来自“统计与概率”解题策略与方法的一封信

康叶红

亲爱的同学们：

大家好！我是来自初中数学知识板块中的“统计与概率”解题策略与方法，“统计与概率”在中考数学的考查中约占15%的分值，可不能忽视我哦！今天，我们就来聊一聊“统计与概率”这部分解题的策略与方法.

先一起看统计部分的内容，想要攻破統计的题，需要会计算一组数据的平均数、中位数、众数、加权平均数，会计算简单数据的方差，还要能分析统计表中的数据，我们通过例题来分析.

例1 已知一组数据0，1，2，3，x的平均数是2，求这组数据的极差、方差.

【剖析】本题考查的是数据的平均数、数据的极差与方差.

[平均数：[x]=[x1+x2+…+xnn]；

极差：最大值与最小值的差；

方差：s2=[1n][（x1-[x]）+（x2-[x]）2+…+（xn-[x]）2].]

因此，本题应先利用平均数求出x，得到一组完整的数据即0，1，2，3，4，想要求极差，找出数据中的最大值是4，最小值是0，所以极差=4-0=4，方差s2=[15]×[（0-2）2+（1-2）2+（2-2）2+（3-2）2+（4-2）2]=[15]×（4+1+0+1+4）=2.

例2 （2016·盐城）甲、乙两位同学参加数学综合素质测试，各项成绩如下.（单位：分）

（1）分别计算甲、乙成绩的中位数；

（2）如果数与代数、空间与图形、统计与概率、综合与实践的成绩按3∶3∶2∶2计算，那么甲、乙的数学综合素质成绩分别为多少分？

【剖析】本题考查的是计算甲、乙成绩的中位数以及加权平均数.从本题中的“中位数”“3∶3∶2∶2”“甲、乙的数学综合素质成绩分别为多少分”这三个关键字段回顾中位数和加权平均数的概念.

[中位数：将一组数据按大小顺序排列，如果数据的个数是奇数，那么处于中间位置的数是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，那么中间位置的两个数的平均数是这组数据的中位数.

加权平均数：衡量各个数据的“重要程度”的数值叫做权.]

（1）中求一组数据的中位数，由上表可将学生甲的成绩排序为：89，90，90，93，一共有四个数，因此取[90+902]=90作为学生甲成绩的中位数.

（2）中数与代数、空间与图形、统计与概率、综合与实践的成绩按3∶3∶2∶2计算，说明数与代数、空间与图形、统计与概率、综合与实践的“重要程度”不一样，它们在总成绩中各占[33+3+2+2]，[33+3+2+2]，[23+3+2+2]，[23+3+2+2].因此甲的成绩=90×[33+3+2+2]+93×[33+3+2+2]+89×[23+3+2+2]+90×[23+3+2+2]=90.7（分）.

【答案】（1）90分，93分；（2）90.7分，91.8分.

【总结】例1与例2计算了算术平均数、极差、方差、中位数、加权平均数，除此之外还有众数（一组数据中出现次数最多的数），其实我们只要理清概念，熟记知识点，问题就能迎刃而解.

例3 （2016·扬州）从今年起，我市生物和地理会考实施改革，考试结果以等级形式呈现，分A、B、C、D四个等级.某校八年级为了迎接会考，进行了一次模拟考试，随机抽取部分学生的生物成绩进行统计，绘制成如下两幅不完整的统计图.

（1）这次抽样调查共抽取了 名学生的生物成绩，扇形统计图中，D等级所对应的扇形圆心角度数为 °；

（2）将条形统计图补充完整；

（3）如果该校八年级共有600名学生，请估计这次模拟考试有多少名学生的生物成绩等级为D.

【剖析】本题考查了从统计图中分析数据的能力，要求计算样本容量、扇形圆心角的度数、用样本估计总体.（1）根据A等级的人数为15人及A等级所占的比例为30%，即可求出总人数，进而可得出扇形统计图中D等级所在的扇形的圆心角的度数.（2）根据D等级的人数=总数-A等级的人数-B等级的人数-C等级的人数，补全条形统计图即可.（3）先求出D等级人数所占的百分比，然后即可估计出总体中等级为D的人数.

