价格敏感需求下零售商的最优定价策略

邵 艳

(天津大学 理学院，天津 300350)

价格敏感需求下零售商的最优定价策略

邵 艳

(天津大学 理学院，天津 300350)

研究单个零售商单个制造商的二级供应链的经典报童模型，考虑单周期下报童模型的联合最优定价-订购决策.分析了需求随机且价格敏感情况下系统的最优价格，给出了最优决策的存在性的充分条件.区别于以往相关的研究，假设需求函数是更一般化的加乘型需求函数.在一些合理的假设下，保证随机需求情况下零售商的期望利润函数是对数凸的.证明了由于需求除价格外随机扰动的存在，零售商的期望收益总是小于仅受价格影响时可获得的确定性收益.另外，假设需求的期望具有递增的价格弹性，可以保证仅受价格影响时可获得的确定性收益函数是拟凸的.本结论可以延伸到带有缺货惩罚的单周期报童模型的联合最优定价-订购决策问题，在理论上更具有一般性，对研究多零售商的价格竞争决策问题和供应链契约协调等问题提供了重要理论依据.

报童模型；价格敏感；优价格；对数凸;利润函数

经典的报童模型将零售价格考虑成外生变量，但在实际问题中，可以通过调整价格来增加或减少需求[1].首次在构建报童问题时引入了销售价格，建立了具有价格相关的需求函数，价格成为决策者的决策变量， 确定和价格有关的最优的库存量，然后再得出相应的最优价格.从此，联合定价与订购决策问题引起了学术界的广泛兴趣.我们考虑零售商需要同时确定价格和订购量来最大化期望利润，需求是价格敏感的并且是随机的.目前有很多文献考虑协调价格与库存决策[2-9].

关于单周期下，报童模型的最优定价-订购联合决策，主要解决两个问题：1)如何描述依赖价格的随机需求；2)如何获得最优的定价-订购联合决策.对于第一个问题，通常是把依赖价格的随机需求D(p)分解成两部分:一是与价格相关的均值需求μ(p)，二是与价格无关的随机需求扰动项ε.因此大多数文献常用的两种需求函数是加型需求函数(D(p)=μ(p)+ε)和乘型需求函数(D(p)=μ(p)ε).这两种需求形式的主要区别在于影响需求不确定性的方式的不同，加型模式下的需求的方差是常数，与价格p无关，而乘型模式下的需求的方差是关于价格p的函数，但变异系数是常数.这些都将限制模型在实际中的应用.Yao等[10]考虑乘型和加型需求函数，但并不限定均值需求μ(p)的具体表达形式.在模型求解中，他首先固定价格来获得最优的订购量，然后再求得最优的销售价格.并且当μ(p)具有递增的价格弹性，同时具有递增的一般失败率情况下，报童模型存在唯一的最优的零售价格.Kocabiyikoglu等[11]引入一个新的概念:缺货率弹性，可以抛开加型，乘型需求函数和失败率的假设，得到随机需求下报童模型最优决策的存在性与唯一性的充分条件.Young[12]提出了加乘模型，整合了加型和乘型中价格对于需求的影响，假设D(p)=μ(p)+εσ(p)，ε代表价格外的其他影响因素.一般地，假设均值需求μ(p)是关于价格p的减函数.对于不同的产品，μ(p)可以具有不同的表达形式，同时服从不同的分布.Luo[13]用实际数据代入到模型中发现加乘模型可以产生更高的利润，并且存在更好的定价决策.为保证零售商的期望利润函数是凸的，做出了强烈的假设.后来，Roels[14]代替或者放宽了一些假设，然而，这些为建立利润函数的单峰性做出的新的假设并不能包括一些特例.

对于需求函数是加乘模型，直接考虑利润函数的凸性是很复杂的，甚至是不可行的.考虑利润函数的对数凸性，为此做出了三条假设：1)(p-c)μ(p)是对数下凸的，在经济学中这一条件对于许多价格-需求模型都是成立的，如线性模型和分类评定模型等等；2)假设变异系数cv(p)是对数上凸的，这一假设对于以下情况是成立的，例如当μ(p)是对数下凸的，并且σ(p)=a[μ(p)]b，其中a>0,b<1.3)假设随机变量ε服从一系列分布，如正态分布，均匀分布，logistics分布，指数分布，关于0对称的triangular Rayleigh分布以及分布， Gamma分布(k=2)尽管这些分布均满足递增的失败率(IFR)，但我们可以发现假设与IFR并不等价.本文结论的重要应用是在多个零售商面对随机的并且价格敏感的需求时价格竞争的模型中，保证了在这样一个价格博弈中纳什均衡的存在性，另一应用是比较在确定性系统中零售商的最优价格p1与在随机系统中零售商的最优价格p*的关系.

