悬索桥主缆线形计算和绘图实用方法

熊 安 书

(广州地铁设计院有限公司，广东 广州 510010)

悬索桥主缆线形计算和绘图实用方法

熊 安 书

(广州地铁设计院有限公司，广东 广州 510010)

以悬索桥设计为研究对象，介绍了悬索桥主缆中跨与边跨悬链线的理论公式，并阐述了悬索桥主缆线形的计算及绘图方法，指出实际工程中，在吊索集中荷载作用下，主缆线形会发生变化，为防止变形过大，设计应考虑主缆的重力刚度要求。

悬索桥，悬链线，主缆线形，绘图方法

悬索桥设计首先要画出主缆线形才能进行建模试算，而根据悬链线理论公式直接画出主缆线形并不容易，尤其是三跨悬索桥边跨主缆受边界条件影响，线形计算更加复杂，悬链线理论公式需要重新推导，以下从易到难逐步介绍主缆线形计算和绘图实用方法。

1 悬链线方程

一质量均匀分布的绳两端悬挂时绳子所表示的曲线为悬链线，假设一个无限长的质量均匀分布的绳子在重力作用下自然下垂。设绳底端受到拉力为T0，线密度为ρ，重力加速度为g。如图1所示建立直角坐标系，设绳对应的函数为y=f(x)，对于横坐标从0～x这一段的绳，设质量为m，长度为L，受重力为G，受顶端拉力大小为T，该力倾斜角为θ，该段绳受三力平衡：T，G，T0，画出受力示意图，有G/T0=tanθ。

经推导(过程略)可得：悬链线方程为y=kcosh(x/k)-k，其中，k=T0/ρg。

2 悬索桥中跨主缆线形计算与绘图实用方法

悬索桥中跨主缆无应力线形为悬链线，实际工程设计方案之初，由于尚未计算，T0未知，甚至主缆粗细待定、主缆线密度未知，参数k未知，则无法直接利用悬链线公式计算悬链线坐标，但通过设定塔高、主缆垂度，则主缆线形是确定的，即此时悬链线方程中k为常数。

1)以主缆中跨中点为坐标系原点，已知主缆与桥塔理论交点为(x1，y1),即为悬链线方程的一组解，在EXCEL中以k为变量，先任意输入一常数(如1.0)，按悬链线公式求出x=x1时对应的y，然后利用EXCEL中单变量求解功能，设定y目标值为y1，以k为变量，即可求出k值。

2)按第一步求出的k值，在EXCEL中x以任意间距(如1 m)为步长增加，求出对应y值，形成坐标点，并复制到剪贴板，打开CAD，利用PLINE命令，在输入栏“粘贴”坐标数据，即可自动连续画出中跨半跨悬链线。

3)示例：结合某25 m+70 m+25 m三跨人行悬索桥，主缆中跨垂度9 m，以主缆中跨中点为坐标系原点，中跨主缆与塔理论交点为(35,9)，在EXCEL中以k为变量，先任意输入一常数(如1.0)，按悬链线公式求出x=35对应的y，然后利用EXCEL中单变量求解功能，设定y目标值为9，以k为变量，即可求出k=69.504 590 51；在EXCEL中x以1 m间距，求出对应y值，形成坐标点。

EXCEL计算表格如表1所示。

表1 EXCEL计算表(一)

将EXCEL中坐标数据复制到剪贴板，打开CAD，利用PLINE命令，输入栏粘贴坐标，即可自动连续画出中跨半跨主缆线形图，如图2所示。

3 边跨悬链线方程

悬索桥边跨主缆由于边界条件变化，是非标准的悬链线方程，详细推导过程如下：

设边锚固点为坐标系原点，该点受主缆轴向锚固力T0，与水平方向夹角为θ0，实际工程应用中该θ0需要设计事先拟定，故为已知，作为求解悬链线线形的输入参数(见图3)。

由导数的几何意义，tanθ=dy/dx，而G=mg=ρgL，故(ρgL+T0×sinθ0)/(T0×cosθ0)=dy/dx，ρgL=T0×cosθ0×dy/dx-T0×sinθ0。

