极值点偏移问题探析

吴文昊　徐楠

近日，在复习导数及其应用时，集中整理了一些被归结为极值点偏移背景问题的往年高考试题，并参阅了一些对该类问题探讨的教学论文[1-3]，在解题思路上受益匪浅，颇有收获.但也留下一些困惑：究竟什么叫极值点偏移即严格的定义是什么？该定义之下，如何简洁判别（不求出）极值点是否偏移，并判定其类型？极值点偏移的本质即偏移产生的充分必要条件是什么？

直观地看，极值点偏移现象应该具有这样的几何特征：在两个等值点之间具有一个单独的极值点，偏离了正中的位置，向左或右偏移.用数学语言叙述（简称为严格定义）就是：设函数f（x）满足f（a）=f（b），并在区间（a，b）内只有一个极值点x0；若x0<[SX（]a+b[]2[SX）]，则称极值点x0左偏；若x0>[SX（]a+b[]2[SX）]，则称极值点x0右偏.函数f（x）的极值点左偏和右偏统称为函数f（x）的极值点偏移.

不难看出，这一严格定义涵盖了参考文献中极值点偏移的概念.但是，其属性的详尽研究已超出了初等数学范畴，为在现有的初等数学范围中探讨之，需要在数形结合的思想下使用简化的概念.

因此，结合中学数学实际内容，本文定义如下极值点偏移的简化概念，并在现有初等数学意义上做一些探析.

简化定义设可导函数f（x）满足f（a）=f（b），并在区间（a，b）内只有一个极小值点x0.若对于任意x∈（0，x0-a）∩（0，b-x0）即0f（x0+x）或f（x0-x）

注1对于极大值点的偏移，只需考察负值函数的极小值点偏移.

注2按简化定义，函数f（x）在极小值点x0邻近的左边值f（x0-x）大于或小于右边值f（x0+x）时，x0左或右偏移，其数形结合的特点十分明显.因此，考察f（x0-x）与f（x0+x）的大小或f（x0-x）-f（x0+x）的符号是十分自然的思路与方法.

文[1]将极值点发生偏移理解为函数在极值点左右增减速不同，导致函数失去对称性.事实上，当左侧的减速大于右侧的增速时，可理解为f（x0-x）-f[JB（（]x0[JB））]>f（x0+x）-f（x0），即f（x0-x）>f（x0+x）.依上述定义，极小值点x0向左偏移.当左侧的减速小于右侧的增速时，可理解为f（x0-x）-f[JB（（]x0[JB））]

文[2]在数形结合的思想下，归纳出的结论正是本文的简化定义，但并未将其归结成初等数学范畴内极值点偏移现象的本质.

文[2]、[3]的结论中假定f（a）=f（b）=0是不适当的，因为许多函数图像不与x轴相交，但仍有极值点偏移问题.

如在前述严格定义的基础上，融合数形结合的思想，可得出如下初等数学范畴内的结论.

结论1设区间（-∞，+∞）内的可导函数f（x）满足f（a）=f（b），并且只有一个极小值点x0.

（1）若f（a）

（2）若f（a）>f（2x0-b），则函数f（x）极值点x0右偏移.

证明由函数f（x）在区间（-∞，+∞）内只有一个极小值点x0可知，f（x）的单调递减区间为（-∞，x0），单调递增区间为（x0，+∞）.

由此可判定，极值点x0分别左偏移或右偏移.

注3结论1、2在一定意义上刻画了极值点偏移的本质.

值得一提的是，初等数学中数形结合的方法并不是一种严格推理论证的数学思想方法，而是一种利用几何特点辅助性推理的方法，只适用于初等数学范畴.

如右图所示函数，随着所考虑的区间改变，极小值点偏移的类型也在改变（甚至是不偏移的）：极小值点x0在区间（a，b）内右偏移，在区间（c，d）内左偏移.

因此，从严格数学意義上讲，极值点偏移不是确定的概念，只适合在初等数学中用数形结合的思想去考察.本文的简化定义，赋予了极值点偏移问题更加直观、形象的理解，以及易于处理的思路.

参考文献

[1]邢有宝.极值点偏移问题的处理策略[J] .中学数学教学参考（上旬），2014（7）：19-22.

[2]王晓.对极值点偏移问题的再探究[J] .中学数学教学参考（上旬），2014（12）：32-33，36.

[3]王历权，党忠良.也谈谈极值点偏移问题[J] .福建中学数学，2016（4）：12-14.