合理分类建模是培养学生解题能力的法宝——例谈一元二次方程解答应用题

江苏省启东市长江中学 黄 燕

合理分类建模是培养学生解题能力的法宝
——例谈一元二次方程解答应用题

江苏省启东市长江中学 黄 燕

数学源于生活，又服务于生活，本文作者在引导学生利用一元二次方程解答应用题时，大胆尝试“分类建模”策略，并取得了一定的收获，值得大家予以关注。

增长；利润；几何；分类；解题

数学源于生活，又服务于生活，但涉及应用类的实际问题比较繁杂，不少学生往往被这一表象“震慑”，在解题时经常出现不该发生的错误现象。实际问题是现实生活中不可缺少的组成部分，学生只有掌握正确的解题思路，才能在现实生活中真正感悟学好数学的乐趣。笔者在引导学生利用一元二次方程解答应用题时，采取“分类建模”策略，取得了一定的收获，现浅谈具体措施，期盼大家不吝赐教。

一、增长率问题

最近几年，南通市数学中考命题出现了一种趋势：把“增长率”作为应用题考点的比重有所提升，我们可以从素材的选取、试题的呈现方式、命题的立意和解决问题的方法等方面揭示试题的命题特点。“增长率”问题在人教版初中数学教材中呈现的形式都渗透在“一元二次方程”应用题教学中，主要包括两种模型：一是同一个数量中，经过一次增长（降低）的增长率（降低率）问题；二是同一数量经过两次增长（降低）的问题。面对此类应用题，学生只有把握解题要领，才能找到解决实际问题的有效途径。

例题：黄海村2001年的人均收入为1250元，2003年的人均收入为1500元，求人均收入的年平均增长率。

分析：设人均收入平均年增长率为x，2001年的人均收入为1250元，到2002年底，增添的收入为1250x元，所以，2002年底，共有收入1250（1+x）元，2003年底，共有收入1250（1+x）2元，由题意列方程得：1250（1+x）2=1500。接着，教师可以引导学生总结增长率问题的一般模型，1250是初始数，1500是结束的数目，2是增长的次数。

二、利润率问题

理清等量关系是把握利润率问题的关键环节，学生只要找到题中的数量，建立等量关系算式，就能进行计算了。一般而言，利润=实际价格-成本价格；利润=实际价格×利率；利润率=（实际价格-成本价格）/实际价格。

例题：奥邦超市销售一批名牌T恤衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，超市总经理决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件T恤衫降价1元，超市每天可多售出2件。如果这个超市每天要盈利1200元，请你为奥邦超市核算一下，每一件T恤衫应降价多少元？

分析：T恤衫原来每件盈利40元，每天可售出20件，那么每天的利润为40×20元。为了增加盈利，扩大销售，尽快减少库存，超市总经理决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件T恤衫降价1元，超市每天可多售出2件。如果每件降价x元，那么每件T恤衫利润是（40-x）元，超市每天可多售出（20+2x）件。每天的盈利=每件利润×销售量，也就是（40-x）（20+2x）=1200,最后让学生解这个方程得：x1=10，x2=20,并根据“为了增加盈利，扩大销售，尽快减少库存”这一题意，本题应该取x2=20，即每件T恤衫应降价20元才能实现销售目标。

在引导学生发展求异思维的过程中，可以把上述习题作如下变换：奥邦超市销售一批名牌T恤衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了增加盈利，扩大销售，尽快减少库存，超市总经理决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件T恤衫每降价3元，超市每天可多售出5件。若超市每天要盈利925元，请你帮助商场算一算，每件T恤衫应降价多少元？

分析：T恤衫原来每件盈利40元，每天可售出20件，那么每天的利润为40×20元。为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，超市总经理决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件衬衫每降价3元，超市每天可多售出5件。如果每件降价x，每件利润是（40-x）元，超市每天可多售出（20+5/3x）件。每天的盈利=每件利润×销售量，也就是（40-x）（20+5/3x）=925，学生解得：x1=3，x2=25，再按照“为了增加盈利，扩大销售，尽快减少库存”这一题意，该题应取较大的值x2=25，即每件T恤衫应降价25元。

上述两题的题型基本一致，都用每天的盈利=每件利润×销售量这一关系式进行计算，设每件T恤衫都是降价x元,但两者的区别就是：（第一题）“每件T恤衫每降价1元，超市每天可多售出2件”与（第二题）“每件T恤衫每降价3元，超市每天可多售出5件”，前一句好理解，后一句在前一句的基础上，得一元对应的件数为5/3件，问题就不难解决了。因此，得出降价一元对应的件数是解决问题的关键。

三、几何类问题

初中数学题库中的几何题一般隶属于平面类，几乎与空间想象方面关系不大。因此，可以让学生采用线性思维方式找到解题思路，既有计算长度、角度的，也有证明的；既涉及面积、体积的计算公式，也有勾股定理、相似形中有关比例性质等题型。

例题：一个直角三角形的面积是7平方分米，两条直角边相差5分米，求这个三角形斜边的长是多少分米。

分析：假如让学生设斜边为未知数，思维比较抽象，转弯太多，方程也不好列，因此，我在教学过程中让学生设间接未知数，设其中的一条直角边为x分米，并根据“两条直角边相差5分米”，得到另外一条直角边为（x+5）分米；然后根据“面积是7平方分米”列出方程：,当学生解出未知数后，再结合实际情况取舍未知数的值，最后求出斜边长。同时，也得出了解答此类题目的正确思路：先用长度关系设未知数，后用面积关系列方程。

在初中数学应用题教学中，经常出现与一元二次方程有关的生活化问题，但不少学生遇到这类问题时总是忐忑不安，难以下笔。其实，只要在缜密审题的基础上学会分解题目，各个击破，并通过分类的途径找到已知与未知之间的关系，从而列出相应的方程求解，一切问题就迎刃而解了。