高职数学中导数的应用和思考

赵丽姝

摘 要：随着我国高职教育的快速发展，我国高职院校在数学教学中也取得了长足进步。高职院校在教学过程中应注重导数教学的作用，注重发挥导数教学的作用，在数学教学中提高导数教学的有效性，让学生能够充分运用导数来进行解题，从而使得高职院校的学生能够全面提升导数的应用能力，提高他们的解题能力，让他们的数学解题能力得到全面提高。该文笔者主要探讨高职数学教学中导数的作用以及应用，以供参考。

关键词：高职数学 导数 应用能力 思考

中图分类号：G420 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2016）09（a）-0140-02

在高职数学教学过程中，作为重要的解题工具，导数的运用不仅能够有效解决函数问题，还能够分析函数中的极限值和单调性问题，为函数的解决问题手段提供有效帮助，在目前的高职数学教学过程中，函数的极值问题和单调性问题都能够为函数提供有效解决手段，这也是运用导数能够解决的函数问题，可以说函数的重点在于教学过程，这也是为何导数成为高职数学教学中的重要解题方式，并且能够在高职数学教学中得到广泛应用。

1 导数能够解決的函数问题

1.1 导数能够有效解决高职数学中的函数问题

在高职数学中，函数是重要的知识点，如果不能正确掌握函数知识，将会影响高职学生数学的最终学习效果。而函数的解题是一个难点，如何保证函数解题有效性成为了高职数学的研究重点。而导数的出现，为函数解题提供了新的方法。

1.2 导数能够对高职数学问题的解决起着重要作用

利用导数解题，目前已经成为解决高职数学问题的有效手段，在导数解题的过程中，学者们不但要学会导数解题的具体方法，同时还要培养导数解题的意识，认识到导数解题对解决高职数学问题起到的重要作用。

1.3 导数能够有效解决高职数学问题

在高职数学中导数知识具有重要地位，导数知识不但本身属于高职数学的重要组成部分，同时还成为了解决高职数学问题的有力手段，因此，要正确认识导数知识在解决高职数学问题中的促进作用。

2 导数在高职数学中的应用

2.1 导数在经济分析中的应用

（1）边际与边际分析。

如果在处可导，那么它在处的变化率为，即函数在点的导数，在经济分析中称它为在点处的边际函数值。设在点处，从改变一个单位时，的增量的准确值为，由于实际的经济问题中，一般是一个比较大的量，而与相比就可以看作是一个相对较小的量，由微分学可知，的近似值可表示为。这说明在点处，当改变一个单位时，近似的改变个单位。在实际应用中，通常略去“近似”二字，来解释边际函数的定义。于是，就有以下定义：设函数可导，则称导数为边际函数，称为在点处的边际函数值。

（2）弹性与弹性分析。

弹性也是高职数学中重要的概念之一，它反映了一个经济变量变化对另一个经济变量变化的影响程度。弹性常用于对需求、供给、生产收益等问题的讨论。弹性的计算有两种：点弹性和弧弹性。这里我们只介绍函数的点弹性。下面将给出一般函数的弹性定义。设函数，和分别为自变量和函数的绝对改变量，和分别称为自变量的相对改变量和函数的相对改变量，而称为函数从到两点间的弹性，若在点处可导，则称为在点处的弹性，记作。对于一般的，是的函数，称为的弹性函数。在点处的值记为，当很小时，在点的弹性。这说明，表示在点处，当相对改变量为1%时，近似改变了%（在应用中常常略去“近似”），也就是说，反映随的变化而变化的幅度，即对变化反应的灵敏度。

（3）优化分析。

高职数学中经常遇到的优化问题，例如：最大产出分析、最大收入分析、最大利润分析、资源合理利用的优化分析等，数学的最优化求解方法是这类问题的主要解决方法。进行优化分析可以帮助企业管理者以最低的生产成本获得最大化收益，意义非常深远。这里考虑运用边际函数求最大利润。利润等于收入减去成本，边际利润为边际收入减去边际成本，即ML=MR-MC。

当MR-MC>0时，每增加一个单位的产品，所增加的收益大于所增加的成本，因而总利润增加，但没能达到获得最大收益的规模，此时，企业应该扩大生产规模。

当MR-MC<0时，每增加一个单位的产品，所增加的收益要小于所增加的成本，从而总利润减少，说明企业应该减少生产规模。

当MR-MC=0时，即MR=MC，企业达到最优的产量规模。即L（x）取得最大值的必要条件是：边际收益与边际成本相等。另外，如果要保证利润取得最大值，利润对产量的二阶导数必须小于零，即：<0。其中，是边际收益的变化率，即边际收益曲线的斜率，是边际成本的变化率，即边际成本曲线的斜率。所以，利润最大化的必要条件是边际收益边际成本相等，充分条件是边际成本曲线的斜率大于边际收益的曲线的斜率。不管是竞争性的还是非竞争性的企业都适用。

通过以上分析，学者发现，在达到某一点之前，增加产量会使企业获利增加；过了这一点，产量增加反而会使利润减少。

2.2 导数在高职数学解题中的应用

导数在求极限方面的应用。求一个分式函数的极限时，若分子、分母的极限分别都为0，这种类型的极限有可能存在也有可能不存在，称为型未定式极限，不能直接利用极限的四则运算法则，可以考虑利用导数是求未定式极限，也就是洛必达法则，这是一种有效的方法。

3 高职院校培养学生导数应用的思考及重要性

导数在高职数学中对学生的培养具有重要作用，不仅能够提高学生的解题能力，还能够结合实际将解题中遇到的问题应用到实际中，因此，笔者认为高职院校培养学生导数的应用能力是十分重要的。主要体现在以下几点：首先，高职院校培养学生应用导数解题可以提高学生的实际解题能力考虑到导数在解题过程中的重要作用，高职院校在数学教学中应积极培养学生应用导数解题的意识，并将导数解题作为重要的解题手段来开展，使学生能够更好掌握导数解题技巧。其次，高职院校培养学生应用导数解题可以提高数学教学实效性由于高职院校主要是以培养学生的实践能力为主，因此，导数解题这一重要的数学手段可以对高职院校的数学教学实效性的提高产生重要促进作用。因此，要正确认识到导数解题意识对高职院校的重要影响。最后，高职院校培养学生应用导数解题可以拓展学生的知识面，使学生具备全面发展的素质。

4 结语

综上所述，高职院校的数学教学中应注重的是导数的解题过程和技巧，重点培养学生应用导数的解题能力和解题意识，从根本上将学生综合运用和应用导数的能力提高起来，让高职院校的学生有应用导数解题的能力，通过以上可以发现，目前我国高职院校数学教学中对学生导数的应用教学还不够成熟，但是从目前的整体教学体系来看，应用导数解题是十分必要的，这也是在高职院校中积极培养学生应用导数解题的意识，这种意识的培养不仅能够有效促进高职院校数学教学的开展，同时也是对高职院校数学教学的促进，对发展我国高职数学教育教学具有重要意义。

参考文献

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