Fig.14 Effect of tumor position on distributions of eddy currentJx

图15 肿瘤位置对涡流密度分量Jy分布的影响Fig.15 Effect of tumor position on distributions of eddy currentJy

图16 肿瘤位置对声源As分布的影响Fig.16 Effect of tumor position on distributions of acoustic sourceAs

图17 肿瘤位置对0°位置声压p仿真曲线的影响Fig.17 Effect of tumor position on diagrams of acoustic pressurepat 0°

3 结论

本文建立了真实乳腺广义有限元模型，针对模型内部肿瘤不同的半径、电导率和位置三个参数，分别进行了感应涡流密度分布、声源和声压的计算，得到了涡流密度两个正交分量、声源分布和声压仿真曲线。仿真结果表明，肿瘤大小、电导率以及位置的改变，对感应涡流密度的分布及幅值均有影响，从而导致声源、声压也有一定程度的改变。由声源分布可以清晰地分辨出肿瘤所在位置，且声压曲线特征明显，为下一步进行MAT-MI逆问题精确求解创造了必要条件。

目前，MAT-MI技术的研究大多采用规则模型展开，例如，球模型、同心球模型、偏心球模型、椭球模型等。然而，生物体器官（如乳腺、头部等），外部形态和内部结构相对较复杂，因此，模型的逼真程度对MAT-MI技术的研究和临床应用具有重要意义。从本文仿真研究结果看出，模型外部形态差异将直接导致感应涡流密度分布及大小的变化，而在数值计算中，声源与声压的计算都基于感应涡流密度而进行的；同时，逆问题中样本电导率的重建依赖于精确的声源和声压信号。因此，建立真实乳腺模型能够获取更符合实际的声源和声压信号，可为后续准确地重构电导率图像提供必要的参考数据，并奠定了坚实的基础；同时也将MAT-MI技术向临床应用推进一步。

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Forward Problem in Magnetoacoustic Tomography with Magnetic Induction Based on Real Model of Breast

Zhang Shuai Hou Wanjiao Zhang Xueying Yang Hongshuang Xu Guizhi
（Key Laboratory of Electromagnetic Field and Electrical Apparatus Reliability of Hebei Province Hebei University of Technology Tianjin 300401 China）

Magnetoacoustic tomography with magnetic induction (MAT-MI) is a new type of multi-physical, functional imaging modality, which combines the electrical impedance tomography with the sonography. Due to the complex structure, the MAT-MI imaging problems based on real model is of scientific and clinical significance. Wherein, the forward solver is the foundation of MAT-MI imaging. This paper addressed the problem for the modeling and forward solution of MAT-MI. The principle of coupling problem in MAT-MI was analyzed, and the real model of breast was reconstructed. Using generalized finite element method (GFEM), the forward problems of electromagnetic field and acoustic field were solved based on the real model of breast. The distributions of the acoustic source and acoustic pressure were obtained. The results show that in the real model, the distributions of the eddy current density and the acoustic source, as well as the profile of the acoustic pressure, changed remarkably, compared with the ideal two-layer concentric spheres model. It is suggested that the effects of the real model should be taken into account for image reconstruction in clinical application. Thanks to the high accuracy, the calculation method in this paper is applicable to solve the forward problem of MAT-MI.

Magnetoacoustic tomography with magnetic induction, real model of breast, forward problem, eddy current distribution, generalized finite element method

TM12

张 帅 男，1978年生，博士，副教授，研究方向为生物电磁技术。

E-mail: zs@hebut.edu.cn

徐桂芝 女，1962年生，博士，教授，研究方向为生物电磁技术。

E-mail: gzxu@hebut.edu.cn（通信作者）

国家自然科学基金（51077040），河北省自然科学基金（E2015202292、E2015202050），河北省高层次人才项目（C2015005012），河北省重点研发计划自筹项目（15272002、15275704）和河北省高等学校自然科学青年拔尖人才项目（BJ2016013）资助。

2016-04-13 改稿日期 2016-05-23