高中数学数列问题的解题技巧探究

2017-02-16 12:25王启新
文理导航 2017年2期
关键词:数列解题技巧高中数学

王启新

【摘 要】高中数学数列问题是必修课的难点,掌握数列的解题技巧对自如应对高考中的数列问题尤为重要。本文在分析高考数列常见题型的基础上,详细阐述了八种数列解题技巧。

【关键词】高中数学;数列;解题技巧

数列问题是高中必修课程中的重难点,是高中数学的重要环节,在整个高中数学知识体系及高考命题中都占据着十分重要的地位,近些年,数列课程比重日渐增多,高考中经常出现创新题型,因此,在学习中掌握高考数列的命题规律及解题相关技巧显得尤为重要。

一、数列基础知识一定要掌握牢

从2003年实行新课标后,数列就被列入到必修五教材中,数列在教材中重点是等差等比数列的概念,通项及前n项和公式及应用,数列与函数的关系等;难点是等差等比数列的通项及前n项和公式的灵活应用,求一些特殊数列的前n项和等;关键是等差等比数列的基本元素(a1,an,Sn,d,q)间的换算及恒等变形。

二、数列知识在高考中的地位一定要明确

数列知识是高中数学教材中的一个独立章节,具有十分重要的地位,是必考内容,无论是全国卷还是省卷都占据一席之地。

数列近三年在高考中的出题方向及趋势是:一般数列问题会有5-15分值,如果两道题常出现在选择和填空中,一般考查基础知识,分值为10分。若出现在解答题中,一般一道题,分值一般为10-15分。解答题近两年在全国理科卷里出现的情况较少,但对于今后的学习却不课忽视,因为数列在今后的数学学习中起着基础作用,我们断不可轻视。

三、数列的常用解题技巧

(一)掌握数列常用的数学思想

数学思想方法成为近两年高考考查重点,在解决数列问题时常用到的思想方法有:方程思想、等价转化思想、类比思想、函数思想、不等式思想、分类讨论思想等。解题不要囿于一种数学思想,两种数学思想混合应用的情况很常见。

如2013年的大纲卷(理)17题(10分):等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=a22,且S1,S2,S4成等比数列,求{an}的通项式。

这道题就是主要考查等差数列的通项、 前n项和公式,以及利用裂项相消法求前n项和;考查的数学思想就是方程思想、转化思想及逻辑思维能力的。

如2016年全国II卷,(理)17题(12分):Sn等差数列{an}的前n项和,且a1=1,S7=28,bn=[lgan],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg99]=1。(I)求b1,b11,b101;(II)求数列{bn}的前1000项和。也是考查等价转化思想及分类讨论思想的应用。

(二)掌握数列的性质

数列作为一种特殊的函数,因此它具有函数的性质,比如单调性、最值、周期性等等,数列的函数性质,作为数列与函数的交汇点的知识考查,是近几年高考试题的热点,也是考查学生综合能力的出发点。

1.数列的单调性

数列的单调性是指:一般的,如果数列{an}满足,对于任意的正整数n,都有an+1>an(或an+1

如2013年全国II卷(理)16题(5分):等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S10=0,S15=25,则nSn的最小值为_______。就是考查等差数列的前n项和公式以及通过转化利用函数的单调性判断数列的单调性来做答。

2.数列的周期性是指:对于数列{an}如果存在确定的数T和n0,(T≠0,n0∈N+)使得n≥n0恒有an+T=an,则称{an}是从第n0项起周期为T的数列

在高考中对数列周期性的考查主要涉及到以下两种形式的题目:(1)已知周期,求数列中的项;(2)已知数列,求周期进而解决其他问题。

2014年全国II卷,(文)16题(5分):数列{an}满足an+1= ,a2=2,则a1=_________。该题是填空题的压轴题,主要考查数列的递推关系式,且无法转化成特殊的数列,则可通过递推关系式求出数列中的若干项,发现数列的周期性特点,从而得到所求。

另外,数列的最值在高考中考查的次数较少,这里就不赘述了。

(三)数列的解题方法

1.熟练基础方法

通项与求和公式的直接应用,只要理解并熟用等差等比数列的通项公式及求和公式即可。

2.求数列的通项公式

累差叠加,累商叠乘法是高考中常用的方法,从而考查对数列的掌握情况。

3.划归转化法解题

化归转化技巧就是把一些不能直接解的数列问题转化为简单的、已知的问题来求解。例如把数列问题转化成等差、等比数列的问题求解;或者把数列问题转化为函数问题求解;把数列的通项公式和求和公式看成是n的函数。

