高中数学中圆的切线方程解析

◆刘元源

高中数学中圆的切线方程解析

◆刘元源

在高中数学课程中，关于圆的问题形式有很多，其中在证明圆与直线之间的相互关系这一课的学习中，圆的切线方程的求解知识较为抽象与灵活，是该课程中的重难点。高中学生在进行着部分知识内容学习时应当不断就该类问题的实际解决方式进行探究。本文简要就不同类型的圆的切线方程的实际求解进行分析与归纳，以期为高中学生灵活的运用相关知识进行圆的切线方程的求解提供参考。

高中数学；圆的切线方程；解析

在高中学习阶段，圆的几何解析是重要的解析题型之一，常见于高考大题之中。而常见的问题类型包括圆方程求解，点或直线和该圆之间存在的相互位置关系，圆与园之间的相互位置关系以及圆的弦的方程式表达求解等多种形式。常见的圆的切线的方程式求解包括切线过一点情况下的求解，以及在特殊情况下的方程式求解，由于该问题本身存在着抽象特点，所以大多数的高中生都难以在该课程的学习过程实现灵活的圆的切线的方程式求解。

一、过圆上某一点求该切线的方程

一般来说出题者就过圆上某一点要求学生进行相关切线方程的求解一般都以一下题型为主。即，“某一圆方程为（x-a）·2+（y-b）·2=r2，有经过圆上的某一点（x0，y0），试求过该点的对应的切线方程”。

在进行该类型问题解决时首先可把圆的方程改写为（x-a）·（x-a）+（y-b）·（y-b）=r2，之后把转换后的式子中的前一个x设成 x0，前一个y设成y0，即可进一步简化为（x0-a）·（x-a）+（ y0-b）·（y-b）=r2，最后再将其继续整理，直到其转变为直线方程即可。该方式较为简便，被广泛运用为高考快速解题过程中，针对选择题，填空题以及检验答案这些需求是十分高效可用的。

二、过圆外某一点求该切线的方程

在高中数学考试中，过圆外某一点要求求该切线的方程式十分常见的题型，在实际解题过程中也有多种解题方式，学生应当就不同方式进行灵活运用。例1：以点（ p-2，-1）向某一圆x2+y2-4x+2y+1=0做切线，求该切线与圆的相交切点坐标以及该切线的方程表达式。

（一）运用判别式法进行问题解答

首先假设该切线的斜率存在，且设为k，

则过点 (p-2，-1)的该直线的方程表达式为：y+1=kx+2，

由y+1=kx+2，x2-4x+y+1=0，得1+k2x2+4k2-1x+4k2=0

因为该直线和圆相切可得出，△=16k2-1-16k1+k2=0，解得 k=±1。

此时切点的横坐标为x=1，将x=1代入圆的方程，解得y=-1+4，

即切点坐标为(1，-1+4)或(1，-1-4 )。

将k=±1代入，得两条切线方程为：x-y+2-1=0，x+y+2+1=0。

该方法主要是根据相切定义证明有且只有一个公共点的方式来计算。但在实际使用过程中应当注意，如果通过计算可以求得k值仅有一个，之后再讨论斜率不存在的情况下，当其过点(p-2，-10)的直线是否是切线。

（二）运用几何法进行问题解答

圆的方程化为x-2+y+1=4，则该圆的圆心可表示为C（2，-1）。假设该切线的斜率存在且表示为k ，那么过点(p-2，-1)的直线方程可以表示为y+1=kx+2，即y-kx-2k+1=0。根据几何知识理论可以得知，圆心 C（2，-1）到切线的距离即为该圆的半径，所以d=2。解得k=±1。将k=±1代入切线方程，得两条切线方程为 x-2y+2-1=0，x+2y+2+1=0。将所求得的切线方程y+1=±1（x+2）代入圆的方程，得x-2+x+2=4，解得x=1。再代入切线方程，得y=-1±4 ，所以切点坐标为(-1，-1+4)或(1，-1-4)。

该方式主要是利用相切的几何性理论作为依据来实现问题解答的。当计算求得的值仅一个，之后再验证当斜率不存同时该切线过点 (p-2，-1)的直线为切线。该方式与解法1相比较可有效减少运算量。

（三）利用转化与化归法来实现问题解决

首先假设该切点的坐标是A（x1，y1）为圆上一点，利用公式可以求得过点A的圆的切线方程表达式为：x2x+y2y-2x+x2+y+y2+1=0

由题可知，切线过点(p-2，-1)，因此-2x2-y2+4-2x2-1+y2+1=0，解得x1=1，

将其引进该圆的方程，可以解得y1=-1+4或 y1=-1-4。

可求出切点坐标为(1，-1+4)或(1，-1-4)

即所求切线的方程可表达为为：x-2y+2-1=0或x+2y+2+1=0。

（四）利用平移转化法来实现该问题解决

首先可将该圆的方程简化为x-2+y+1=4，之后再把圆与点（p-2，-1）同时依照向量y=（-2，1）向右平移至（x'=x-2，y'=y+1），即可表示为(x=x'+2，y=y'-1），之后就可以依照图形来表示对应的方程为 x2+y2=4，同时求出点p的坐标为（-4，0）。

假设在此时的切点坐标即为（x0，y0），则相应的切线方程就可表示为xx2+yy2=4，由于该切线过点p（-4，0），所以可知-4x3=4，x3=-1 。将x3=-1代入该圆的方程计算 x2+y2=4，最终解得y0=±1，由此可知该切线方程可表示为x±y+4=0 ，所以该切线方程为x'±y'+4=0 ），相对应的切点为(-1，±3)。再将所得的切线和切点按向量（2，-1）进行平移，就可直接算出该题要求的切点坐标为(1，-1±4) ，同时由此可算出切线方程为x-2±y+1+4=0，即切点坐标为(1，-1+4)或(1，-1-4)。

最终得出切线方程为x-2y+2-1=0 或x+2y+2+1=0。利用平移转化法来实现该问题的解决，可有效的化复杂为简单，减少了运算量。

三、结束语

圆的切线的方程运算是常见的几何题类型，其在实际出题过程中较为复杂多变，对学生的灵活思考与解析能力要求较高。学生只有就其中存在的多种问题类型进行分别探究，掌握相关的思考方式与解题模式才能实现充分应对可能出现的相关问题，实现解题能力的不断提高。所以，加强对圆的切线的方程的求解是十分重要的也是十分必要的。

[1]杨海英．圆的切线方程[J]．内江科技,2010,06:196．

[2]陈荣林．高中数学相切题型的解法探讨[J]．中国校外教育(理论),2010,06:92+113．

（作者单位：湖南广益实验中学）