高中数学中圆的三种方程解析

◆曾寅震

高中数学中圆的三种方程解析

◆曾寅震

在高中数学学习过程中，圆是重要的内容，其主要分为三种基本的方程表达。由于该知识点在实际运用过程中存在着一定的抽象性特征，所以学生知识点掌握较难。本文简要地就圆的三种不同的方程概念进行分析，并在这基础上列举以上三种方程的实际解题方式进行分析。以期为高中学生在对圆的三种方程的学习过程中实现学习效果提升。

高中数学；圆的三种方程；解析

一、圆的标准方程

（一）基本概念阐述。圆的标准方程一般表现为(xa)2+(y－b)2=r2，其中有参数a、b、r，在计算过程中要就a、b、r三个参数进行计算，以此来实现圆的方程的确定。所以要想确定该圆的方程，就必须满足以下的独立条件，即圆心坐标决定了该圆的定位，而圆的半径则决定了该圆的形状和大小。

（二）实例解析。举例：有一圆和x轴之间的切点为(5,0)，同时该圆在y轴上截取一段弦长的长度为10，则求出该圆的方程表达式为________．

解法1：假设该圆的方程表达式为(x－5)2＋(y－b)2＝b2，同时假设该圆与y轴之间的交点为A、B两点，由方程(x－5)2＋(y－b)2＝b2与x＝0，可以得出y＝b±b2－25。

又∵|yB－yA|＝10，

∴|b＋b2－25－b＋b2－25|＝10，b＝±52

∴所求圆的方程为(x－5)2＋(y±52)2＝50.

解法2：假设该圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r〉0)

∵该圆和x轴之间的交点为(5,0)

∴r＝|b|① a＝5②

∵该圆在y轴上的弦长长度为10，

∴a2＋（10/2）2＝r2③

综合①、②、③可以得出a＝5，r＝52

∴所求圆的方程为(x－5)2＋(y±52)2＝50

二、圆的一般方程

（一）基本概念。圆的一般方程可以表示为 x^2 +y^2+Dx+Ey+F=0 (D^2+E^2-4F〉0)进一步分解为（X+D/2）^2+（Y+E/2）^2=(D^2+E^2-4F)/4。其中圆的半径可表示为√[(D^2+E^2-4F)]/2。该圆的圆心坐标可表示为 （-D/2，-E/2）且当(D^2+E^2-4F)/4=0时存在实数解 x=-D/2,Y=-E/2

（二）实例解析。举例为：存在某一圆经过点A(2，－3)与点B(－2，－5)，如果该圆的圆心在直线x－2y－3＝0之上，求证该圆的方程表达式。

解法1：假设该圆的方程表达式为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0

所以，4＋(－3)2＋2D＋(－3)E＋F＝0，(－2)2＋(－5)2＋(－2)D＋(－5)E＋F＝0，－(D/2)－2·(－E/2)－3＝0.

∴D＝2，E＝4，F＝－5.

∴该圆的方程表达式为x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.

解法2：假设该圆的方程表达式为(x－a)2＋(y－b)2＝r2

所以(2－a)2＋(－3－b)2＝r2，(－2－a)2＋(－5－b)2＝r2，a－2b－3＝0.

则可以求出a＝－1，b＝－2，r2＝10.

∴该圆的方程表达式为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.

解法3：由A、B两点坐标可得知，AB中垂线可表达为2x＋y＋4＝0，其和直线x－2y－3＝0之间的交点(－1，－2)作为圆心，根据两点距离可求出r2＝10。

∴该圆的方程表达式为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.

三、圆的直径方程

（一）基本概念。圆的直径式方程可以用以下概念进行表示，当存在某一圆的直径的两个端点分别表示为A(a,b)，B(c,d),则该圆的方程表达式可表示为为（x-a）(x-c)+（y-b）(y-d)=0。

（二）实例解析。举例为：已经得知存在点A(0,2)与某一抛物线y2=x+4上的两点B、C组合，可以使得AB⊥BC,试求点C的纵坐标的实际取值范围.

学生在解题之前可首先进行题目分析可以得知，由于点A存在于该抛物线上,假设该抛物线上的点C的坐标表示为(t2-4,t)(t≠2),那么点B就是由AC作为直径的一个圆和抛物线之间的交点.

所以，假设以AC为直径的圆的方程表达为x[x-(t2-4)]+(y-2)(y-t)=0.

∵ x=y2-4,

∴ (y2-4)(y2-t2)+(y-2)(y-t)=0,

即 (y+2)(y-2)(y+t)(y-t)+(y-2)(y-t)=0.

又∵ t≠2,y≠2,

∴ (y+2)(y+t)+1=0,即y2+(t+2)y+(2t+1)=0.

∵ y∈R,

∴ Δ≥0,即(t+2)2-4(2t+1)≥0,解得t≤0或t≥4.

所以点C的纵坐标的取值范围是(-∞,0]∪[4,+∞).

结束语

在高考数学中，对于圆的知识内容的考察十分常见，其中圆的三种方程式基础性的学习内容。所以，高中学生在数学课程学习的过程中应当重视圆的方程的内容的学习，加深对不同方程的理解，并熟练掌握相关的方程解决技巧。只有这样，才能最大程度地实现圆知识内容的掌握，为之后更进一步的圆相关知识的学习奠定基础。

[1]杨海军.求圆的方程问题的四种解法[J].中学生数学,2016,11:20-21.

[2]杨瑞强.巧设圆系方程 妙求圆的方程[J].河北理科教学研究,2013,05:9-10.

（作者单位：湖南省长沙市第一中学）