对上式取微分，得ρg×dL=T0×cosθ0×d2y/dx，而dL=(dx2+dy2)1/2=[1+(dy/dx)2]1/2×dx，代入得：

ρg[1+(dy/dx)2]1/2=T0×cosθ0×d2y/dx2=T0×cosθ0×d(dy/dx)/dx，令dy/dx=P，则：

ρg(1+P2)1/2=T0×cosθ0×dP/dx，ρg/(T0×cosθ0)×dx=dP/(1+P2)1/2。

对两侧取积分，得∫ρg/T0×cosθ0×dx=∫dP/(1+P2)1/2。

ρgx/(T0×cosθ0)=sinh-1P+C1，P=sinh(ρgx/(T0×cosθ0)-C1)。

dy/dx=sinh(ρgx/(T0×cosθ0)-C1)。

当x=0时，dy/dx=tanθ0，代入得sinh(-C1)=tanθ0，由已知的θ0即可求出C1。

故dy=sinh(ρgx/(T0×cosθ0)-C1)×dx。

再次积分，得y=(T0×cosθ0)/ρg×cosh(ρgx/(T0×cosθ0)-C1)+C2。

当x=0时，y=0，故0=(T0×cosθ0)/ρg×cosh(-C1)+C2。

C2=-(T0×cosθ0)/ρ×cosh(-C1)。

设k=(T0×cosθ0)/ρg，则悬链线方程为y=kcosh(x/k-C1)-k×cosh(-C1)。

4 悬索桥边跨主缆线形计算与绘图实用方法

1)先拟定主缆锚固端与水平方向夹角θ0，通过公式sinh(-C1)=tanθ0利用EXCEL中单变量求解功能，反求出C1。

2)以主缆锚固点为坐标系原点，已知主缆与塔理论交点为(x1，y1),即为悬链线方程的一组解，在EXCEL中以k为变量，先任意输入一常数(如1.0)，按悬链线公式y=kcosh(x/k-C1)-k×cosh(-C1)求出x1对应的y，然后利用EXCEL中单变量求解功能，设定y目标值为y1，以k为变量，即可求出k值。

3)按求出的k值，在EXCEL中x以一定步长间距(如1 m)，

求出对应y值，形成坐标点，并复制到剪贴板，打开CAD，利用PLINE命令，在输入栏“粘贴”坐标，即可自动连续画出边跨悬链线。

4)示例：结合某25 m+70 m+25 m三跨人行悬索桥，主缆边跨25 m、垂度12 m，以主缆锚固点为坐标系原点，主缆与塔理论交点坐标为(25,12)，拟定主缆锚固端与水平方向夹角θ0=20°，通过公式sinh(-C1)=tanθ0，利用EXCEL中单变量求解功能，反求出C1=-0.356 381 301；在EXCEL中以k为变量，先任意输入一常数(如1.0)，按悬链线公式y=kcosh(x/k-C1)-k×cosh(-C1)求出x=25对应的y，然后利用EXCEL中单变量求解功能，设定y目标值为12，以k为变量，即可求出k=117.823 903 8；在EXCEL中x以1 m间距，求出对应y值，将x,y组合生成坐标点。

EXCEL计算表格如表2所示。

表2 EXCEL计算表(二)

将EXCEL中坐标数据复制到剪贴板，打开CAD，利用PLINE命令，在输入栏粘贴坐标，即可自动连续画出边跨主缆线形图，并与第2节中跨主缆线形组合生成全桥主缆线形图(如图4所示)。

5 结语

1)本文介绍了悬索桥主缆中跨、边跨悬链线理论公式，并详细介绍了主缆线形计算与绘图实用方法。2)实际工程中，在吊索集中荷载作用下，主缆线形会发生变化，为分段悬链线，为防止变形过大，设计会考虑主缆一定的重力刚度要求。

[1] 邢富冲.悬链线驰垂度计算方法[J].数学实践与认知，2004，34(11)：19-20.

The practical calculation and drawing method of the cable alignment of the cable in the suspension bridge

Xiong Anshu

(GuangzhouMetroDesignInstituteCo.,Ltd,Guangzhou510010，China)

Taking the suspension bridge design as the research target, the paper introduces theoretical formula of major cable medium-span and literal-span catenary of suspension bridge, describes main cable configuration and drawing methods of suspension bridge, and finally points out that: the main cable configuration will change under the concentrated hoisting cable action in actual engineering. Therefore, it is necessary to taking major cable gravity and rigidity demands into consideration in the design in order to preventing extra deformation.

suspension bridge, catenary, main cable configuration, drawing method

1009-6825(2017)01-0172-02

2016-10-30

熊安书(1973- )，男，高级工程师

U448.25

A