分类讨论思想在等腰三角形中的运用

2017-01-23 08:10黄学财
新课程(中学) 2016年11期
关键词:顶角格点等腰三角

黄学财

(江西省赣州中学)

分类讨论思想在等腰三角形中的运用

黄学财

(江西省赣州中学)

数学思想方法对数学教学有着重要的促进和指导作用,它不仅是学生形成良好认知结构的纽带,还是由知识转化为能力的桥梁,是培养学生数学意识,形成优良思维素质的关键。很多学生不太重视数学思想方法,只是一味做题,不会总结,很难达到“懂一题、晓一类、通一片”,因此要有加强数学思想方法教学的意识,并在数学教学过程中不断挖掘和渗透。

等腰三角形;分类讨论;坐标系;周长

考查等腰三角形的题目时,学生很容易漏解,主要是学生没有认真分析题意,或者是没有考虑周全,解题经验还不够丰富。我们在平时的教学中要多提醒学生,即考查等腰三角形的题目,一般都会指明哪两条边相等,如果不指明就要分类讨论,分类讨论在等腰三角形中的运用非常广泛,如等腰三角形没有指明腰,或者指明了腰,但没有给图,就要分顶角为锐角或钝角,下面我们通过例题来展现分类讨论思想在等腰三角形中的运用。

一、等腰三角形涉及边的问题时,可以按照“腰”和“底边”来分类讨论,但要利用三角形三边关系来判断三角形是否存在

例1.(1)等腰三角形有两边长为4cm和7cm,则周长为_______厘米。(15cm或18cm)

(2)等腰三角形的周长为24cm,一边长为6cm,则其余两边长为_______厘米。(9cm和9cm)

练习1:等腰三角形有两边长为3cm和7cm,则周长为____厘米。(答案:17cm)

二、等腰三角形中涉及“高”的内角求解问题,可以按照三角形类型分类讨论

此时学生最容易犯的错误是画一个顶角是锐角的等腰三角形,导致漏解,这一点也提醒我们老师在教学中应多画顶角是钝角的三角形,才不会形成思维定式。

例2.ΔABC中,AB=AC,CD为AB上的高,且ΔADC为等腰三角形,则∠BCD等于_______.(22.5°或67.5°)

练习2:等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半,则顶角的度数是_______.(30°或150°)

三、在等腰三角形内角求解的问题中,可以按“顶角”“底角”来分类讨论

例3.已知一个等腰三角形的两内角度数之比为1∶4,则这个等腰三角形顶角的度数为______(20°或120°)

练习3:等腰三角形的一个外角等于100°,则这个等腰三角形的顶角为_______.(80°或20°)

四、在等腰三角形中涉及中线的问题,也需要分类讨论

例4.已知一个等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成15和6两部分,求这个等腰三角形底边的长。(1)

练习4: 已知一个等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成9和12两部分,求这个等腰三角形底边和腰的长。(当腰长是6cm时,底边长是9cm;当腰长是8cm时,底边长是5cm)

五、在方格纸或平面直角坐标系中,给出等腰三角形其中一线段或两个顶点的坐标,未指明是腰还是底边,求等腰三角形第三个顶点的个数或坐标

例5.用3×3的正方形网格中,网格线的交点称为格点,已知A、B是两格点,并且A、B在最中间小正方形的相对格点上,如果点C也是图中的格点,且使得ΔABC为等腰三角形,则点C的个数为_______.(答案:8)

练习5:在平面直角坐标系中,点A在第一象限,A(2, 1),点P在x轴上,若以P,O,A为顶点的三角形是等腰三角形,则满足条件的点P共有_______个。(答案:4)

本题还可发散为点P在坐标轴上,则符合条件的点P有几个?

六、等腰三角形与四边形的结合问题,求相关线段的长度

例7.在边长为4的正方形ABCD中,点P在AB上从A向B运动,连结DP交AC于点Q.若点P从点A运动到点B,再继续在BC上运动到点C,在整个运动过程中,当点P运动到什么位置时,ΔADQ恰为等腰三角形.

(分析:若ΔADQ是等腰三角形,则有DA=DQ或QD=QA或AQ=AD

①当点P与点C重合时,点Q与点C也重合,此时DA=DQ,ΔADQ是等腰三角形;

②当点P运动到与点B重合时,由四边形ABCD是正方形知QD=QA,此时ΔADQ是等腰三角形;

③设点P在BC边上运动时,有AD=AQ,可算出当CP=4 2

■ -4时,ΔADQ是等腰三角形.)

总之,学习等腰三角形,必须熟练运用等腰三角形的性质,看到等腰三角形题目要能联想到它的性质,如,等边对等角、三线合一,还有等腰三角形容易出现分类讨论,要让学生养成分类讨论等数学思想在等腰三角形中的应用。

[1]常汝吉.数学课程标准[M].北京师范大学出版社,2011.

[2]林群.教师教学用书[M].华东师范大学出版社,2013.

·编辑 孙玲娟

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