如2014辽宁高考(理)8题,(5分)设等差数列{an}的公差为d,若数列{2 an}为递减数列,则( )

A.d<0牘 B.d>0牘 C.a1d<0牘 D.a1d>0

主要考查等差数列的通项公式,函数的单调性等知识,体现了对数列和函数的综合考查。

4.运用公式由sn求an

这种类型的题目常给出Sn与n的关系,或者Sn与an的关系,进而求数列的通项公式。可利用公式

anS1 n=1

Sn-Sn-1 n≥2 求其通项。

5.用数学归纳法求数列的通项公式

数学归纳法常常也用在求解数列通项公式类型的题目中,在由递推公式求数列的通项时,如果常规的方法难以解决,那么通常可以采用“数学归纳法”。如2008年辽宁卷(理)21题(12分),数列{an},{bn}中,a1=2,b1=4,且an,bn,an+1成等差数列,bn,an+1,bn+1成等比數列(n∈N )

(Ⅰ)求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜测{an},{bn}的通项公式,并证明你的结论;

(Ⅱ)证明:++…+<。

此题是考查等差数列,等比数列知识,综合运用合情推理通过观察,找出规律,提出猜想,再利用数学归纳法证明来解题。

6.裂项相消法

裂项相消是分解和组合思想在数列求和中的应用,其实质是将数列中的每一项(通项)分解,然后重新组合,使之能够消去一些项,最终达到求和的目的。

2015年全国I卷(理)17题(12分),Sn为数列{an}的前n项和。已知an>0,an2+an=4Sn+3。

(Ⅰ)求{an}的通项公式;

(Ⅱ)设bn=,求数列{bn}的前n项和。

此题是考查利用an与Sn的关系求数列的通项公式以及裂项相消法求和,先利用an与sn的关系,an=Sn-Sn-1(n≥2)推导出数列{an}的通项公式,然后利用裂项相消法求数列{bn}的前n项和即可。

7.錯位相减求和法

在推导等比数列前n项和公式时采用的是错位相减的求和方法,该方法中“相减”突破了学生以往“求和即相加”的固有思想,高考中常会遇到。

由于错位相减法计算量较大,学生在考场上有限的时间里很容易因为计算失误失分,提高计算的准确性尤为重要。

8.放缩法解决数列不等式

放缩法是不等式证明的一种基本方法,而数列不等式也常常通过放缩法来证明。通常我们把数列的通项放缩成可求和或可求积的数列,进而证明结论。

2014年全国II卷(理),17题,(12分)已知数列an满足a1=1,an+1=3an+1。

(I)证明:{an+}是等比数列,并求{an}的通项公式;

(II)证明:++…+<。

此题是考查数列的递推关系,不等式的证明及数列求和等知识,而不等式的证明就用到了放缩法进行处理,一是求和中的放缩;二是求和后比较中的放缩。一般情况,数列求和中的放缩的“目标数列”为“可求和数列”,如等比数列,可裂项相消法求和的数列等。

除以上方法外,还有分组求和法、利用构造法和单调性、归纳法解决数列不等式问题。

四、考点变化

等比数列的考点仍是基本量的计算,等差数列的难度略有下降,递推数列的设置难度略有提高,位于填空题的压轴位置,这对今后的数学学习起到一定的引导作用,就要求我们除了要有准确的计算能力,更应重视方法的研究。

【参考文献】

[1]赵昱.数列问题的教学思考.辽宁师范大学硕士学位论文,2013年

[2]华玲蓉.2010年高考数列问题类型及解题策略.基础教育论坛,2010年11期

[3]张维娟.高考中数列问题的解题技巧与教学研究.西北大学硕士学位论文,2015年

[4]白晓杰.新课标下高中数学数列问题的研究.河南师范大学硕士论文,2013年

猜你喜欢
数列解题技巧高中数学
浅谈高中数学线性代数解题技巧与例解
高中数列的几种解题思路分析
高中数学数列试题的解题方法和技巧分析
分部积分公式的解题技巧
数列求和与数列极限
浅谈高中数学教学中数列的教学方法
高中数学数列教学中的策略选取研究
调查分析高中数学课程算法教学现状及策略
基于新课程改革的高中数学课程有效提问研究
数学归纳法在高中数学教学中的应用研究