1 问题描述及需求模型

考虑存在单个制造商(M)和单个竞争零售商(R)的组成的二级供应链系统，两方信息是对称的.制造商提供给零售商一种产品，产品的单位订购成本是c，零售商对产品的售价分别为p，假设在销售季节末，既不会产生残值也不会产生处理成本，缺货时也不会产生任何缺货成本或销售机会损失成本.在销售季节来临前，零售商R要同时决定零售价格p和订货量y.零售商R面临的需求具有价格敏感和随机性，需求均值和标准差都依赖于价格p.假设为

D(p)=μ(p)+εσ(p)

此时假设E(ε)=0并且Var(ε)=1，因此μ(p)代表需求的期望，而σ(p)代表需求的方差.

2 最优决策分析

假设订货量为y，零售价为p，零售商的期望利润函数为

π(p,y)=E[pmin{y,D(p)}-cy].

固定价格p，可以得到最优的订购量，记为y*，则有

y*=μ(p)+zσ(p)

其中：z=Φ-1(1-c/p)，Φ(x)是ε的分布函数.同时，记φ(x)为ε的概率密度函数.

把y*的表达式代入零售商的期望利润函数式子，可以得到，

π(p)=πdet(p)(1-f(p)cv(p)).

定义1 需求的价格弹性是指需求量变动相对于价格变动的反映程度，即

e(p)=-limΔp→0(d(p+Δp)-d(p))/d(p)Δp/p=-pd′(p)d(p)

命题1 由于需求随机扰动的存在，零售商的期望收益总是小于仅受价格影响时可获得的收益.

∂f(p)∂p=∂g(z)∂z∂z∂p=

其中第三个等号利用了分部积分.

因此f(p)关于p是递减的.考虑当p趋于正无穷大时，此时f(p)取最小值，

其中第二个等式是根据著名的洛必达法则来求极限.所以有f(p)>0,1-f(p)cv(p)<1,从而π(p)<πdet(p)

另外同理我们可以考察当p趋向于c时，此时f(p)趋向于-Φ-1(0).

由于期望利润函数表达式为乘积形式并且比较复杂，直接分析其性质会比较困难.为便于分析，本文对利润函数进行了对数变换，构成新问题，由于变换是单调的，新问题与原问题同解.则目标函数变为，

logπ(p)=logπdet(p)+log(1-f(p)cv(p))

下面的假设可以保证目标利润函数π(p)的对数凸性.

假设1 (i)logf(p)是上凸的；

(ii)logπdet(p)是下凸的；

(iii)logcv(p)是上凸的.

定理1 在假设1的条件下，logπ(p)在区间(c,+∞)上是凸的.

证明：根据假设1，因为logcv(p)和logf(p)是上凸的，所以f(p)cv(p)是对数凸的，根据Boyd等[15]研究结果可知，两个对数凸函数的乘积还是对数凸的，再根据logπ(p)的表达式，并且logπdet(p)是下凸的，所以有logπ(p)是凸的.

命题2 假设1中的(i)成立，当且仅当对任意的z，下面式子成立:

定理2 假设μ(p)具有递增的价格弹性，即e=-pμ′(p)/μ(p)关于p是单调递增的，则有πdet(p)关于p是拟下凸的，其中p∈[c,p]，其中p是使得需求的期望为零的最低的销售价格，即μ(p)=0.

证明：因为e=-pμ′(p)/μ(p)关于p严格单调递增，则考虑其一阶导恒大于或者等于零，即

dedp=-[pμ″(p)+μ′(p)]μ(p)-p(u′(p))2μ2(p)≥0

进行化简整理可得，

μ″(p)≤[pμ′(p)μ(p)-1]μ′(p)p.

