传输控制协议下网络控制系统的H∞控制

王建华

华东交通大学电气与电子工程学院，南昌 330013

网络控制系统( Networked Control System, NCS) 是指通过实时网络形成闭环的反馈控制系统[1-3],它融合了计算机、通信、网络和控制等技术。与传统的点对点连接方式相比 ，它具有连线少、信息资源能共享、易于维护和扩展等优点。 然而, 在NCS中不可避免地存在丢包、时延和错序等因素,给NCS的应用带来消极影响，甚至导致系统失稳。目前，NCS的研究越来越受关注,已逐步成为控制领域中的一个研究热点。

目前 ,针对带有延时的网络控制系统方面的研究已取得了一定成果[4-14]。 文献[4-7]考虑了含有常数延时的网络控制系统的稳定性问题。文献[4]给出了系统结构事件率和数据包丢失率之间的关系 ,确定出系统指数稳定的充分条件和容许数据丢包率,以及开环系统状态和闭环系统结构的关系。文献[5]通过带有常数延时的无记忆信道研究了一类非线性系统控制问题。文献[5]建模并分析了具有多重时延的多输入多输出(MIMO)网络化控制系统。文献[7]讨论了一个数字控制器和多个控制对象通过一个共用的带有延时的计算机网络连接在一起的NCS设计问题。文献[8-10]考虑了含有常数延时的网络控制系统的稳定性问题。文献[8]针对带有随机延时的 NCS提出了队列预报延时补偿方法 ,在控制器和执行器节点端分别设立接收缓冲区,将随机的时变延时转化为固定延时。文献[9]在全状态或部分状态信息已知的条件下,设计了网络诱导延时大于采样周期的 NCS的随机最优控制器,使得NCS指数均方稳定。文献[10]针对随机延时,提出了延时估计和在线获得延时数据的方法。从网络角度出发,网络时延往往受到协议参数和调度算法等影响。

在考虑含有外部噪声输入的情况下，本文研究了一类时延网络控制系统在传输控制协议(TCP)下的H∞控制问题。 首先, 为了同时改善网络控制系统的控制性能和服务质量，本文基于传输控制协议设计了主动队列管理算法。 该算法有利于缩减时变时延的变化范围，从而有利于获得期望的队列长度。 其次, 结合Lyapunov理论和线性矩阵不等式理论，提出了H∞控制器的设计方法。 结论表明, 在H∞控制器和AQM共同作用下, 既能使具有外界噪声输入的网络控制系统渐近稳定，又能缩小时延的变化范围。最后, 通过仿真算例验证了本文方法的有效性和可行性。

1 TCP下的NCS模型

考虑TCP 动态模型如下：

(1)

(2)

(3)

利用状态反馈原理, AQM算法可表示为

(4)

其中：Kn=[kn1,kn2] 是待设计的AQM控制增益。 进一步地, 令δ(t)=[Δq(t),Δw(t)]T，将AQM (4) 代入TCP (1)中可得如下闭环系统：

(5)

考虑如下所示的一类具有外界输入的线性被控对象：

(6)

其中：xp(t)∈Rn，u(t)∈Rm，y(t)∈Rr和r(t)∈Rp分别表示状态、控制输入、输出和外部噪声输入;A0，B0，C0和H0为具有适当维数的矩阵。

图1 TCP下NCS的基本结构图

传输控制协议(TCP)下网络控制系统(NCS)的基本结构如图1所示。 本文假设网络中的时延(数据在网络中传输的往返时间)具有下界ηm和上界ηM, 即有ηm≤τ(t)≤ηM。 令状态反馈控制器的控制增益为Kp，状态反馈可表示为：

u(t)=Kpxp(t-τ(t))

(7)

(8)

注1 由式(3)可知, 网络时延τ(t)取决于队列长度, 且被控对象和AQM通过变量τ(t)进行交互，这导致系统式(8)成为一个非线性系统。

2 TCP下NCS的H∞控制器设计

定义 1 对于NCS 式(8), 如果存在控制增益矩阵K=diag(Kp,Kn), 使如下条件成立:

1) 当r(t)=0时, 闭环系统式(8)渐近稳定；

引理 1[14]给定正定矩阵Q∈Rm×m, 常量a,b满足a

(9)

定理1 给定ηm,ηM, 对称正定矩阵Ri(i=1,2), 控制增益矩阵Kp以及AQM增益矩阵Kn, 如果存在矩阵Uj(i=1,2…,6), 对称正定矩阵P>0, 及标量λ>0, 满足如下矩阵不等式：

(10)

证明 首先, 取如下Lyapunov-Krasovskii 函数：

(11)

其中：P>0 与Ri(i=1,2)是具有适当维数的对称正定矩阵。基于式(8)求Lyapunov-Krasovskii函数式(11)关于时间t的导数可得：

(12)

其中：

根据引理1可得

(13)

和

(14)

将式(13)和(14)代入式(12)可得：

(15)

在式(15)两边加上yT(t)y(t)-λrT(t)r(t)可得：

(16)

接下来,

2)当v(0)=0,v(∞)≥0时, 必有

故有,

(17)

注 2 显然,矩阵不等式(17) 是线性矩阵不等式,H∞控制增益和AQM算法增益可以直接通过利用LMI工具箱求解(17)的可行解来获得。

3 算例仿真

选取被控对象式(6)的参数分别为：

设置常量β1=0.29,β2=0.14,β3=-0.29,β4=0.12， 将这些参数代入LMI 式(17), 利用LMI工具箱得可行解

令初始状态为：

基于队列长度的网络诱导时变时延如图2所示。 由图可知, 网络诱导时延最终停留在稳定值τ=0.6s处。 由此可见, AQM算法有利于缩减时延的变化范围，使其停留在一个期望的稳定值附近。 NCS的状态响应如图3所示，由图可知, 在外部噪声输入之前, NCS在t=40s时达到稳定状态。 在外部噪声加入以后, NCS在t=80s时重新回归到平衡位置。 从而，验证了本文方法的有效性。

图2 网络诱导时延

图3 TCP下NCS的状态响应

4 结论

在传输控制协议下研究了网络控制系统的H∞控制器和AQM的算法设计。 首先, 为了同时改善网络控制系统的控制性能和服务质量，基于传输控制协议,设计了主动队列管理算法。 该算法有利于缩减时变时延的变化范围，从而有利于获得期望的队列长度。 其次, 结合Lyapunov理论和线性矩阵不等式理论，在考虑外部噪声输入的情况下，提出了H∞控制器的设计方法。 结论表明, 在H∞控制器和AQM共同作用下, 既能使具有外界噪声输入的网络控制系统渐近稳定，又能缩小时延的变化范围。 最后, 通过仿真算例验证了本文方法的有效性和可行性。

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