【答案】（1）50，36；（2）5，补全统计图略；（3）60名.

【总结】我们要具备从统计图中分析处理数据的能力，要能读懂统计图中蕴涵的数据信息，提取出信息来解决问题.在解决统计问题的过程中，体会用样本估计总体的模型思想，理解数形结合的数学思想，提升逻辑推理的数学素养.

看完统计部分的内容，我们继续来看概率部分的内容，我们要能从数据中提取信息并进行简单的推断；能通过列表、画树状图等方法，列出简单随机事件的所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，了解事情发生的概率，会求简单随机事件及其发生的概率.下面通过例题来分析.

例4 将分别标有数字1、2、3的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌上.

（1）随机地抽取一张，求抽到奇数的概率；

（2）随机地抽取一张作为十位上的数字（不放回），再抽取一张作为个位上的数字，恰好是“32”的概率为多少？

【剖析】本题考查了通过列举法列出简单随机事件所有可能的结果，了解事件的概率.（1）随机地抽取一张，可以理解为实验一次，要求抽出奇数的概率，可用P（A）=[mn]（n表示所有等可能出现的结果数，m表示事件A发生可能出现的结果数.）直接解决.（2）随机地抽取一张作为十位上的数字，再抽取一张作为个位上的数字，可以理解为实验两次，可通过列表、画树状图列出所有等可能的结果以及事件A发生的所有可能的结果，求出恰好是“32”的概率.一定要注意的是题目中的关键词“不放回”.

【答案】（1）[23]；（2）[16].

【总结】画树状图或者列表分析是求概率的常用方法，列举的结果看起来一目了然，清晰明了.利用列表、画树状图可以帮助我们不重复、不遗漏地列出所有等可能的结果，既直观又条理分明.

例5 （2016·徐州）某乳品公司最新推出一款果味酸奶，共有红枣、木瓜两种口味.若送奶员连续三天，每天从中任选一瓶某种口味的酸奶赠送给某住户品尝，则该住户收到的三瓶酸奶中，至少有两瓶为红枣口味的概率是多少？（请用“画树状图”的方法给出分析过程，并求出结果.）

【剖析】本题考查了通过画树状图列出简单随机事件所有可能的结果，了解事件的概率.题目中“若送奶员连续三天”可理解为实验三次，因此可以借助树状图列出所有等可能的结果.

可能出现的结果有8种，并且它们出现的可能性相等.至少有两瓶为红枣口味（记为事件A）的结果有4种，所以P（A）=[12].

【总结】当一次试验要涉及两个因素（两组量，或者1组量操作两次），并且可能出现的结果数目较多时，可以采用列表法；当一次试验中涉及3个因素或更多因素时，通常采用画树状图不重不漏地列出所有等可能的结果.

例6 一套书共有上、中、下三册，将它们任意摆放到书架的同一层上，这三本书从左到右或从右到左，恰好成上、中、下顺序的概率是多少？

【剖析】想要把共有上、中、下三册的一套书任意摆放到书架的同一层上，可以借助枚举法列出所有等可能的结果.

【答案】将一套书上、中、下三册任意摆放到书架同一层上所有可能出现的结果有：（上，中，下），（上，下，中），（中，上，下），（中，下，上），（下，上，中），（下，中，上），共有6种，它们出现的可能性相同.所有的结果中，满足“从左到右或从右到左，恰好成上、中、下顺序”（记为事件A）的结果只有2种，所以P（A）=[13].

【总结】对于本题可以直接用枚举法列出所有可能的结果，求出概率.列表、画树状图的目的都是为了列出所有等可能的结果，有时我们也可以通过枚举法直接列出所有的可能的结果.

好了，看了这么多典型的例题，相信同学们对“统计与概率”这个部分的题目，可以更加从容自信了吧！找到解决“统计与概率”典型题的策略与方法了吗？

此致

敬礼

“统计与概率”解题策略与方法

2017年3月15日

（作者单位：江苏省南京市六合区横梁初级中学）