现在我们考察πdet(p)关于p的一阶导，得到，

dπdet(p)dp=μ′(p)(p-c)+μ(p)

同样地，考察πdet(p)的一阶导在区间边界处的取值情况，当p=c和p=p，dπdet(p)dp|p=c=μ(p)>0,dπdet(p)dp|p=p=μ′(p)(p-c)<0,此时假设μ′(p)小于零.一般说来随着价格p的增大，需求的均值一定是逐渐减小的.只要dπdet(p)dp是连续的，则一定存在pd∈(c,p)，使得dπdet(p)dp=0，即pd可以通过求解方程dπdet(p)dp=0得到.为说明πdet(p)关于p是拟下凸的，计算πdet(p)的二阶导函数：

d2πdet(p)dp2=μ″(p)(p-c)+2μ′(p)

把上面第二个不等式代入，则有，

d2πdet(p)dp2≤(p-c)[pμ′(p)μp-1]μ′(p)p+2μ′(p)=μ′(p)p[p(p-c)μ′(p)μ(p)+p+c]

当dπdet(p)dp=0时，则表明(p-c)μ′(p)μ(p)=-1，从而得到，

d2πdetdp2|dπdet(p)dp=0≤μ′(p)p[-p+p+c]≤0

所以说πdet(p)关于p是拟下凸的，并且dπdet(p)dp=0有且仅有一个解pd

定理3 定义目标函数的最优价格决策为p*，p1是使得logπdet(p)取得最大值的价格，即需求确定时的最优价格决策，p2是使得log(1-f(p)cv(p))取得最大值的价格，则有p*∈[min{p1,p2},max{p1,p2}].

证明：根据定理1，由于logπdet(p)是下凸的，并且在p1处取得最大值，则有logπdet(p)在[c,p1]上是单调递增的，在[p1,+∞]是单调递减的；同理，log(1-f(p)cv(p))是下凸的，在p2处取得最大值，所以log(1-f(p)cv(p))在[c,p2]上是单调递增的，在[p2,+∞]是单调递减的.根据logπ(p)=logπdet(p)(1-f(p)cv(p)),则logπ(p)在区间[c,min{p1,p2}]上是单调递增的，在区间[max{p1,p2},+∞]是递减的，由于logπ(p)的凸性，则表明p*∈[min{p1,p2},max{p1,p2}]，因此，如果p1≤p2，则p1≤p*≤p2；反之，若p1≥p2，则表明p1≥p*≥p2.

3 结 语

本文考虑需求模型是更一般化的加乘模型，得出了一些常见的概率分布，以及一些常用并且合理的假设条件下的报童模型问题的目标函数是对数凸的.此外，论证了需求随机扰动的存在使得零售商的期望收益总是小于仅受价格影响时可获得的收益.同时表明了在确定性系统中，利润函数关于价格是拟下凸的，最后给出了最优价格的取值区间.本模型是在原有文献的基础上做了进一步的改进，使得结论更为一般化，同时保证了在多个零售商价格竞争模型中纳什均衡的存在性，为更深层次的研究提供了理论依据.

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Optimal pricing strategy of retailer with price-sensitive demand

SHAO Yan

(School of Science, Tianjin University, Tianjin 300350, China)

The classical newsvendor model a two-echelon supply chain system formed by one manufacturer and a single retailer and the problem about the optimal pricing and ordering decisions during a sing selling season were researched. The demand for the product was regarded as price-dependent and stochastic, and the existence of the optimal strategy was proved. Unlike previous research, this paper supposed that the stochastic demand function was the additive-multiplicative model, which was more general. Three reasonable conditions establish the log-concavity of the retailer’s expected profit function. Due to the presence of exogenous random disturbance of demand, it turns out that the retailer’s expected profit is always less than the deterministic profit which is only affected by price. In addition, if the mean demand has increasing price elasticity, the deterministic profit is quasi-concave. These results can be extended in the single period newsvendor model with shortage penalty, and provide important theory evidence for other related research such as multi-retailer competition and supply chain contract coordination.

newsvendor model; price-dependent; optimal pricing; log-concavity; profit function

2016-03-07.

邵 艳(1990-)，女，硕士，研究方向：物流与供应链管理、决策分析等.

O211.9

A

1672-0946(2017)01-0113-04