简单特例在解题中的应用

江苏省昆山市第一中学 刘 超 李博宇

简单特例在解题中的应用

江苏省昆山市第一中学 刘 超 李博宇

数学教学归根结底就是解题教学。解题的基本思维操作流程：寻求陌生新颖问题的突破口，弄清等价转换问题的表征，弄清题意，明确知识点，正确合理地解题。目前大多数学生的解题状态为：对老师讲过的题目能够照葫芦画瓢，对基本及中档以上的问题处理较好，对于常规题目的突破口能够合理准确有效地把握，但对于新颖的问题、陌生的问题，望而却步，无从下手，缺乏自己独立探究问题的能力。由于老师没有讲过此类问题，无法画瓢，抢分争分的能力不足。有一部分学生基本上就是一笔不动，从未感受过自己对一类新问题发现，分析、解决这种成功的喜悦。那么，问题的通性通法是如何而来呢？是通过大量的具体实例，通过检验——修改——检验，高度概括出的一类规律性极强的解题策略，举例与类比的关系相辅相成。从课本教材举生活实例，引出数学概念，到教师讲解经典例题，再到学生通过大量的习题训练，无非都是从特殊到一般的归纳猜想及证明。

高中数学内容的学习毕竟是基础部分的教学，我们所能处理的、解决的都是规律性极强的问题，既然是这样，那么问题中的规律，问题本身所要给我们呈现的数学事实，肯定能够挖掘出来。特殊到一般，具体到抽象，举几个简单特例，也许能够帮助我们找到问题的突破口。

一、通过举特例来寻求集合间的关系

集合间的关系从大方向上分为两种：包含与不包含。明确目标，锁定方向，即使猜也能猜出答案。

高一学生刚接触集合概念时，对此类问题还是比较陌生的，无从下手。给出两个一般性的集合，二者元素个数均是无限的，二者元素的特征似乎有相同点又有不同点，无法精准弄清其内在的联系。学生若是能够将一般性问题特殊化处理，通过举特例，转换成具体的数字，尝试着推推看，也许就能发现其中的规律所在了。分别令k取1，2，3，4，现集合M中的元算在集合N中会交替出现，而集合N中又出现了集合M中不存在的元素，所以.其实在举特例的过程中，已有部分学生发现集合M中的元素特点为由于比较是在统一的平台下进行的，故想到集合N中的元素特点可改写为奇数，为整数，所以。其实越有规律的问题就越经不住推敲，只要善于举特例，举好例，就可猜透其中的奥妙。

例2 设集合 M={1，2，3，4，5，6}，S1、S2、…、Sk都是 M的含两个元素的子集，且满足：对任意的Si={ai，bi}，Sj={aj，bj}（i≠j，y}表示两个数x、y中的较小者）。求k的最大值。

该问题由于包含较多数学中的专业符号，具有一定的抽象性，致使很多学生无法下手，找不到突破口，读不懂题意。若学生能将每个信息具体化，举几个具体实例，感受一下题意，便能马上解决此问题。

S1、S2、…、Sk都是M的含两个元素的子集，而M的所有含有两个元素的子集是：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}，共15个，分别记为S1，S2，……，S15。

例如{1，2}与{2，4}就只能保留一个，由此弄清题意，4个值是重复的舍去，最后答案是11。善于举特例，将抽象问题具体化不失为快速掌握陌生概念的一个行之有效的方法。

二、通过举特例来寻找解析几何中的定点、定直线

解析几何问题的最大特点在于解题方向岔口较多，貌似个个可行，理论上可行，实际操作却不可以，又或者在操作中由于计算量大，学生对自己的解题前景堪忧，导致半途而废。若能尝试特殊推一般，锁定解题的最终方向，就会有效提升自身解题的信心，摸索其最优解。

若G恒在一直线上，则此直线必为x＝4。只需证对任意m,A1M与A2N的交点G在x＝4上。这样利用特殊性寻求出问题的突破口，让学生有方向可寻，不再一筹莫展。在目标意识的引领下，结合题目的条件特点，也许能够帮助我们在解题中少走一些弯路，快速有效地投入到题目中弄清研究方向。

四、通过举例推求数列中项的特点规律

数列具有规律性极强的特征，弄清其变化发展规律，研究数的表征，通过举例归纳猜想其发展规律，是解决数列问题的一个重要解题策略。

该数列的递推关系式已知明确，首项确定，则数列中的每一项肯定唯一确定，若从一般情况角度推其通项，构造过程中技巧性较强，研究对象容易混淆。若通过特殊推一般，通过求出具体的前几项，归纳猜想其通项，就会大大降低思维高度，快速有效地明确其发展方向。

简答：按照递推关系，求出数列的前几项，从第13项开始，呈现以3为周期的数列，从而得解。

教材编写的两个特点是：情景导入和问题驱动，从具体情境导入的，在教学上要求以具体情境作为教学素材，将其抽象提炼，以便接近教学主题。

无论从实际情境出发，还是从具体问题出发，都要求学生归纳已知事实形成抽象概念，归纳已知事实形成数学猜想，这种活动的共同本质在于使用抽象的、简约的数序符号表示“数学现实（既包括生活事实，也包括数学事实），这样能使学生经历数学抽象的具体过程，在这个基础上形成抽象概括能力。荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔早就指出：数学起源于现实，数学教育必须基于学生的“数学现实”，应该从数学与它所依附的学生亲身体验的现实之间去寻找联系。学生的认知规律是从直观到严谨，从具体到抽象。从特殊到一般是人类认识事物的基本规律。

万事开头难，找到问题的方向性与导向性，我们就可用方法来对问题进行解决了。