摩擦角在解题中的应用

徐伟岸

如图1，物体在粗糙的水平面上向右运动，设物体所受到的支持面的弹力为N，滑动摩擦力为f，支持面对物体的作用力为F，Fμ与N的μμμμ夹角为θ，动摩擦因素为μ，则tanθ=f/F=μ，θ就是摩擦角，由于f与N成正比，μ一定时有θ为定值。

下面例举几个利用此特点来解决的问题：

问题1：物体在粗糙的斜面体上沿斜面正匀速下滑，斜面体始终静止，问斜面体受到地面的摩擦力是多少？

分析：因为物体匀速下滑，物体受的合力为零，所以必有图2中的F竖直向上，由几何关系易证明θ=α（斜面的倾角）=定值。又因F是斜面对物体的作用力，所以物体对斜面的反作用力F必竖直向下，斜面体没有水平方向的动力也就没有水平方向的运动趋势，斜面体受到的地面的摩擦力为零。

变式1：如果在物体正沿斜面下滑中再加一个沿斜面向下的力作用在物体上，斜面体受到地面的摩擦力又会怎样？

分析：显然，此时的物体将加速沿鞋面下滑，合理不为零，但N和f都不变，所以F和F也不变，所以结果同上。

变式2：如果在物体正沿斜面下滑中再加任一方向的力于物体，且物体继续沿斜面下滑过程中，斜面体受到地面的摩擦力又会

怎样？

分析：此时虽不能具体知道该力的大小和方向，N的大小有可能不变、变大或变小三种情形，但不管哪种形式f总是与N成正比，且又因N的方向不变，动摩擦因素μ不变，所以摩擦角θ不变，从而F的方向一定还是竖直向上的。当然F的大小可能相应的不变、变大或变小，但这绝不会影响F的方向一定时竖直向下的，所以斜面体受到地面的摩擦力仍然为零。

如果物体当初沿斜面是加速下滑，斜面体仍始终静止，此时斜面体受到地面的摩擦力又会如何？也有类似的结论吗？如图3所示。

此时易得图3中的摩擦角θ小于α，F的方向向上往左偏，从而F的方向向下往右偏，此时静止的斜面体受到地面的摩擦力必向左，所以同样有类似的结论：当突然给正沿斜面加速下滑的物体一个（或多个）任意方向的力在物体仍沿斜面下滑期间，地面给斜面体的摩擦力方向不变，但大小会有相应的变化。

图4是物体正沿斜面减速下滑时的情形，易得摩擦角θ（如图）要大于α，F的方向向上往右偏，從而F的方向向下往左偏，此时静止的斜面体受到地面的摩擦力必向右，从而也有类似的结论。

问题2：如图5所示，物体在粗糙的水平面上受到变力F的作用，始终向右匀速直线运动，已知物体的质量为m，物体与水平面间的动摩擦因数为μ，拉力F与水平方向的夹角为α，当α从0°缓慢变到90°的过程中，F和摩擦力f如何变化？

分析：物体此时受四个共点力：G、N、f、F，其中G是恒力，N，f是变力，显然F直接影响N，进而影响f，但是变力N，f的合力F的方向是不变的（因为摩擦角θ有tanθ=μ=定值）。可见物体相当于始终受三个共点力（F、G、F）作用而处于平衡状态，关于此类特点正好可以用图解法讨论，如图5作出F、F的合力，由平衡条件的推论可知：此合力必与G是一对平衡力，当F的方向由α从0°缓慢变到90°的过程中，F是先减小后增大，且Fmin=mgsinθ（此时的α=θ），而f则一直变小。

滑动摩擦力的摩擦角为一定值，许多问题的讨论会变的简单，而静摩擦力f与N不成正比，所以摩擦角不是定值，我们在解题时一定要区分是哪类摩擦力，而不能一概而论。