由一道教师业务考试题引发的思考

新疆乌鲁木齐市第八中学 李昌成 (邮编：830002)

由一道教师业务考试题引发的思考

新疆乌鲁木齐市第八中学 李昌成 (邮编：830002)

2017年10月14日,新疆进行了第三届教学能手专业测试.其中一道解析几何小题引起了准教学能手们的关注.我做了一些思考,或许有抛砖引玉的功效,与大家分享于此.

1 题目

2 分析

这道题之所以被关注,可能是因为点P位置不确定,数量关系不明确.我们可以判断点P位于第二或三象限,绝不可能在第一、四象限.由于双曲线具有对称性,不失一般性,我们选定点P在第二象限,这样解决了位置问题.至于数量关系,可以从不同角度挖掘,当然也就增加了难度,也是本题的核心.众所周知,解析几何的本质是用代数方法研究图形的几何性质.因此,本题可以从代数和几何两个角度研究本题.

3 解法探究

3.1 从代数的角度入手

解法1 从曲线与方程的关系入手(点在曲线上,点满足曲线的方程),题目中已知点P在曲线上,利用曲线与方程的关系求解是自然而然的事,完全符合思维逻辑.我们可以利用等面积法,寻找点P坐标.设点P(x0,y0)根据焦点三角面积公式和直角三角形面积公式,可以得借助PF1与渐近线平行得,所以代入双曲线方程得b＝2a,e＝

解法2 本题还可以利用相似三角形找点P坐标,设点P(x0,y0),由相似三角形得,得b＝2a,e＝5.若再去寻找纵坐标,走解法1的路,就把问题弄复杂了.

这种利用曲线与方程的关系,求解离心率的题,在高考中比比皆是.有图象的支撑,容易找到解题思路,当然也有一定的运算量,是训练解析几何基本功的好素材,我们变形再练练.

11的离心率为( ).(请读者完成)

解法3 本题明显在做焦半径的文章,于是顺水推舟,利用焦半径作答,也不失为一个好办

法.设点P(x0,y0),由相似三角形得,在Rt△F1PF2中,结合焦半径公式和勾股定理得 (2c)2＝(－a－ex0)2＋(a－ex0)2,e＝5.

从上面解答中可以发现x0的表现形式有多种,每种运算也是不同的,甚至出现夭折现象,代数运算能力决定结果,或许这算是解析几何的一大特色,不一样的选择,不一样过程,展示不一样的水平.再变式练练.

3.2 从几何的角度入手

如果说上面的几种解法都有大小不等的运算量,会有运算失误的可能,那么从几何的角度思考就非常有必要.我们研究平行、垂直,都有代数(向量)、几何两套办法.它们有异曲同工之妙.解析几何本质也是几何,从几何入手应该是一种常态.

解法5 从双曲线的性质入手,双曲线的焦点到渐近线的距离为b,即 NF2＝b,由中位线知PN ＝b,PF2＝2b,以及 ON＝a,

PF1＝2a,再由双曲线的定义知,PF2－

PF1＝2a,所以 PF1＝2b－2a,于是2b－2a＝2a,所以b＝2a,e＝ 5.

这种两种方法,均从几何角度入手,巧妙的避开了运算,当然增加了思维量.思维代替了运算,思维提高了解题的品质,思维也增加了解题的安全系数,值得提倡.灵活运用几何知识解题.

4 解后思考

求离心率通常可以从代数和几何的角度入手,但是方法不同,思维量不同,运算量不同,可以说不同的方法给带来的“麻烦”不同,解析几何是几何,用几何办法相对简洁.另外,求离心率本质就是找a、c的关系,这是这类题的难点所在.往往a、c关系不明确,需要我们去寻找,去建立,当然入口不唯一,但是不容易找到最简洁的一个.从以上研究发现,在本题中,解法2、3、4、5均不错,第一种解法最容易想到,但实际上最麻烦.我们不仅要教会学生解题,更要注意教会学生因题而异,选择最简办法.这是质量提升工程,非一日之功.

离心率的求解通常有两种,一种是求值,一种是求范围.求值的方法有：(1)找到a、c的值,利用e＝求解;(2)构建a、c的齐次式,通常为一次齐次或二次其次,在构造e＝整体求解;(3)利用离心率的定义和圆锥曲线的定义求解;(4)利用几何关系求解;(5)利用圆锥曲线的统一定义求解.求范围通常是建立关于e不等式,求e的范围,此类问题需建立不等式,往往更难.

求离心率的问题是一个综合问题,牵涉的面比较广,用到的知识比较多,可用的技巧也丰富,教无定法,学无诀窍,我们只有多思考,多总结,多实战,方可做到得心应手.

1 张俊.一道期末试题的解答与思考[J].中学数学教学,2017(4)：43-46

2017-10-20)